数模竞赛-人口问题

杨利霞

数模竞赛-人口问题
7 @" S5 q& K# I  L' Z/ {* k6 j' Z% k
- M) L' ~! ^% q( L学校最近的数学建模比赛，刚好组内同学也有想参加的，就一起报名了

  Y! v4 }. ?- F: t0 J/ l) n1 M0 J人口问题

在全面两孩政策正式实施之前，卫计委牵头进行了全面两孩政策影响生育的预测研究。
0 R! X- H" o+ [根据最后完成的《实施全面两孩政策人口变动测算总报告》，
2016年放开全面两孩，2017到2021年5年间增加两孩出生数将为1719.5万人，平均每年增加340万左右。
( L6 c; m  P6 q其中，2017年出生人口总量将达到2109.9万人，2018年达到峰值，为2188.6万人。
国家统计局2018年01月18日公布数据显示，去年全国出生人口数量和人口出生率双双下降。
2017年全年共出生人口1723万人，比预测数据“少了387万人”,低于2016年的1786万人。
1 {: {& M) Q9 j( N4 a+ N人口出生率也同样出现了明显下降，去年全国人口出生率为12.43‰，2016年这一数据为12.95‰。
由于与之前预测相差甚远，这个数据甚至令不少人口学界人士感到意外。

! U( z, ~/ Y, M9 X6 L5 @! G建立数学模型分析下列问题：
; t8 B3 V* w1 _1 m
（1） 在现有政策下预测未来人口的变化趋势。
; S& a' F: `5 V. C（2） 如何才可达到《实施全面两孩政策人口变动测算总报告》的预测效果。
6 [4 i& u9 I; a! R) w3 ^2 U( n7 s（3） 分析人口变化的主要因素，建立人口增长与这些因素间的关系。
* M: a  A7 I/ A（4） 依据你的研究给政府相关部门写一份800字左右的报告。

拿到手感觉还不算难吧，网上应该有很多这样的分析，但是网上大部分都是时间有点久的，这个是考虑全面开放二胎后得人口变化，主要还是用近年的数据，这样得分会高一些。
: i8 F3 k* e& z6 z# M" D5 o
人口预测模型
% ^" r- G1 k$ }5 H7 u$ w3 A) S
先说我查到的几个模型吧，指数模型，灰度预测模型（这个网上被吐槽得很水），logistic模型，Leslie矩阵，大概就这几个了，然后论文里面用得是灰度预测和logistic模型，Leslie矩阵我很想加进去，因为它用当前人口年龄结构来预测未来的人口，感觉很切合题目。但是没找到合适的，就不了了之了。

灰度预测
2 x' f+ _1 K1 P
6 w  ~0 m6 ~& u/ i: T% v先说公式推导
) M$ c- {% P, v9 h/ A4 o' xmathType的公式好像无法在makedown上面显示，我就截图吧


- t$ i0 {* X+ @

上面就是公式的推导，下面是matlab的代码
; m7 C. E2 A+ u* x: f
clc,clear;  
syms a b;  
- X) @( {, N/ T- m0 g2 I5 Q2 V& uc=[a b]';  
. G8 ?- L* v. E4 x1 t%2012-2017
8 J& L* o9 p2 }. Y8 ~' M2 c/ GA=[ 135404   136072   136782   137462   138271   139008];
B=cumsum(A);  %原始数据累加  
n=length(A);  
( V) P0 |* A4 q, `$ ufor i=1n-1)  
    C(i)=(B(i)+B(i+1))/2; %生成累加矩阵  
) M  X, }: i6 ^% \; ^' i3 Jend  
%计算待定参数的值  
& x3 S1 {6 x2 f  n4 E- uD=A;D(1)=[];  
4 B* m* Y/ m9 U; `1 O0 v! f% nD=D';  
) c9 i; d8 ^) u+ G8 W; M3 HE=[-C;ones(1,n-1)];  
c=inv(E*E')*E*D;  
c=c';  
: _: w9 W; X* k3 l* X* Aa=c(1);b=c(2);  
%预测后续数据  
F=[];F(1)=A(1);  
for i=2n+5)  %只推测后5个数据，可以从此修改  
  |; V0 d% _3 N' r. q0 ^    F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a;  
7 G( b- J0 X3 U4 ]1 Kend  
G=[];G(1)=A(1);  
4 a/ ?* V, a8 `! t% \: F8 a4 N9 m. hfor i=2n+5)  %只推测后5个数据，可以从此修改  
. E* F8 i5 f" w) r- I8 g6 F; N    G(i)=F(i)-F(i-1);  %得到预测出来的数据  
end  
t1=2012:2017;  
9 a& E. y& i4 p. G& W- D. ]3 qt2=2012:2022;  %多10组数据  
G
9 A* ?# \; G( S, X/ V# Dh=plot(t1,A,'o',t2,G,'-'); %原始数据与预测数据的比较  
set(h,'LineWidth',1.5);

