抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
) b4 G9 l: c$ ]/ ?5 z1 v6 P虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

丘唯声的书上有你这题

群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题
! W+ `4 u! N! R7 K1 Y- r
& ~- K/ |9 \* U+ S& ~其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，

9 j( B, {' w, i3 t/ R5 M只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群

母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多

& l3 n! D1 k) _% tS4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
> S4;
, {. k) Y, \$ O" O6 r) UGenerators(S4);
- F) i2 Q5 Q. k" e. k  s- UIsAbelian(S4);不是交换群
Subgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群
2 C: y/ V% A& I; _% t3 f+ `5 b, a
SubgroupClasses(S4);
6 e' Q- M" f2 W' P6 \# w
NormalSubgroups(S4);
) W* k( _2 l8 ^9 G1 D3 t2 [) LAbelianSubgroups(S4) ;
; H7 s( z. r' l6 e  B! {( r: EMaximalSubgroups(S4) ;
' [) \* w0 K' [% P
" M3 _% R8 L8 |8 p1 ~+ \* e  JSubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图
+ f1 s8 |* n( k2 m  N( }' N/ U8 z
GSet(S4);
ConjugacyClasses(S4);
NumberOfClasses(S4) ; 5类
9 P) y2 C, Q& q4 v0 K# u
Symmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
Order = 24 = 2^3 * 3
{
    (c, b, a, d),
    (c, b)
8 o! B  f9 R& f0 q/ y* \6 V}                               两生成元
false
Conjugacy classes of subgroups     子群共扼类
------------------------------
( ~) ~; V  G2 r# t
[ 1]    Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! _5 _6 t0 a5 d9 Z, B        Order = 1
2 c7 g! s. h! b' Y- L6 L[ 2]    Order 2            Length 3
- u$ `7 _! ^0 y6 Z+ Q. T/ u5 \* o% E        Permutation group acting on a set of cardinality 4
% d; P. {  W- _0 [        Order = 2
% Z8 D: ]' M5 H            (c, d)(b, a)
" Y( v- a- x+ t0 J" M/ y[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
1 S: P) \) c! x7 c% v            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
9 U. z) C# M  Z9 `% d0 E) B' v        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
8 T* ~% G4 g7 O2 i" q            (b, a, d)
  w9 p! b  S; ]: A: {; d5 h[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
% {$ T8 w0 Q( Z' L5 S; {( `' ], r( \! k4 `        Order = 4 = 2^2
( V( P  z1 U; X& L' t! R, p) C, W  G            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[ 6]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! O' G5 E9 h3 W        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
: e2 c$ ^& `  }# J( o$ m  Z7 ^            (c, b)(a, d)
& q8 x; T5 ?! `+ c  u[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
7 C) A1 K% v6 \1 J8 C9 z        Order = 4 = 2^2
# k$ N! O( z) t) H8 x# w            (a, d)
            (c, b)(a, d)
[ 8]    Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! y* O: B1 G. S. z' W% ]" X( X. O        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
* s( }, h) W/ l1 y+ |, W[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
% K4 b3 v1 Q7 B            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
- ]0 _% x! q9 W' F- w[10]    Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
! q' j! \- F+ ?            (b, a, d)
) Y2 ^4 q( ~# p  D" f            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
  {2 @9 w$ [! j. t! o& r& Q9 U. Y1 a[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! n* s3 C* Z, x) J& X        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
  a3 i3 q$ L; {' t  P2 a: C3 n            (b, a, d)
  x" M* a& D& O0 [            (c, d)(b, a)
: F/ J% Q) Y3 b" f            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

[1]     Order 6            Length 4
5 V7 b& v# A2 r" F0 ~: s8 h1 }        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
4 n- ?# t, n) g( f            (b, a, d)
2 W8 h, x3 Q) \[2]     Order 8            Length 3
" O8 ]2 B% T7 I. a) Q3 R* e, E# W        Permutation group acting on a set of cardinality 4
3 w9 M- |5 Y3 v        Order = 8 = 2^3
* n) u# L" c% Q1 R' i9 z- l2 U            (a, d)
1 v  U' @; U! W            (c, d)(b, a)
9 l" P) T5 c7 Q3 f            (c, a)(b, d)
( |* x. t3 E1 V; y+ W[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
+ z- }3 J1 ~$ l/ n' N5 L            (b, a, d)
5 Z. F" j  J) [& n            (c, d)(b, a)
- R$ G  n' U0 g* R- N  R' W' i% u            (c, a)(b, d)
3 q9 g- ]0 t  f0 iConjugacy classes of subgroups
------------------------------

