哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
4 P. r1 ~8 q5 u; R    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
$ Z3 n% j. |. Z已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
/ ]( w) @# J' r: F5 |: b: X它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
) I! f- q5 e, k8 q& w1 d: a; ~已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
; X( |8 t) t- D# P以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
# d3 t" C6 `3 h) [! q! P* H则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
1 B8 C: S3 B& I- v7 `  m同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
' ?+ F/ V' D' S% w即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
* o; }5 p0 l% R（2）式为奇质数表示式
4 k" S! }% w, O& R由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
2 H! g# K: i: q$ J) w 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
6 s2 }  F' t+ X0 M8 O; d( L6 h/ p( \  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
& C* h) @% ]0 m4 I由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
0 d) C% k+ x# V, r/ r用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
7 I0 i' u" r1 }2 ]% D其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
- \2 @2 v/ \5 a2 X+ ?$ H这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
2 ^! I6 e4 z5 s1 X即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
$ z+ p5 E3 d9 U/ A2 ]5 n9 s5 s1 r+ U例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
( d6 b7 ~% n0 R% ?+ n3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
( v; v; @4 {0 W$ E直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
, }) \/ Z' t7 l$ k! S: F) w4 S即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
$ i$ @' d0 W6 `, O3 q& d2 }  |在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
5 o3 g8 M! p2 j8 ~+ J又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
  d' y2 \, l8 G! ]3 g即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
+ M6 `9 ?2 P( [6 c: ]. F. ^或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
) v! z: P8 u" L2 C9 C( z从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
- C9 D7 a  z; \9 Z
5 n  V$ ~2 m" l& U得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
8 f* B- F  |1 _3 W0 H' H1 j若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
, A! D' ^- o. e+ W: k1 m# P9 c在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
% p2 O+ l* N% T) P（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
. I, t$ d; F, ^. Z/ @- }% ?即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
" S: O+ _' j# J1 ~  G1 C! h, d1 N2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
2 G$ w, D/ ?& u4 v( [  l" U: EM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
* ^: \+ e. n1 k; l
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
* L2 N% {3 G, R5 @" u根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
. [$ c1 {& f9 O: S) ]- Y) @& `已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
3 @6 @5 T8 c# Z6 hPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
$ ]7 q0 [  y- {& K1 @0 {/ KPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
8 x# d, Q: l" i! V三，也可以这样证明
: [. Y0 a) @8 i1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
: Y- a) A8 c! E( s设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
+ a( D! \8 z9 z0 u& |" c; o若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
: B2 F9 Y4 z% b. \+ S( Z  W6 ~由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
, Y+ k7 q1 |* ?) F2 D6 \当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
2 ^3 }/ a" f; @设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
$ B1 i# L( w9 u: i/ ?  f6 ]/ _+ n8 d代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
- X7 q2 G3 k4 g3 n2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
( ^% Z; C3 z& D& t1 y3 @/ n4 k3 i代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
9 D0 N, ?$ b% S$ m5 x1 A; l/ i9 S2 k: }设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
& f9 F6 Q$ C$ ^9 D; }/ |& \: u. A/ I& ]; }得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
) b% i; {8 e# t6 m5 L若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
2 ?: r2 A6 F% W& U8 d3 ^n为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
' Q0 ~, r. s, e! vn为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
) {- v& p+ ^0 h/ x" d# L$ \2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
& k3 P& O: a# l% ~! l- b! W7 N将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
2 N: V$ }& J; |8 O& T) R设  Pn=2  或        Pn=3
: ?. B/ j& K8 W" C 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
) f& K3 c7 T/ o8 o+ c8 v) {/ K! z又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
+ V! a" |2 }* l" ]1 k, d7 a9 b6 fPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
- m+ B' L( R& I  W+ V# }# Y或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
3 V% X. ?6 f* a/ w由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
5 Z: \! m! Z, k, g: P2 `     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
* Y0 U! O5 z' m* z1 k    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
5 A. w8 Y2 u  B    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
  T! K- T' g, u6 y  n$ z    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
# C9 E2 a! I% A  s# e（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
# U8 ]& g7 J6 G) P' U1 {. E7 r) q 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
* J5 v  f4 P: A1 E存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
0 s; Z8 d2 z( c' R& |& P, z" R1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
" ]+ C# I: L& q/ U第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
$ G( M! w" F( Z' i0 Y& Q                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
# ?; B1 S' D5 r9 y5 u' F& |                                             =0+3+10+3=3+13
7 M, @' v! ^# t( j. C                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
+ X- J+ s* ?# M2 x9 M) j                                             =0+3+20+3=3+23
% ?9 b! q+ h  q第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
: D+ Y/ g' ^8 G+ ^" r9 }Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
$ U5 a4 B# z4 \: y8 R5 u0 h0 U  \) @      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
' S4 Y6 t" M# X1 [* Z, M            =4+3+44+3=7+47
