数模竞赛-人口问题

杨利霞

数模竞赛-人口问题
9 x+ s+ d3 [7 _5 P, @  Q7 z
学校最近的数学建模比赛，刚好组内同学也有想参加的，就一起报名了

! N& X: V$ X/ l, V3 n  Y; }$ a) W人口问题

在全面两孩政策正式实施之前，卫计委牵头进行了全面两孩政策影响生育的预测研究。
根据最后完成的《实施全面两孩政策人口变动测算总报告》，
2016年放开全面两孩，2017到2021年5年间增加两孩出生数将为1719.5万人，平均每年增加340万左右。
其中，2017年出生人口总量将达到2109.9万人，2018年达到峰值，为2188.6万人。
国家统计局2018年01月18日公布数据显示，去年全国出生人口数量和人口出生率双双下降。
+ e+ l) H1 I' V. r2017年全年共出生人口1723万人，比预测数据“少了387万人”,低于2016年的1786万人。
% |7 Z' `8 _0 V# s8 t6 p人口出生率也同样出现了明显下降，去年全国人口出生率为12.43‰，2016年这一数据为12.95‰。
由于与之前预测相差甚远，这个数据甚至令不少人口学界人士感到意外。
4 a1 }2 U# q' |' P/ y( y! o, p
! u/ I5 K2 T+ {+ x9 d0 w- t7 Z建立数学模型分析下列问题：
0 @: i( o3 Z5 r0 e* H
3 z9 M' v& a0 e3 P* z, O( G（1） 在现有政策下预测未来人口的变化趋势。
+ u6 \6 j5 s8 \0 ]（2） 如何才可达到《实施全面两孩政策人口变动测算总报告》的预测效果。
8 h6 [) b( [3 F5 L（3） 分析人口变化的主要因素，建立人口增长与这些因素间的关系。
) R; K$ q4 e/ y9 s（4） 依据你的研究给政府相关部门写一份800字左右的报告。

拿到手感觉还不算难吧，网上应该有很多这样的分析，但是网上大部分都是时间有点久的，这个是考虑全面开放二胎后得人口变化，主要还是用近年的数据，这样得分会高一些。

  ~- w3 I- k' i* k* B7 i人口预测模型

先说我查到的几个模型吧，指数模型，灰度预测模型（这个网上被吐槽得很水），logistic模型，Leslie矩阵，大概就这几个了，然后论文里面用得是灰度预测和logistic模型，Leslie矩阵我很想加进去，因为它用当前人口年龄结构来预测未来的人口，感觉很切合题目。但是没找到合适的，就不了了之了。
6 N: P( p; Z" Y& X
# g* d9 l4 ~( J灰度预测
4 q- n/ s6 C. {+ @; k: \, `
先说公式推导
mathType的公式好像无法在makedown上面显示，我就截图吧


! Z& E2 a9 g+ o
* ?4 U% U# ^6 M$ P: T( o
. b4 X9 a+ o* A4 a2 Y7 W上面就是公式的推导，下面是matlab的代码
% e4 @3 C! K1 k/ Y6 ^2 B
. a7 C* z1 ?; ]/ r$ z) b8 gclc,clear;  
3 M3 S/ J& |5 Q, E: @, S2 g6 Xsyms a b;  
c=[a b]';  
%2012-2017
A=[ 135404   136072   136782   137462   138271   139008];
B=cumsum(A);  %原始数据累加  
n=length(A);  
% {9 X0 T, [) C% Mfor i=1n-1)  
  T& L0 a* K  C0 @    C(i)=(B(i)+B(i+1))/2; %生成累加矩阵  
, m( x/ a( J* C$ L6 ~* cend  
# z6 W8 r9 O, W0 q%计算待定参数的值  
D=A;D(1)=[];  
D=D';  
E=[-C;ones(1,n-1)];  
! {1 w% N! D$ o1 p5 U5 [+ Yc=inv(E*E')*E*D;  
c=c';  
a=c(1);b=c(2);  
0 u( c# F& o. t%预测后续数据  
( j6 M6 _! b5 aF=[];F(1)=A(1);  
, |3 w/ c- e) w9 Q1 N$ qfor i=2n+5)  %只推测后5个数据，可以从此修改  
, e& [+ t: A: j& {( T5 w' d8 [    F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a;  
end  
G=[];G(1)=A(1);  
" q3 {9 J# H# Jfor i=2n+5)  %只推测后5个数据，可以从此修改  
( K+ h5 C% i0 Z" c    G(i)=F(i)-F(i-1);  %得到预测出来的数据  
  u" j& F3 _/ ^* s/ ~end  
t1=2012:2017;  
. \' o$ p$ F# e& o: K3 s% B2 ft2=2012:2022;  %多10组数据  
G
' s3 ~: P9 L( }! ~- [$ Wh=plot(t1,A,'o',t2,G,'-'); %原始数据与预测数据的比较  
set(h,'LineWidth',1.5);