$ v: ?$ j; c" r/ V4 d$ Q0 X7 R[ 1]    Order 1            Length 1
5 H- H/ Z8 Z) c7 a8 T9 t% Z% Z        Permutation group acting on a set of cardinality 4
) S# m  E  k( G. @$ k        Order = 1
[ 2]    Order 2            Length 3
  G- n2 u4 ], L3 c        Permutation group acting on a set of cardinality 4
* v9 z/ x$ |+ |. v        Order = 2
, Y3 M( I  E* z0 Z4 e            (c, d)(b, a)
[ 3]    Order 2            Length 6
- B5 y2 k6 O) |6 z% x0 e& H1 N        Permutation group acting on a set of cardinality 4
5 o; g# _1 f2 E- {# `3 u; X        Order = 2
2 R, @* n* J% n  O. {9 i            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
* g( i( @1 }/ r, N, s7 w8 w3 s        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
# m7 f2 ]1 |* Z8 z# p7 E            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
  n% Z$ C/ D' X        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
8 v+ G6 x( D& \1 j            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
2 v/ I; |6 ~9 u" H& R[ 6]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
8 ^# e' j% O8 Z% E        Order = 4 = 2^2
) A6 B' `; {( O; ?2 l: d# Y            (c, d, b, a)
! l4 l) p. S) l- g5 e- t! f            (c, b)(a, d)
[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
7 ^! A; ^& P; h: }7 h            (a, d)
            (c, b)(a, d)
( y* u6 L- W+ Q/ U[ 8]    Order 6            Length 4
2 J6 s6 p$ N& x9 \/ ]        Permutation group acting on a set of cardinality 4
8 @/ ^) n+ S, O( k6 k3 p        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
& E6 }5 S! `4 v  b[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
4 r8 t5 G/ C6 R7 {( V            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
. Y' f1 n3 T3 `        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
& Y; k6 Y8 P; ?7 f2 @            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
* o2 d& \5 C5 V, A: D3 T# {# \9 }[11]    Order 24           Length 1
( F+ d- n* _9 o" \        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
  ^9 D, M* ^; _; K" a9 M8 E            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------
4 D% r+ F, `  G2 l' D
* P* u9 K. M$ {0 I) D& S" ][1]     Order 1            Length 1
- i( E' V& r8 |& U+ p* z        Permutation group acting on a set of cardinality 4
3 M& P) d; S! ^, u+ ~2 o% A        Order = 1
[2]     Order 4            Length 1
+ Z' v" e! _1 P6 d" T" d        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- U. w" i% a3 w        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
% I. K& v6 t8 n& f' ]; P- J            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
+ R; z( q. k2 @, D5 z        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
5 u7 V5 c' c0 [. U" q) E4 j            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
7 n: k6 d3 R( q. k  _( _; x# ^[4]     Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
8 E* P1 C& o! w; Z        Order = 24 = 2^3 * 3
  T( r7 z, g0 X( Z2 {; O            (a, d)
+ ^: P$ v2 T" d8 k  ~            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------
' b# h7 z) L* C' Q8 F4 Y
1 d- p- D  f7 i' K- i[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- o3 c) p6 F9 {6 |* s$ i4 v        Order = 1
[2]     Order 2            Length 3
) A8 Y3 W+ L  {        Permutation group acting on a set of cardinality 4
" @* Y( [6 N% l        Order = 2
6 w4 O$ X, I! y2 ]& B1 f            (c, d)(b, a)
3 [+ X7 b, b: z) j: I6 `9 e[3]     Order 2            Length 6
2 ?) P7 c, t; d0 a2 I8 {) I+ p        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
  \* @  C8 M$ B- i5 _            (a, d)
" L) Z) G1 {; I6 n[4]     Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
& W% l  D7 n* I& M  c. `        Order = 3
. ^/ n$ i( P' d. g, o6 M) b+ y! R            (b, a, d)
5 I6 X/ B8 z, f3 ?5 B[5]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
$ i. F9 w! _" E& Q- l        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
% \: {  k* b7 g            (c, a)(b, d)
[6]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
1 T* y5 g) [" }/ m7 f" m& {1 H            (c, b)(a, d)
8 n( t+ b9 O; [' A* K+ O[7]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
, L+ o" M& X$ I$ l' t! y  SConjugacy classes of subgroups
------------------------------

