简单的说,平衡原理就是原来的平衡的因为一边发生了变化使平衡破坏 然后反应朝着能够削弱这次变化的方向发展。现实中绝大多数问题都满足平衡原理,交通红绿灯的设置与路宽的关系,收费站的卡口数与车流量的关系等...* x: Y/ E( f" ^0 ^# k T# a- s8 S- s
建模中我们拿到的题目并不会直接说明其中哪些因素满足平衡关系,所以这需要我们首先要查阅资料找到该问题中隐含的平衡关系因素。然后建立微分方程求解。
! Y- a0 o5 L$ W1 C& c/ u通过几道例题来说明一下:
( }8 S! a; O) s) {6 [1.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。' O* C, m0 v/ {8 m
第一:找平衡关系。题目只说了出生与死亡,给了我们一对平衡因素(人口的增长还与该地区的人口迁入迁出、资源分配有关,出
0 |! P! F+ z9 V: Q! B 于简便,只考虑出生率与死亡率)。$ Y; w# [1 M$ s- f
第二:找平衡变量,与出生死亡有关的我们可以联想到出生率、死亡率。
" ~, X$ ]/ s1 |, w第三:约束条件,建立方程
- }2 G6 ]: O' u1 e2 w: j3 {2 M/ e 1. 人群个体同质。 2. 群体规模大。 3. 群体封闭,只考虑生育和死亡对人口的 影响。 4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。(生育率和死亡率) 5. 群体增长恒定。 6. 个体增长独立。8 M- M a0 ^' [3 I1 w* N% G
人口数在区间[t,t+△t ]内的改变量N等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。 令B(t, △t, N), D(t, △t , N) 分别表示在时间区间[t,t+△t ]内生育数和死亡数, 则有:/ v6 ^7 \. O0 t& f# @% j
# @" `9 F( {5 r. n# H" B5 Z 则出生率: 2 s; d g" r! j2 t H, U
0 B4 n" l3 O$ q" r; j7 B6 [" d- R 死亡率: 3 p/ c7 ?7 q7 ?) Q4 y; {0 N
) {4 ?5 {* G* R; X6 w8 z1 a9 j 自然增长率 : 3 S. @3 |6 g1 m! P
: x" B0 P! y3 n# Q: }) m6 d 又因为初始条件:8 B1 V$ G: c# P$ p, m
# `2 [3 t& i4 Y" H- ^
继续推演可得: " Q. X* H# u2 Q# \6 o: u: o3 ]( a
2 p9 c% V5 B) ]# `; q `+ l
: c0 `' K* Y7 l2 \. J* N+ v" w给定初值 N(0)=N0,可得人口增长的指数模型(Maithus 模型)。但是实际情况下资源必定会限制人口的增长,即人口数量达到阈值时候会减速增长,模型变为 logistic 模型(s曲线)。+ y/ j z( R. ^. J8 d6 C& ^0 W
以上例题仅仅作为说明平衡原理的理解例题。实际应运中平衡关系从物理角度、经济学角度好找一些(只是本人感觉)。0 a- Q% t. {, _9 m1 n2 X$ f% {
附本次例题来源的word文件供大家阅读,更深入理解平衡原理。
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