抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

丘唯声的书上有你这题

1 d& I1 M/ t3 P, ^) z群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题
2 t& R) W6 N, \% i: E, L$ [
其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，

只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群
3 I) {3 h5 k( Q" Y
母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多

S4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
> S4;
Generators(S4);
IsAbelian(S4);不是交换群
) n5 S6 E- S9 LSubgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
% |2 }. e  H: T4 y: h Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群

% x; M# ?1 J0 F3 }7 h3 i6 tSubgroupClasses(S4);
, J5 J+ i" S8 A
NormalSubgroups(S4);
; u2 f2 k) {0 T. c$ U1 N9 HAbelianSubgroups(S4) ;
MaximalSubgroups(S4) ;
3 T4 m. N7 H& @. D
SubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图
4 Z+ V& @2 K) f3 e- `! Q
GSet(S4);
. w& u+ z8 j. I4 LConjugacyClasses(S4);
+ d9 F+ D. d% Q" y3 G  m, j% {  H, NNumberOfClasses(S4) ; 5类
, H0 u2 u2 V  F' a
Symmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
Order = 24 = 2^3 * 3
, }5 I, ?" n! r* X) E{
    (c, b, a, d),
% v! {% v) O) q; K0 l* A    (c, b)
}                               两生成元
" ~5 w# p% R$ a% p1 f  Afalse
2 G! Z9 U0 s, Y4 u; i* D6 DConjugacy classes of subgroups     子群共扼类
------------------------------

[ 1]    Order 1            Length 1
: t9 S% G! Z2 j        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
[ 2]    Order 2            Length 3
. c7 [7 b, S5 b; X  Q' ~: A1 d        Permutation group acting on a set of cardinality 4
: g1 i6 J& R! N  V$ _9 u8 K        Order = 2
            (c, d)(b, a)
1 x2 W4 }) i9 m3 O[ 3]    Order 2            Length 6
3 O8 J6 ]" |+ U# q0 S        Permutation group acting on a set of cardinality 4
3 P" V2 u  Y8 m& A        Order = 2
' b9 ~: _5 f: ?+ a+ o  Z9 G0 Z            (a, d)
# \$ W1 v- W- p% }" L5 @[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! g5 y$ o! n, o3 P/ G' P        Order = 3
            (b, a, d)
/ A5 x4 g4 L1 p4 R' v! ^9 N: z: q[ 5]    Order 4            Length 1
( s8 _7 v( l0 k+ M2 |        Permutation group acting on a set of cardinality 4
  L/ r) l( @1 e) q1 X3 }; Z        Order = 4 = 2^2
! [9 M: F, m" f            (c, d)(b, a)
7 z! Z* @7 N* E+ O- N' o1 M8 K            (c, a)(b, d)
$ L, s! {  ]& E% Q' p  T% c& e: e[ 6]    Order 4            Length 3
1 Q5 d' u/ k0 {; v        Permutation group acting on a set of cardinality 4
9 ?4 R4 Q, }$ V- m$ {        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
" i8 o+ L* ^* B: W( G* U        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
3 _* m. ]2 @& @+ V# b( \  U[ 8]    Order 6            Length 4
9 o+ @9 y. h$ b" g6 d% F2 ^- ^        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! O. G1 r" l0 T5 t6 Y* R8 f        Order = 6 = 2 * 3
( `3 H5 M  f2 M8 ]  Z# g% S* w            (a, d)
% M# J8 |) B$ B1 ], i            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
8 m; J) _2 K% U; b: p+ Z        Order = 8 = 2^3
+ j! @& c5 s2 Q            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
* B8 [2 d3 m! H$ C% Y$ u        Permutation group acting on a set of cardinality 4
0 `( X& J' x% j0 D  D        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
5 A0 b. K% i' c5 h& b2 u3 {            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
7 j( n" A5 s0 w) W7 `2 L9 b[11]    Order 24           Length 1
% t4 v( v7 b- f  f        Permutation group acting on a set of cardinality 4
+ u$ p) P$ J! K+ G" c) G* f        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
; e$ E+ s$ K+ X8 }* X            (c, d)(b, a)
, @( j+ p" S( V. S( H            (c, a)(b, d)
8 Y6 r$ F: I8 R  i# m, S6 NConjugacy classes of subgroups
5 U& W+ C; b  t1 p  O1 U------------------------------