[1]     Order 6            Length 4
: J$ v, r) @1 Y        Permutation group acting on a set of cardinality 4
& F1 y" e1 h; g1 c0 A1 M, `7 O        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
[2]     Order 8            Length 3
4 |: r3 C8 O# e3 Y  K, w7 k        Permutation group acting on a set of cardinality 4
/ ~% e7 |, w# V' c* `) ?6 k        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
' a5 ?! S% k) c2 e            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
4 V$ v( k$ T) l& ~        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)

; L- b3 `0 h0 u3 W! rPartially ordered set of subgroup classes
-----------------------------------------
7 O4 U3 H% g5 E4 s8 J- \& A
[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
" O% Z, F! {1 @( V, z3 Q/ u* [---
[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
  J. Y1 q3 {4 l1 ?. r" t( h[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
+ p3 `# }3 _1 \: ~  B* s; \' O---
[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
. ?/ g( X2 }! s3 j' B# v6 s[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
, D! W; U' V4 K/ W1 u( o  o---
1 d& P9 E6 W2 V/ _- G[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
[ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
---
& i  j# M8 q4 b- n% S[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:

8 I6 }$ y: g: s& F# |: O# d! f( U5 }% |GSet{@ c, b, a, d @}
: V) D8 r5 I4 cConjugacy Classes of group S4
-----------------------------
[1]     Order 1       Length 1      
        Rep Id(S4)
% T" }9 `6 |$ D+ P
. g* |; h1 n8 D+ v) y7 |[2]     Order 2       Length 3      
; S" G( g* r1 @- F4 U9 v7 ^# g. d        Rep (c, b)(a, d)
+ l. v2 o9 [' a& w& ]  G
[3]     Order 2       Length 6      
% W/ @/ q: M* v7 ]2 ]0 G: K        Rep (c, b)

  _( b# Y2 t! ~2 L4 }[4]     Order 3       Length 8      
. o) r) ^/ r1 f& J        Rep (c, b, a)

[5]     Order 4       Length 6      
, `0 o  m& V, B! X- P6 ?        Rep (c, b, a, d)

* t+ U- a  c3 ]1 \& |
5

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
4 F2 X8 w  E5 N1 O7 {! b4 r8 h. g        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
8 x! O; \) `  ]7 R) R, H0 F+ q        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
) I0 @9 \1 e! u$ t1 Y        <row>7 13 19 8 6 11 4 0 3 14 15 5 22 1 9 10 20 21 23 2 16 17 12 18</row>
- T- Q3 `9 v5 d' B        <row>8 6 9 7 13 20 5 22 17 1 23 4 0 14 19 12 11 18 15 16 2 3 10 21</row>
        <row>9 18 8 19 21 12 15 16 1 17 4 23 2 3 7 20 10 6 5 22 0 14 11 13</row>
* `3 k+ [& U5 i7 I% T- f( D        <row>10 19 11 18 20 13 14 17 22 16 0 2 23 5 6 21 9 7 3 1 4 15 8 12</row>
. X- O5 @, e* E: @' z8 H        <row>11 7 10 6 12 21 3 1 16 22 2 0 4 15 18 13 8 19 14 17 23 5 9 20</row>
1 q7 w% D. w( R) O7 t8 i) d        <row>12 9 20 21 11 6 1 3 0 2 22 16 15 4 13 18 19 8 17 14 5 23 7 10</row>
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lilianjie

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
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康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
$ G+ m* r; w# E' `8 C/ {. T) q- ~1231231234

大师啊。。。。。你太厉害了！

lilianjie

过奖过奖！还在路上！

xxgzftj

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。
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