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- 从1979年开始,潜心研究世界数学名题四色问题的人工证明,去年由科学出版社出版了《四色问题探秘》小册子。
群组: 学术交流A |
本帖最后由 张彧典 于 2014-6-2 10:38 编辑 - e" f' b7 w- z% O- R
: s9 N2 k% h, R& T! }2 C: B7 w
王树禾教授在他的《图论》(2004年出版)第99-100页中,有定理5.6的证明,现在转载如下:
* _; g6 l" {4 y定理5.6 (1904){5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
+ E9 ^& n# e( R+ i 证明:令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定,开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5,T上各顶总电荷为 ∑(6-K)Pk=12,其中Pk是k次顶的数目,,而K≥5.. ]+ p0 \- l! |' r: p% e
k
, w3 a& w1 c- a, \% j) G; U 把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。* t$ k( {4 N P' j" d8 m
如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象,每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶,即5次顶与7次以上的顶相邻,最后5次顶上的电荷变成0.; ?6 o% P! X$ p2 Y4 g
考虑K≥7的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为/ f5 W. ?, O& r3 Q+ U, v
(6-K)+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0, 【我把这个算式记为(1)】8 T0 d, Q6 _2 {3 D( |# ^: I* q
于是T上的总电荷量是负的,不是12,矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕] ^9 T- Q) j( P9 g. P( u
7 ~3 i3 r9 T8 T/ g$ \4 E. g( f7 _ 其中,我们发现, (1)式第一个等号前后数字5和6不一致,应该都是5吧?这样的话,(1)式应该是" R7 z( n! V$ e& s c1 [+ `
/ p' z2 @3 z- o! X7 D
/ V, K4 O/ M9 j" A1 o- W* j2 @ 我想 (1)式第一个等号前后数字5和6不一致,应该都是5吧?这样的话,(1)式应该是& j( \5 e: C( l% A: P
(6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 (只有当K大于7时才有)(1)< 0,这又表明开头“考虑K等于7”有问题,只能大于7了。 A3 \- [/ T$ l
7 U% J' S# Y( j 如果确定是k/6,那么(1)式为+ |, w+ ]9 K z" _9 Z
* z' x+ d4 K* `- s1 [5 w$ f' F1 f
(6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0,其中
, `& g# h4 u1 `0 u 把k=7带入(36-5K)/6时,得( s2 L) n4 X; {
( 36-5x7)/6=1/6>0,显然与(1)式的值小于0矛盾,所以说明开头所设应该为k>7才对。但是这样一来,定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。4 w8 Z" _6 n h {
" `% ?* a# G" j
那么(1)式究竟是什么样呢?会不会是:
7 Q6 J: Z+ K8 A- q ? (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1 (1-1); @4 n* B! T* S. \
或者
% Y+ N9 x# ]* L- t# H: N6 H (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1, (1-2)
. o$ v) E( M" k因为只有在这两种情形下,所设K≥7才有意义。 3 l K# ~- k% C6 [0 A! r5 q
如果千真万确 是这样的话,对于(1)式,我们可以仿照证明定理5.6的思路: k- J0 k/ x! D$ b8 _* c! M
考虑K≥6的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为7 [7 {; |% W/ B" {0 |8 P
(6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2 或者 (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1,' x- Q: J" v' S
于是T上的总电荷量< 2 ,不是12,矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。! Z7 b/ X- o& t3 w5 X# ^2 @0 A
比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明,只是前者比后者多考虑了K=6的情形,由于6次顶是中性的,它既不需要发出电荷,也不需要吸收电荷,所以可以完全不考虑它的存在,即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
6 g; Q8 m. I( }。- C& E1 y! d+ h6 c0 D$ V
如果这个仿照证明成立的话,就说明我在《数学学习与研究》2011(21)发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。(在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改)。
+ T* t8 r3 s( H" P9 N( k 我的认识对不对,请王教授指导.
( T( [& h4 ], W0 L+ S3 L( ` 2014.04。09' m& n0 F, B z$ y8 a
& y8 a! l: ]- I9 {6 R: X6 R
8 Z/ |& `8 `* r4 h% c, I+ |8 X0 R( O0 \; _- L6 E; G9 c/ T
, @: E# U4 U2 w2 P- x! j5 `8 w% C
/ k$ P& e7 L5 I8 n4 @& ]
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