数模竞赛-人口问题

杨利霞

数模竞赛-人口问题
# T' ^! ^6 l/ R% ?8 ~6 q
学校最近的数学建模比赛，刚好组内同学也有想参加的，就一起报名了
- S) k. h4 C6 B$ O, ]7 Q8 x
人口问题
. @5 O+ t  F  _/ L
在全面两孩政策正式实施之前，卫计委牵头进行了全面两孩政策影响生育的预测研究。
) U3 S8 @* m$ E4 f1 S8 q根据最后完成的《实施全面两孩政策人口变动测算总报告》，
$ ?* _! g- F3 n( m. `2 W7 i2016年放开全面两孩，2017到2021年5年间增加两孩出生数将为1719.5万人，平均每年增加340万左右。
& ]* z+ |% Q  _" X! g  `) E8 v! l其中，2017年出生人口总量将达到2109.9万人，2018年达到峰值，为2188.6万人。
国家统计局2018年01月18日公布数据显示，去年全国出生人口数量和人口出生率双双下降。
' P) b: V  n0 a/ |% v- S2017年全年共出生人口1723万人，比预测数据“少了387万人”,低于2016年的1786万人。
人口出生率也同样出现了明显下降，去年全国人口出生率为12.43‰，2016年这一数据为12.95‰。
由于与之前预测相差甚远，这个数据甚至令不少人口学界人士感到意外。

. Q. W3 h$ x% @5 S2 F, S. T) w建立数学模型分析下列问题：
# V. }# D2 Z5 g7 }/ n' y
（1） 在现有政策下预测未来人口的变化趋势。
' `8 H( c5 v6 I; V% D9 _/ O（2） 如何才可达到《实施全面两孩政策人口变动测算总报告》的预测效果。
（3） 分析人口变化的主要因素，建立人口增长与这些因素间的关系。
（4） 依据你的研究给政府相关部门写一份800字左右的报告。

4 |. m0 {( V0 q' r2 C- c拿到手感觉还不算难吧，网上应该有很多这样的分析，但是网上大部分都是时间有点久的，这个是考虑全面开放二胎后得人口变化，主要还是用近年的数据，这样得分会高一些。
3 v# B: q: B' b' \
" a  a! E# A9 n2 K) ?5 d人口预测模型

; I* P/ l9 H6 M0 h+ w: m( z; C先说我查到的几个模型吧，指数模型，灰度预测模型（这个网上被吐槽得很水），logistic模型，Leslie矩阵，大概就这几个了，然后论文里面用得是灰度预测和logistic模型，Leslie矩阵我很想加进去，因为它用当前人口年龄结构来预测未来的人口，感觉很切合题目。但是没找到合适的，就不了了之了。
3 c  [2 T& ?6 m) W/ V* Q8 t
; d0 A% O6 `  w5 n( t% D灰度预测
. U  I/ x$ x2 g" W# e+ l0 N  K
先说公式推导
0 q7 e) z7 W# WmathType的公式好像无法在makedown上面显示，我就截图吧