' k3 I: Y; |* b6 S5 {" n            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
7 B) A% U8 s, R0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
+ ]& M( N9 h0 i0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
2 E& s; K) j- p# k8 ]/ d" C" {2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
' D7 w/ u+ Y- S) v9 r                                           = 34+3+58+3=37+61
1 ~; W7 ?, U1 c0 ^. n1 U2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
; T& \) B! v: f综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
* S: o# P: s1 \2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
2 {4 N: D: S" }7 N, W& x4 `% n                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
! x6 P0 [+ I, G. a                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
* z+ e; v2 o/ I& P. [(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
8 A9 Z6 C) S/ x' x/ X7 t( L; O& N设N=2    2n’=2n  代入上式
; O; M0 X9 C7 w4 ~得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
  ?( \  f* ^5 b& j; V又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
! Y/ p& D) |" j0 }4 o& nPn=2n’+3   ……（1）
% X- j& w8 `% k; p7 ?) N( N0 oPn’=2n-2n’+3……（2）
# Y: ^1 [$ S# V/ w* V. O2 v, I: [2n=4n’+2n’’’ ……（3）
; Z. f' ]/ r& m% ?& l* A上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
/ {/ Q' P4 ~! |5 q  B1 d2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
* I1 Y. J7 c; ~( |  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
6 _8 |, }" x* d3 ?. U0 b  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  `# ^5 u6 I: r0 r5 p9 y  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
. N) z& r4 [. K5 m（2）方程组
  ~. w: |9 B5 e$ NPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
/ T6 Q4 G9 T% N' S4 i' x- f1 c4 W2n=4n’+2n’’’ ……（3）
2 T7 x7 ~& J9 m" P" f( ~& y①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
( ]! y+ |3 w7 U" [$ a确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
. s$ s- g4 h; T$ {4 z③证明方程组成立
  j1 k8 \8 R  V; v即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
  F8 S, T8 h- R9 W5 h6 m又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
* v! x7 D& s! V% {$ T3 p得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
  M0 y  D- y/ I2 s1 W. a( y) EPn=2n’+3
1 s) m3 c) Q: k+ N$ ?Pn’=2n’+3+2n’’’
9 U& }) U' n. i7 j4 o 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
$ w" s1 ~/ m5 g3 N4 ?即Pn=2n’+3成立
6 j3 ^7 g3 g: r4 O; N6 cPn’=2n’+3+2n’’’
- y: M9 a  L1 {8 Y  =Pn+2n’’’
; t6 h5 c! S6 b1 s4 V  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
: m" [/ k6 ?2 \! w" ~9 E9 f0 q3 @则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
1 B! q. N0 O2 f( w即Pn’=2n’’+3 也成立
由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
: v6 q- \1 Q9 w; x/ \7 P即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
) p) b% W3 U1 l0 h因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数
8 A2 ~( |% |/ P" \3 K) u% c
3 用数字来检验质数表示式的成立
% ?  J# k9 I7 L3 e5 V7 v( ^已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
9 e- M; W/ C2 |0 \8 C4 E- n设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
; F; h, j! y2 Q5 p9 O" ?     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
+ Z2 N: O9 @* \3 {! x4 B      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
  S+ v7 W7 D5 \  M* }7 n' }, W      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         24
     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
( O5 }- F7 c" k  v; S& x6 M     92        56      36        28      64        31        67         98
3 S5 u6 o0 G) v6 g% F  E     92        68      24        34      58        37        61         98
0 V- z# j1 U; y& Q     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
7 f: J4 B: ?" A+ _. K     122       116      6        58      64        61        67         128
+ \# H" a0 _" f 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
$ Q, w3 s  T5 L8 E2 g, }( ]5 Y2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
" J0 k$ P6 a: S1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
% U5 `" |/ f# q; @(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
9 C4 y" {5 ~6 ~7 C0 g4 f# L5 \(3)，它们的分布是不规则的
' f! w/ F8 a8 W) ~# [5 R由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
" W( C2 e6 s& l7 O) b6 Y7 o+ c2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
9 `# q& i% J, o ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
2 R8 U1 X! A1 p! r6 K; k9 T③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
/ j6 V. q0 S- @: H4 k0 I ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
& s% E8 A1 i5 @% P! h ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
( p$ p6 ~$ e) f2 Z注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
; m) M% V! g) O: n因为因素与理由意思相近或相似
# a5 s0 u6 x) ?- K1 U公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
/ U+ c! ^& y9 P, N* {- Q5 W公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
- E+ l( n% I% e  k. E' Q2 k如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
6 G5 I+ J0 Z8 u. _. W5 F4 {这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
% s) w' y- K+ q2 @2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
$ C7 \- y; A( P" b+ E0 N  ~* j下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
. g! K, g- E2 P' w& |8 m: k  k则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
+ e3 b  C7 D$ }2 [1 QPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
: N* a- n, I4 m/ |7 m即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
* F$ J( I7 l) Y" @由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
, B' a0 ]9 o5 e* Q7 {- Q8 e则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
' Z# I9 \5 `; s  x: l/ B即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
7 j. _) g: x6 kpn        3        3        5        5        59        61
2 @6 G$ \: w% w4 `; Y' s
Pn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
: C: T0 S8 L9 on’         0        1        0        1        4        3
# P% g9 O3 g& [- b! a6 {M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
' F( }6 N+ j- a) V* b4 }M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
( J5 f( h0 _6 W& b" [9 C8 Z2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
4 N9 @# S) u  E$ P0 v4 T: N2 f2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67