+ x: S/ V9 X$ M7 r# a+ J. L这是Excel里面的人口数据
8 o. F; s. L% g* H. X) G
" I3 y/ A: G# C7 _5 D  S7 K最后得出的结论，感觉还是挺靠谱的。
/ y1 E: Z+ l% Q* g7 n

logistic模型
; {/ e$ S: V# d2 [9 c% i+ j1 s
8 X. v+ d% E0 g; K# ~2 y- m前面说了灰度预测只适合用于样本量少的短期预测，logistic更适合中长期预测。

/ b% j1 V$ M4 O9 G4 _6 m
clear  
, t* z* W! N0 }/ O: ?' oclc  
% 读入人口数据（1971－2000年）  1997 - 2017
Y=[123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 129988 130756 131448 132129 132802 133450 134091 134735 135404 136072 136782 137462 138271 139008];
% 读入时间变量数据（t＝年份－1970）  
T=1997:2017;
% 线性化处理  
) @# s) g: j2 ~' I/ P& t4 yfor t = 1:21,   
/ W, ?- p7 v1 j/ {9 Y7 e  |   x(t)=exp(-t);  
( U, N' \& V9 i" k1 f3 a   y(t)=1/Y(t);  
end  
% 计算，并输出回归系数B,即计算回归方程 y'=a+bx' 中的a和b的值  
) y3 g$ _' |; ~, x6 y# A) U8 @c=zeros(21,1)+1;  
X=[c,x'];%相当于30个方程组，求解a和b 的值.  
& P5 c: B/ r2 c8 S6 GB=inv(X'*X)*X'*y'  
for i=1:21,  
$ H# C* ~9 |/ N3 v; f2 q6 f% 计算回归拟合值      
    z(i)=B(1,1)+B(2,1)*x(i);  
% 计算离差  
    s(i)=y(i)-sum(y)/21;  
1 B& V5 d7 [  E2 A$ p; z% 计算误差      
9 G$ A9 C# h* P* E" M$ o* B    w(i)=z(i)-y(i);  
end  
8 b- t8 A' r2 `. X/ X: _% 计算离差平方和S  
S=s*s';  
% 回归误差平方和Q  
Q=w*w';  
: o- h  d# W* j7 G/ @. \3 T% 计算回归平方和U  
U=S-Q;  
% 计算，并输出F检验值  
F=28*U/Q  
' }- a3 ]' n7 Q$ b% 计算非线性回归模型的拟合值
for j=1:21,  
    p(j)=1/(B(1,1)+B(2,1)*exp(-j));  
end  
% 输出非线性回归模型的拟合曲线（Logisic曲线）  
, c/ u! o6 J7 R! @plot(T,Y,'r*')
* w) X& v; Q( ihold on
plot(T,p);

最后拟合出来的效果，无敌爆炸烂好吧，我也不知道为什么，等自己以后会了再来改吧
/ v0 `% A* ?# u6 [) U$ p/ [


/ g1 G$ P5 G" ?# |2 Q
) v) S) H; `' y* T* X' C