哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
) @& E! ^/ _& {' D) j  Z将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
5 B6 h7 Q1 p. r9 X6 i1 W, z以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
: F% O) f, D2 E/ J# y7 J同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
$ y- \+ {" ], m2 `由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
; ~+ C1 P0 y/ s/ U3 t2 X 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
# [2 t' \" V" s  F; Y# ~: p  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
( B. ?+ V* n: w6 X  W! [+ |由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
$ G; y8 x! `" U& k% y即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
8 W  ?% ~( Z1 W* `0 f# b  Y2 m  p7 @用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
% u9 J8 g$ H8 u4 J7 l                    
( i* A( Q0 W- x3 A0 L% @1 I8 ]其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
( D$ ^$ Q* _- n7 y即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
( u) E$ R9 O, f: j: k例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
* Y9 K! T4 o# m% T/ e( |2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
1 ?% K& P/ N( z' g: V3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
) s0 p0 G4 @; v) O4 U即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
% ]; ~8 z( H9 J& I/ ~在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
) Q& W( P$ A3 Y1 X) R7 a; ]代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
) E# B4 k7 x! q$ ^, v$ f" l又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
+ D8 d/ s6 U5 f7 L- h  H即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
$ q8 ^! Z/ D6 _) @3 G或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
) S, c% n% y! q, K从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
# i! S6 g3 i" H2 O3 I7 I由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
0 f& j" P' u1 ?由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
6 J  v8 A3 Q6 F' ]4 P* h0 d8 ?" J（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
" }4 m% L7 h( z3 o" ~) @二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

