抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
) n2 [1 @* m; i* A8 m2 |虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

5 z  `4 x( x/ \- g丘唯声的书上有你这题
1 u& ]- }. j! \/ z* L
群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题
: L$ Y% ^6 ]; o6 n; g" w  d$ m  W
6 n+ {- t6 i$ s其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，
+ D9 n8 t# T# O( P2 [! [
只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群
: ~( p5 j  j& W! T) o7 g) W* L" l; ~
母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多
' k$ Q4 |4 ]+ b" J8 m5 @
, L* ~9 P/ @4 S# z" l8 yS4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
> S4;
/ q0 T7 }: `' U8 l0 o; TGenerators(S4);
; P% {2 g# v% |4 r% ~- RIsAbelian(S4);不是交换群
Subgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
: z* M  b: e/ Z! D& O" ~5 Y/ P' y Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群
! \  v! \: \/ y0 K$ [/ M
SubgroupClasses(S4);
* Q9 O' v; L6 l- |7 L
NormalSubgroups(S4);
7 y2 Z8 |: c: N, aAbelianSubgroups(S4) ;
MaximalSubgroups(S4) ;

SubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图
, R" G; @2 b% J5 ]; [
GSet(S4);
ConjugacyClasses(S4);
NumberOfClasses(S4) ; 5类
7 ]: }4 j' Z- m- D5 N/ h; q
$ L4 ^" L- F  b( o8 G3 H; d# tSymmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
5 M: p, A, s- s/ ]; sOrder = 24 = 2^3 * 3
{
    (c, b, a, d),
& ]: ~& r9 K& e5 U0 k    (c, b)
}                               两生成元
false
Conjugacy classes of subgroups     子群共扼类
------------------------------