这是Excel里面的人口数据

最后得出的结论，感觉还是挺靠谱的。
! }; ^6 T9 [8 v! K  D
+ ~. V; o5 `, T5 P$ R
logistic模型
! B& }# M3 K  W. ?
5 P* {) m% Q. a) q( D+ ^5 B前面说了灰度预测只适合用于样本量少的短期预测，logistic更适合中长期预测。

. E7 T% g6 i1 C1 \* m" i# Q
clear  
5 F: ?: R7 _/ s6 ?! Fclc  
! r9 \8 [$ B% ^% 读入人口数据（1971－2000年）  1997 - 2017
Y=[123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 129988 130756 131448 132129 132802 133450 134091 134735 135404 136072 136782 137462 138271 139008];
% 读入时间变量数据（t＝年份－1970）  
T=1997:2017;
% 线性化处理  
0 T, p, X' Y0 O. ~% q2 T3 H" J/ e& j! bfor t = 1:21,   
   x(t)=exp(-t);  
& K5 ^! ~# {. [: L   y(t)=1/Y(t);  
end  
% 计算，并输出回归系数B,即计算回归方程 y'=a+bx' 中的a和b的值  
& K' d5 A4 a6 ~$ G# xc=zeros(21,1)+1;  
X=[c,x'];%相当于30个方程组，求解a和b 的值.  
5 }1 _3 \8 |) ]' l: P$ I% qB=inv(X'*X)*X'*y'  
4 ~4 f. e4 G0 A- I/ m3 f- wfor i=1:21,  
# P! Y" }+ e2 Q, v, e1 }% 计算回归拟合值      
* E4 J9 E9 ?  _    z(i)=B(1,1)+B(2,1)*x(i);  
- t3 u% J* c1 c4 G% 计算离差  
    s(i)=y(i)-sum(y)/21;  
% 计算误差      
    w(i)=z(i)-y(i);  
end  
% 计算离差平方和S  
9 a7 w  D% R  N. O1 V, d5 cS=s*s';  
% 回归误差平方和Q  
Q=w*w';  
: t' \7 z9 W& Y$ L% 计算回归平方和U  
# H$ [1 W% z/ o- Y; @U=S-Q;  
% 计算，并输出F检验值  
F=28*U/Q  
9 r' s) i, y+ B$ ]% 计算非线性回归模型的拟合值
) T, k! g3 ?1 G- s  sfor j=1:21,  
9 ]( g9 O( j1 P6 `0 e    p(j)=1/(B(1,1)+B(2,1)*exp(-j));  
end  
% 输出非线性回归模型的拟合曲线（Logisic曲线）  
. _; V8 c/ d2 M0 Z8 D7 Z1 M; }plot(T,Y,'r*')
5 l# f8 N, @# b* ^0 `- x0 @1 l' Whold on
plot(T,p);
7 Z6 t! `0 ~8 }
最后拟合出来的效果，无敌爆炸烂好吧，我也不知道为什么，等自己以后会了再来改吧
  f0 }  w" I' t8 U* n2 T1 }

! ]5 A' o/ K' x: Y# l/ b

, `8 o9 s- Z8 n$ T