, ^9 ~) M. u+ a, I得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
8 [7 s' Q1 C6 v& T3 q9 q若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
- u* c/ w- }) \" l) N9 T% a同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
4 u3 b6 c- g+ a3 \（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
4 t1 {" S4 B* S  y2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
" Y# m( i  I+ I9 u+ Q6 P: Y9 C: O设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
' t# U, [+ E2 b+ S, s6 V5 e9 Y) P# j即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
  D- b" `# P. h- k) w9 {4 V例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
/ @9 A* q' D$ ?+ k; G3 F8 ~M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
9 [# G7 m! ^/ Z) }. A  zPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
! L5 v9 a( f" _+ C2 gPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
9 z' ]$ T4 v/ h" g% I2 bPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
! W, `5 d8 i. W5 u. J% Q又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
% @* {) V9 T7 z因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
6 ?3 V5 g3 }' O# X3 ](Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
1 y' @5 D" @3 }4 x; RM=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
/ a2 }/ o$ ?( a9 P已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
2 X5 n: b3 s+ n( N1 }0 EPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
% g7 L! L5 p7 ]" c* B6 z9 SPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
; D( ?8 V. m6 U1 R+ K8 |4 K: V三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
1 d  X7 V* X2 U7 t& J" F/ J若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
, ?5 P# B3 f0 q, }4 J! w) ~Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
% S- B5 F- j9 q1 T7 F或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
" |) t5 H' L3 L, s7 t1 T. n由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
$ ]! w6 U8 D3 ?, [: X设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
+ D" I3 S% C) M/ I代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
+ Q$ L$ ~; W- ]2 g. x" d/ d3 l- F7 |) {2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
3 \/ @; x  U0 K6 z9 H9 |若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
' j' `& T' T( W: `0 i/ T3 u: G, I, Tn为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
0 B& ]* ~. u" R+ w9 Q9 U3 a2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
# y$ p$ D# I( tPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
3 E: g0 K  f2 |4 P, F+ s# L 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
3 T" ~3 K5 l) A. @/ {8 @$ |（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
# E% w/ g3 |6 p. p! rPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
# t! Y  V4 X4 m  W& V) l- JPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
7 _3 R+ T( F2 m) @/ j得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
9 x! ~  t, x& O     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
5 M' f) d4 M4 j6 J9 E     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
5 s0 L( b4 n2 I) d* k     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
  [6 y" ^2 t' L0 v/ ~     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
/ h* f0 X& I- S: i/ @' v    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
7 A& ?0 ]: J/ Y4 z) Y    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
/ M) n, [( ^$ i3 K+ KPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
  _7 a% ?( L/ `+ a. ] 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
3 u8 c7 b( P5 `1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
4 P' T, ]) q5 }6 N第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
9 W+ \8 j/ y( o0 x1 Z                                             =0+3+2+3=3+5
/ i4 H9 {& l: t* T% X& I: {                                             =0+3+4+3=3+7
% }4 h$ M* i! z5 o( N+ Q4 E                                             =0+3+8+3=3+11
- |% O( V. L7 m: v3 |+ ^                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
& Q" @% o3 U7 ^6 \这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
. F& ^8 D4 O0 V6 k7 _, k' k- cPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
9 s3 c  G: t" E. T+ W) m; ?5 s5 U$ t" x) {3 Q      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
& z9 [; U9 V% K      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
! ]( w$ \& R' ]3 u3 s            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
. Y; i2 J8 A3 T3 s& O/ W! S0 x            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
, Z6 ~8 j- e$ x: y( }- o0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
/ y: n  R  g/ ]& ^它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
' K0 x- E+ y4 x8 i+ O0 ^5 U! [6 e                                           =28+3+64+3=31+67
+ K9 R% z' B5 Z4 e2 ]1 E8 s                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
) f  J) ]' p0 R/ K% B                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
: z# T, p9 ]1 m                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
4 t: z0 j! \* T! |0 c$ e% f5 _* a/ L6 V2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
4 M( s, E. F. w  j3 N设N=2    2n’=2n  代入上式
$ M  L5 [0 w7 t5 E" F; }得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
1 H0 v8 Q" _1 n! G: h+ l+ Z4 Q8 i又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
8 d# I& Q* p0 m& z" k: f( |# O2 D2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
/ i' F* G* ~# K' R  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
2 s0 @: P- g. k3 X  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
) e! A9 H7 K5 F' W  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
8 P% l  \2 j& i/ D& `+ i2 E; J6 A  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
; g8 J- N/ m& M$ q$ I0 \3 N) o2n=4n’+2n’’’ ……（3）
9 Y+ n. T' s& ^( _  X5 r; {. S①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
; V/ ^4 \% |3 }( ]设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
1 A6 U( L/ v, r, L6 O% X( L# S3 L③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
4 `9 U, r1 N  ^, r- w8 z已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
, u% m$ K# |! }又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
/ `9 i. C0 d, W, Z, r5 Q7 X. \   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
8 P$ O! k7 O) M% C3 g' q2 ? 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
$ D8 }6 G% d) s  g( ~2 R* F1 `Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
% E8 W% ^' h' B4 ]  =Pn+0，2，4，6……
, u3 o* ?* D, L" a# J: y4 q已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
+ v; P1 U0 U8 l4 n则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
5 _3 H: o# r* B3 C即Pn’=2n’’+3 也成立
) b) _. R) g) B6 h( x由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
0 v9 d) q: S: }4 |4 c7 `由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
8 t! b$ O+ C% o* r& E即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
! q+ d4 g; N0 ~因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数
% _6 I* y. T& T6 O# r7 D2 q, k& Z
" z+ H6 ^# i. K7 a* R0 Y3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
9 X! l; N3 s$ |8 _8 v9 V设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
6 X; Y1 s8 P3 \& G6 @4 ?1 |      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
1 a# b& M2 F( A$ d      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
, [4 w' c, Q* U  i      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         24
     20        20      0         10      10        13        13         26
4 y6 N" e" z/ `, m# ^! l     92        32      60        16      76        19        79         98
# n8 M+ e4 S$ R7 e$ Z     92        56      36        28      64        31        67         98
1 L2 D1 o1 v2 x" E2 A     92        68      24        34      58        37        61         98
* |4 s& H7 p3 X     122       32      90        16      106       19        109        128
- {: |: l6 r! D2 n2 o8 i' B1 \     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
1 i; C3 X3 k3 [8 M 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
: W' b0 p0 }3 ~' L( b, t2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
" ?; }. [8 [2 H$ k9 t六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
8 K# k6 i1 R/ H5 h+ q+ g: o. I1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
7 G9 \/ s- ?2 {' J" N8 t(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
* r! u3 [6 n, r2 {(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
( \! R; t& Q* F3 O; n即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
5 u( X, P9 b( u# J9 R4 H③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
: @$ G4 O) e' N6 c ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
' U$ [$ d; y  S$ @6 N! L3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
+ u0 x( ?2 T6 z8 P- x  c) Y! O' J鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
2 a+ P: q* S% i5 b2 f# l4 f注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
0 Z) T2 B  H5 `& A# E1 ]又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
8 M) W" q+ L% F" _  O# F, {因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
) l' d* o: s- B   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
) }2 o; v* N9 M7 R+ E. a& J- ~2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
: M+ q: M& v* W6 ^  }( c, [- f由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
* B# H& i" d! n" i, P2 B$ ]M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
: g. V+ d4 T( p6 [2 I) A3 z则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
8 x& x( N9 G# X2 @+ B4 m即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
" d% t0 U+ x' P/ X; X得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
* ~- k& I/ P- U$ E例
1 x. y+ }3 h$ h0 G% tpn        3        3        5        5        59        61
. i' q% X. O- h5 E6 V
Pn’        3        5        5        7        67        67
3 K) {9 G1 V/ `; m. q  M2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
' P2 c7 |5 b& c$ p即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
8 _  \0 ?  Q: F0 j  ^; m3 qM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
; {$ H* p3 b) I7 U+ e2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
$ H0 ^' l9 F& ^7 Rn’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67