[1]     Order 6            Length 4
* O0 i" W9 r5 u3 D        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
( r  S2 l* P4 i, C7 {& ?/ o            (b, a, d)
0 y9 @5 w1 k" X$ Z[2]     Order 8            Length 3
: N  n$ O% u4 r* G5 j# [! u        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
# `, g: \2 i: j. v' Q0 h            (a, d)
            (c, d)(b, a)
9 m* B9 P* x' q7 z            (c, a)(b, d)
  _' N4 b4 \/ _[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
  g# w9 H- U2 N7 L3 A' C            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

[ 1]    Order 1            Length 1
4 e; ?4 B) `( K        Permutation group acting on a set of cardinality 4
. I7 q. ]2 D- E; D" r7 C( W$ F        Order = 1
[ 2]    Order 2            Length 3
0 W5 d0 D5 m, i& f' U. \$ m5 ^2 d        Permutation group acting on a set of cardinality 4
) X9 _- Q6 t* M* l. k! [/ Q% ^- \        Order = 2
6 t( W5 T7 q8 e/ U1 m1 Q2 q7 [            (c, d)(b, a)
[ 3]    Order 2            Length 6
+ q+ U$ U; u; f        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
& g3 A7 I; t* o) F6 S        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
( I! q. c2 X: s- q" ^5 E            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
+ k! q( y0 W% R! E        Permutation group acting on a set of cardinality 4
; g" G7 i: l3 ^! Z- o5 t        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
: I: i* Q: [6 D: q$ k1 z[ 6]    Order 4            Length 3
! ?5 D) P- T: \0 G: X. S8 X4 x7 t        Permutation group acting on a set of cardinality 4
/ V8 ^9 |) Q8 B! P" b! B        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
' r) z3 Z: |+ Y6 b4 z6 {            (c, b)(a, d)
[ 7]    Order 4            Length 3
5 `: F) Q& |3 H( r' \* y        Permutation group acting on a set of cardinality 4
6 B1 u, r6 Q1 X        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
[ 8]    Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
/ }' I1 \7 `. H! e        Order = 6 = 2 * 3
; S, b* ~4 U  a  L7 j1 [6 S( m            (a, d)
# {9 O2 r) }  j, s- L" }* _6 J            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
            (c, d)(b, a)
4 U0 x% u% f) a/ E1 {            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
% `, f) ?" j3 Y! T2 t8 L        Order = 12 = 2^2 * 3
9 G+ ~3 ]- Q$ S. ^            (b, a, d)
+ c0 @1 ]! B4 l$ @            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
( L& n. ~8 V9 n        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
9 r/ q7 X7 U' `) H: K' p) Y( r            (a, d)
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
* k# d( Z0 E1 J* O; N            (c, a)(b, d)
& Y/ v4 ^4 h# H; F, `Conjugacy classes of subgroups
" I' \- A7 c; v0 O* R5 F------------------------------