[ 1]    Order 1            Length 1
4 t% Y2 j1 I4 T+ P: j        Permutation group acting on a set of cardinality 4
0 ]. u1 c/ ]' m$ f        Order = 1
2 d% F8 c. {, A9 Q; c7 t[ 2]    Order 2            Length 3
( M& F9 Z; C! V; R. `/ n% W$ \7 D0 @        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
) e# Y$ h: @) E2 j( F            (c, d)(b, a)
[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
4 |% ^- ?, K0 a2 \$ d' ?        Order = 2
, l6 G9 V2 t  `* a: [9 i; C            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
: Y+ X& ~9 L9 j' q( m. a            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
* v0 m1 {1 ^1 C% e2 n        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
  X* s! v3 Q4 E3 H  G            (c, d)(b, a)
7 i0 L5 W8 V& t5 @( _; j            (c, a)(b, d)
1 E3 y) Y' P( |; F( D[ 6]    Order 4            Length 3
$ [8 \, Q, Y4 w  `" }, n- e* L8 Q        Permutation group acting on a set of cardinality 4
+ }4 `. ~+ I$ T* a6 S        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
! F; d1 O0 a9 }1 `1 B2 J! V            (c, b)(a, d)
[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
# j8 c% G3 t" `+ l: v' }( K1 r        Order = 4 = 2^2
) w- ]9 f& W! c. S. j  X            (a, d)
            (c, b)(a, d)
/ p5 J0 I, M' u, A7 }[ 8]    Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
' R3 C0 b) d( I8 e( A! w            (b, a, d)
% H6 d. R6 o3 A, S$ g. x) f[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
0 U4 Z. O8 H! ~3 c+ g5 \        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
            (c, d)(b, a)
* Z3 Y: [5 I  u* a5 C; ^            (c, a)(b, d)
# n7 `3 i- J- p, f5 a0 v! y: ~[10]    Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
% ?, l; {; K  @' T        Order = 12 = 2^2 * 3
. A/ E. o1 E' e2 y            (b, a, d)
; {  W# V- e1 q3 a            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
3 P& x! c3 n$ `" ^8 s" r; ^[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
* ]' l# z5 X2 Q# s            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
" r( z7 M) }* p3 }( t: ~Conjugacy classes of subgroups
------------------------------
2 q/ Q4 A' c1 t0 f3 j
[1]     Order 6            Length 4
; r( q$ n2 E3 q8 f        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
( e( B8 h! ]2 a. h            (a, d)
4 x. ~  t+ t6 i' M5 b' h            (b, a, d)
[2]     Order 8            Length 3
  a7 M& r% x9 H$ I        Permutation group acting on a set of cardinality 4
4 q, T" J2 u1 C3 z8 y- y# f- s        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
            (c, d)(b, a)
) s! F) z4 f% |5 I            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
7 ]- M! l5 N& A        Permutation group acting on a set of cardinality 4
. a3 f/ B& Z' C( b        Order = 12 = 2^2 * 3
$ h; g8 x* J  }% A            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
& C, J) p! d6 x* m) \Conjugacy classes of subgroups
------------------------------
/ }- p1 _3 z% ]( u9 H0 `0 |
: m1 t! K1 I1 z: l9 {/ M2 y[ 1]    Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
4 S+ @  ^$ V- e+ L, V7 ~; q  y[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
2 M4 B! `' f3 C' J( E        Order = 2
4 h  s) p$ ?3 D            (c, d)(b, a)
9 t, C' [. S: a9 m) ][ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
% Z+ H; A  `9 T+ }        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
2 |8 \" ?" e$ F2 i( t% P- H, L            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
0 N) H/ q9 i1 \" S& K        Order = 4 = 2^2
- u6 n5 D$ W) b; N/ K  e            (c, d)(b, a)
6 |- t8 S3 W# m. g3 J            (c, a)(b, d)
- Z$ E: w$ i+ w" B2 c# W5 U[ 6]    Order 4            Length 3
9 {$ P  e( c0 ?( @8 `. i+ i9 Z- ]0 ?        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! Q6 q3 k6 x& c( G        Order = 4 = 2^2
7 x" l8 ]2 W: V5 V" v. I            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
4 j- R. v& U# |5 h% C[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
  {$ y. P$ N8 W0 L1 X        Order = 4 = 2^2
" R) R* `& X# r            (a, d)
/ M- G/ M5 N+ E# G  F) L0 i            (c, b)(a, d)
9 W, R. U, `. [1 `0 ^[ 8]    Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
" X) ^! c: U+ a: @9 N4 q& W        Order = 6 = 2 * 3
0 _5 F/ s2 E  r! F' e2 [+ ]            (a, d)
            (b, a, d)
! w' c$ V8 V7 p0 E" k[ 9]    Order 8            Length 3
) }7 d" e: [. ?        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
% ^; W- ?( r- S; h8 S9 f) n            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
8 m  |- j4 n6 R' U        Permutation group acting on a set of cardinality 4
  i/ M  L: u. T8 Z% P$ u& y        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
/ u. q/ J: g+ R! m            (c, a)(b, d)
4 _+ u& l4 g  i+ \4 r1 u[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
4 M  N9 Y, H) ?+ S% S& L        Order = 24 = 2^3 * 3
# [; G' q) V  k4 o            (a, d)
            (b, a, d)
) o, n; W# E; ^& c$ ]: s; I( S9 T            (c, d)(b, a)
8 P2 n9 K  D4 `0 Q' ?2 h; L            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
  {1 }$ }* ]  l4 D4 w  T7 X------------------------------
% i& p  m/ G; u& a
[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
$ ?8 v  T' ~4 n4 ^& Y* z2 e        Order = 1
[2]     Order 4            Length 1
  m2 x, o2 @: N5 }        Permutation group acting on a set of cardinality 4
+ X8 s# l, W4 t8 U6 J7 \        Order = 4 = 2^2
2 p2 W) T* @) D3 S+ Q: y            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
8 G5 Y; F" ?5 s  B2 f[3]     Order 12           Length 1
! d; M: S# V7 l3 R* G" T        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
# T' e' [3 H. y3 c. d8 T# `            (b, a, d)
6 n/ U6 P2 Q8 S$ }- O+ k            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
2 T) I; D' K) f# |! h  Q[4]     Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
& y. U8 w! x/ ~! z. e            (a, d)
            (b, a, d)
# [6 _2 h9 c) e1 f0 X            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
! j+ F4 @; p. bConjugacy classes of subgroups
------------------------------
/ S% C+ S) d1 [" F
: c6 I3 M7 M8 O  x4 w[1]     Order 1            Length 1
, F: V/ B7 _$ p7 t+ }3 s( K9 ~        Permutation group acting on a set of cardinality 4
* p1 w8 P- G3 j& v" c        Order = 1
[2]     Order 2            Length 3
4 c0 L- g( D$ N7 C' r9 \9 Q' z; `        Permutation group acting on a set of cardinality 4
& c/ X8 y4 w. m4 B/ P        Order = 2
            (c, d)(b, a)
, r" i( e) P8 q- V[3]     Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
  U, O' {% U' {% m8 Q7 o5 V: T            (a, d)
[4]     Order 3            Length 4
9 Q% s6 E, P) V1 o, V- ^        Permutation group acting on a set of cardinality 4
# Z# W) v% Z1 H" {        Order = 3
            (b, a, d)
& Y, m3 ?+ g/ L: B[5]     Order 4            Length 1
4 d8 |! Q0 u( M5 A        Permutation group acting on a set of cardinality 4
# P9 T$ T4 G* j7 ]        Order = 4 = 2^2
. Q& }9 \1 j& f5 j. \            (c, d)(b, a)
; ~1 ?* Q3 ^/ [" E' F            (c, a)(b, d)
[6]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
7 S0 J' i/ K7 }( W* S& v) y        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
[7]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