注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
. Y/ Q% `- l2 ~" T若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
8 @5 T6 r* S- K9 U式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
- M9 r* Z" K1 ~; u, L6 M' J例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
) `. }5 g1 [9 F3 M                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
2 ]7 @* F: `8 Z( w* M                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
/ l2 I$ `# I4 }2 U' P& p0 a7 ?7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
9 a: Y: x1 o5 X6 b0 k8 T…………………………
1 C2 o# G' }0 l4 A在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
2 ]3 k! @4 }- Z7 t2 k% w; f! R# B当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
! t6 J7 O. L+ C& g8 E: _1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
: i3 a; H# U# ^$ \+ W8 d% I若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
9 m( m+ r6 K* g) ]6 E =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
; N* L1 Y' O5 g0 x" J2 g6 J+ a =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
& D/ H. I6 T, W* f" ~1 m再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
% z! V" v/ M$ |- K: n即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
4 N5 i# d* C1 x. a, R笔者   蔡正祥
        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
  a$ l$ i4 P$ F- a

+ b7 [. x0 r) {

1395094431

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蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
4 G0 v; a% u6 c7 S, e% N/ y$ t$ v2n’’ 保证2n’+3为奇质数
$ S0 s) |' |7 i" I: X3 x即Pn=2n’+3
是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
7 B3 i2 F5 H" }) P6 A即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
2n’’
' U/ U7 R8 P/ ?9 ]使2n’+3=Pn
成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
又因为Pn’=Pn+2n’’’
, e. {8 w) j7 ^( \即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
3 G9 Y6 r5 {3 \& x已知Pn=2n’+3
Pn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
2n=4n’+2n’’’
9 ~1 T/ M( _% s7 v. S" S1 N3 N2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
又已知 2n=2n’+2n’’
代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
# S) S2 b  I0 o由上证得Pn=2n’+3
Pn’=2n’’+3
又已知2n=2n’+2n’’
即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立
# Q( W+ U8 t0 e4 |! Q3 S* c