[1]     Order 1            Length 1
/ d( J5 V0 T- s% b        Permutation group acting on a set of cardinality 4
) J, h% T" M7 t, r        Order = 1
2 Q$ x6 M3 X* h: x8 w+ w1 S[2]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
; u5 x& T* D5 ]3 ^$ k* `. C        Order = 4 = 2^2
  R; R' s# x2 _! \            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
+ v- N# s2 w$ S4 L[3]     Order 12           Length 1
+ H# C/ }4 J2 g$ k  `: U        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
6 z7 n  Y! E' [2 p. I! G            (b, a, d)
+ F% W2 P7 n; @; X) U            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[4]     Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
2 |3 \  q" c# I: {4 @        Order = 24 = 2^3 * 3
- ~$ \; r/ {! B; e& W) m            (a, d)
            (b, a, d)
2 a9 j; i2 t8 r  n% q            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
( |% L. v+ W( H( d------------------------------
# l) y! K+ g6 e$ T8 f
( a0 O( @  s3 n1 v4 K( k$ M[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
[2]     Order 2            Length 3
& _7 }3 k; q) _! y- ^8 P7 R6 U" Y        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
3 s4 |. U. o9 O2 ^( a            (c, d)(b, a)
[3]     Order 2            Length 6
4 _* {6 }8 [* u" y6 ]7 F0 l        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! g' h5 x$ z9 t8 k0 n9 C) [- t        Order = 2
# @! a0 @( z6 H7 r! r# K/ `( \3 I* P5 Z            (a, d)
) J* g9 i* z9 i5 z* W1 G  t" n" M[4]     Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
# A  \+ W# G0 b7 Q+ i$ [            (b, a, d)
1 U$ r& Z& V; H6 x7 M6 h3 }[5]     Order 4            Length 1
- C, O9 B) ?* T0 V        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
" [  Q9 b0 O5 o8 k9 J            (c, a)(b, d)
[6]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
6 ^$ M0 }+ Y* P0 h( M            (c, b)(a, d)
[7]     Order 4            Length 3
% ?5 H& Y5 ~4 X) T9 A7 x% g! {        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
2 X6 b8 l3 `* N9 p1 H            (c, b)(a, d)
/ o8 V6 I  C# f6 l0 U% rConjugacy classes of subgroups
------------------------------
3 a0 ~6 ~! l  R9 P% n
6 z. k# q9 W0 _  @3 i0 Z[1]     Order 6            Length 4
2 d, y: X2 [1 J4 ?        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
+ L7 p9 B3 L* d5 \# L; x2 R) G            (a, d)
            (b, a, d)
0 _! ^: a, |, S' b) m& G- @( h) e[2]     Order 8            Length 3
. L+ @# D6 l& Q* r: H+ p" z        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
+ F4 l$ |% M; b0 Z  O- @6 n[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
, E, C6 Y# x; E% V' S& s  m. k8 C* o% ~            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
+ g' J5 f" a' r7 L1 K" o
Partially ordered set of subgroup classes
-----------------------------------------
6 f9 G/ q+ r* R9 S
! R9 ^6 Q: P& a[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
---
% x$ Q6 E. ^- c- _2 O  c[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
0 s( Q; ~# q, J! e0 `' ?---
9 K9 J7 y$ r, F[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
---
[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
$ G; y' [% v) ?$ G, O[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
( P. j; p. {( T6 {1 M/ g* w[ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
---
6 Q, _* l, s- W0 t3 R[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:

, g, j( K. K* ~1 i* r& B' LGSet{@ c, b, a, d @}
Conjugacy Classes of group S4
/ d- c+ p/ P6 s) B4 p5 T9 G-----------------------------
: J1 q. O# ?1 K/ k/ C[1]     Order 1       Length 1      
        Rep Id(S4)
  H+ K+ l! P4 @
* @! {4 F# G) g3 r8 J[2]     Order 2       Length 3      
        Rep (c, b)(a, d)
/ s: v" I, |' T: r, H$ e
[3]     Order 2       Length 6      
& x) N2 O! O; D: o2 a" u' e/ B        Rep (c, b)
5 Y8 J# m" d1 p* x7 Z. s) t2 s3 U
5 e! W1 O" r4 B2 I. i" M. [! B: A[4]     Order 3       Length 8      
! `: j4 M4 T; g) u* N        Rep (c, b, a)
, i& D, s, k5 J9 w% d1 d  S
9 o3 m/ E2 X: c% U5 O' O6 W6 k[5]     Order 4       Length 6      
8 f6 n: ?7 X+ T6 P        Rep (c, b, a, d)

; s% g$ S+ X  @6 L* ^8 G
5

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
3 i% \% w+ j; q6 O* u        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
- c% y4 ^1 c) j- m; A        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
: u2 B. R' p6 p3 g1 b7 g5 C        <row>7 13 19 8 6 11 4 0 3 14 15 5 22 1 9 10 20 21 23 2 16 17 12 18</row>
        <row>8 6 9 7 13 20 5 22 17 1 23 4 0 14 19 12 11 18 15 16 2 3 10 21</row>
        <row>9 18 8 19 21 12 15 16 1 17 4 23 2 3 7 20 10 6 5 22 0 14 11 13</row>
        <row>10 19 11 18 20 13 14 17 22 16 0 2 23 5 6 21 9 7 3 1 4 15 8 12</row>
- R. _( l! _( S/ j$ D: u        <row>11 7 10 6 12 21 3 1 16 22 2 0 4 15 18 13 8 19 14 17 23 5 9 20</row>
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lilianjie

9 i$ `" k9 _' O, ~- W/ P- `  E

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
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康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
* D8 O  K# z& p6 p& @7 d1 x1231231234

9 m6 ]  i( [& F( S6 w大师啊。。。。。你太厉害了！
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lilianjie

过奖过奖！还在路上！

xxgzftj

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。

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