[1]     Order 6            Length 4
$ I. A2 z( X% o  `! y8 i3 p1 A2 \        Permutation group acting on a set of cardinality 4
# v( S# B& F5 P; P" E/ V6 o        Order = 6 = 2 * 3
6 ~. k1 }7 F4 v            (a, d)
0 v4 Q; k) W$ u% U            (b, a, d)
! f) P. y9 R! U[2]     Order 8            Length 3
7 j$ X1 f( r, g( L& r3 |        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
: C: C* j; t+ {& ~            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
" v# h' c4 ^6 s  G# d; S        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
+ M' o( J* X5 ^0 _* U$ j            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)

Partially ordered set of subgroup classes
$ N% ]: b. A, g$ W-----------------------------------------
$ F7 O* G6 b, O! Z
[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
---
; {4 |  A; d- ?4 ], i[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
---
: L' e9 Z: E+ m) y6 n5 J[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
  |: j9 Z* t) e# I[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
---
% ?  K- T7 U. z' D2 e1 k4 J[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
( j3 X8 D0 d% S8 |1 D2 u1 e[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
6 n9 G. d3 y2 H( o! h% l[ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
+ `. J6 W& f3 q---
[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:

GSet{@ c, b, a, d @}
Conjugacy Classes of group S4
( ?1 v/ E0 A: w2 l-----------------------------
[1]     Order 1       Length 1      
        Rep Id(S4)
. f6 G# O  I4 t; s! L8 y8 i9 l
[2]     Order 2       Length 3      
8 @3 m% t' N3 r2 t+ [' \% S7 e5 {3 U        Rep (c, b)(a, d)

% E2 o5 z# `3 z$ ^* t# E[3]     Order 2       Length 6      
        Rep (c, b)

% x& n9 f. n0 j: d& [[4]     Order 3       Length 8      
2 \. U- i: x* K" V* H7 h5 R) a% C        Rep (c, b, a)
, M, j' f( ^; m* |9 v- Q- E
9 M0 m" h5 X) O4 Y( q[5]     Order 4       Length 6      
+ c! ]+ j6 f' _! K3 K, [! _1 M        Rep (c, b, a, d)
3 B- j" [2 N! l) ~9 j

* d* V( U' K8 T0 ?. b% q3 O5

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
) h7 D4 \7 ~. O        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
) u& U' Q8 z6 q' O9 _  j+ y        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
& Q; H( t" T( r7 D( I' b1 n/ h4 U1 H        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
7 @: n, b: j' H) {. P+ [        <row>7 13 19 8 6 11 4 0 3 14 15 5 22 1 9 10 20 21 23 2 16 17 12 18</row>
6 C: M* v) l2 T5 `        <row>8 6 9 7 13 20 5 22 17 1 23 4 0 14 19 12 11 18 15 16 2 3 10 21</row>
$ \3 {/ g# n' e  X) T& w        <row>9 18 8 19 21 12 15 16 1 17 4 23 2 3 7 20 10 6 5 22 0 14 11 13</row>
        <row>10 19 11 18 20 13 14 17 22 16 0 2 23 5 6 21 9 7 3 1 4 15 8 12</row>
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lilianjie

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
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康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
6 ~* E- z" [7 \( z7 Z6 J( e0 d6 z1231231234

4 R" |4 e8 P8 w* t大师啊。。。。。你太厉害了！
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lilianjie

过奖过奖！还在路上！

xxgzftj

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。
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