  X. a# J  d, A( U' }0 E4 c# w

& m$ \" Q: Q0 Y" z9 y& I6 P
上面就是公式的推导，下面是matlab的代码

clc,clear;  
  M6 v( j1 J0 W; q& }! w4 @0 m0 Vsyms a b;  
* R* t* X/ Q) V7 \c=[a b]';  
$ Q2 ]  q# x; }2 H, p4 x: Z%2012-2017
3 L) i& r" `: `A=[ 135404   136072   136782   137462   138271   139008];
2 n1 `/ Q5 G: n8 \8 l* }B=cumsum(A);  %原始数据累加  
n=length(A);  
1 o# E4 {4 B( I7 C# Sfor i=1n-1)  
* n# }9 @, K0 ?    C(i)=(B(i)+B(i+1))/2; %生成累加矩阵  
end  
%计算待定参数的值  
D=A;D(1)=[];  
D=D';  
E=[-C;ones(1,n-1)];  
( E" W; v. A, U/ |4 ec=inv(E*E')*E*D;  
c=c';  
a=c(1);b=c(2);  
8 ~( d: @+ x$ j' \( m; N5 ^+ g%预测后续数据  
F=[];F(1)=A(1);  
for i=2n+5)  %只推测后5个数据，可以从此修改  
, b" |4 c+ G) i6 Z. y    F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a;  
end  
G=[];G(1)=A(1);  
- `( e, ~$ N/ ffor i=2n+5)  %只推测后5个数据，可以从此修改  
    G(i)=F(i)-F(i-1);  %得到预测出来的数据  
end  
t1=2012:2017;  
+ c6 J7 T2 O6 I: u) G% E6 Pt2=2012:2022;  %多10组数据  
G
h=plot(t1,A,'o',t2,G,'-'); %原始数据与预测数据的比较  
# T: ^0 J( u7 h) G4 _set(h,'LineWidth',1.5);

这是Excel里面的人口数据
& X' G- g1 w/ @6 G4 i+ Y: h4 A7 n
最后得出的结论，感觉还是挺靠谱的。
$ B/ x/ t, q% c  h3 d3 H& q
- X! {/ ~& G$ m2 V* p6 t
logistic模型
3 f  T( D# G& D
前面说了灰度预测只适合用于样本量少的短期预测，logistic更适合中长期预测。


5 P, i8 ~+ S) h; aclear  
! b& R0 e/ G2 i. x- cclc  
% 读入人口数据（1971－2000年）  1997 - 2017
Y=[123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 129988 130756 131448 132129 132802 133450 134091 134735 135404 136072 136782 137462 138271 139008];
% 读入时间变量数据（t＝年份－1970）  
T=1997:2017;
$ n! s1 j, h. `8 F" J! P' u% 线性化处理  
- e9 s$ G7 U5 p/ Rfor t = 1:21,   
   x(t)=exp(-t);  
+ }# S! b6 Z  }& o   y(t)=1/Y(t);  
# g1 i' p9 B" J; ?end  
2 |: }1 B) u, w5 \; t% 计算，并输出回归系数B,即计算回归方程 y'=a+bx' 中的a和b的值  
c=zeros(21,1)+1;  
: }0 |% P" v& ~  q' u1 l" h. d+ UX=[c,x'];%相当于30个方程组，求解a和b 的值.  
B=inv(X'*X)*X'*y'  
/ q0 S$ [6 Q- C6 Yfor i=1:21,  
: ?, J( ^4 h  f' ~# k% 计算回归拟合值      
    z(i)=B(1,1)+B(2,1)*x(i);  
% 计算离差  
    s(i)=y(i)-sum(y)/21;  
% 计算误差      
0 O5 M9 h' b/ M9 r6 k    w(i)=z(i)-y(i);  
2 c+ ~* L2 @/ r# d/ y: m, W9 r1 Qend  
5 e% a: e5 m3 F3 W5 |% 计算离差平方和S  
0 `& f* h$ `; O6 S5 F# FS=s*s';  
% 回归误差平方和Q  
* l( ^; S  ~  U% zQ=w*w';  
; W5 l( Z0 k4 ]% 计算回归平方和U  
U=S-Q;  
% 计算，并输出F检验值  
0 i" J( ^8 u. ]F=28*U/Q  
" V1 D# b( M% T8 e; }! z1 u# U% 计算非线性回归模型的拟合值
5 P7 l8 c0 c+ Xfor j=1:21,  
    p(j)=1/(B(1,1)+B(2,1)*exp(-j));  
end  
% 输出非线性回归模型的拟合曲线（Logisic曲线）  
plot(T,Y,'r*')
hold on
plot(T,p);
6 b* h0 Q& {7 N( i, d" D6 ?2 y( L
最后拟合出来的效果，无敌爆炸烂好吧，我也不知道为什么，等自己以后会了再来改吧
1 m" @( z4 [8 z$ p6 v) V4 a" D# U

& V4 d) d/ G. `) T( |  C0 x