7 |  A8 N- m/ v# P注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
$ L9 ^' P% K/ u7 }' C3 [6 |0 c式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
1 N7 y, S2 z! L! B7 h; O+ b例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
* c1 W9 ?  |- u3 E% z# Y$ ^! _  M                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
3 w. S. V" x% E1 [& L# U5+7=3+2+5+2=4+8
1 {5 W* l' s; j& t( V: z7+7=5+2+5+2=4+10
5 z+ Y+ Z7 m7 J6 D. e2 b2 B" p59+67=57+2+65+2=4+122
8 F3 ^( p, i  f! e- z61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
3 m& v; A  Z; G( Z当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
! q* l$ ~. m( I6 A2 y9 G# {M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
( F6 V# o, F/ a4 h, T$ u =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
        2011-8-6
9 O  @  o. c5 H* b通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
! o, [" v; H8 n. O( P  C; I" T邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府

: J0 H6 Q! w' W3 Z. l$ Z
; Y* H; I1 T2 Z6 c7 E

1395094431

同－个帖子为什么帖四次？

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
! Z# L" v5 f+ x6 b. `, F" B2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
$ H0 A$ G; V2 j9 b: A2n’’ 保证2n’+3为奇质数
9 X0 i4 n7 ]- p. W9 V即Pn=2n’+3
是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
! F9 Y2 o" }3 j( S/ u+ ~: ~# D! G即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
- ]  i+ r( w8 S但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
2n’’
使2n’+3=Pn
成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
9 t, E; m0 s, r2 w6 w( ?又因为Pn’=Pn+2n’’’
- y6 ]' q, y/ r* J即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
& ^2 g; ]% m  s  L已知Pn=2n’+3
Pn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
2n=4n’+2n’’’
% W& V: X. N2 s5 R& k6 G2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
0 z, R/ `2 Z0 J* }8 T% I又已知 2n=2n’+2n’’
1 k7 _/ q! C4 @/ X! f代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
由上证得Pn=2n’+3
Pn’=2n’’+3
又已知2n=2n’+2n’’
即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立
7 T. k  O5 Q0 c