哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
+ m' y' J1 e7 r2 I7 `* H8 D* a已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
9 {5 X% V2 X1 R8 o% e$ |则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
/ v% D# `7 J% v即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
* R) b* z. x% C& o2 a) ?$ G 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
) U$ h) V: w, j4 d$ ?  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
, J( f1 }) ^3 U' L) z均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
5 |  Y- g4 x: x0 K: p+ G2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
5 O) j/ c0 E$ @  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
9 i- |" p! c3 a( M用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
5 U8 ]6 B# |- W& R# a: rPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
3 t  ]" }* |' {* M这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
7 Y4 [* P2 p/ ~& A即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
8 ^) b  w  M  i& e+ |1 b2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
  k( [: K  Y2 _3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
. e. ^: }) t) s% s+ s直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
6 i: T3 e- @/ d( o' C8 A在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
5 G5 M9 u0 C# e) z/ L代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
. g7 F- r5 u+ Y5 s6 _' `在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
5 ~: ]3 ]  Q" O% P: I即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
' o; y! A, F- c/ m* G6 X& |. M从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
7 E% ]; f% l% b5 Z- P; Q由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
7 w$ `/ K' a  n（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
4 c% S5 l# D! n7 m9 W7 k! B二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
$ R9 S) M" m' G" C  F) X1 n' |1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
$ ~- C5 v7 S: [: z" [+ U若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
& G, [! y  r# [" A  I) ?" D) F( d若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
; B, z0 g: x! ^* L8 `即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
% B3 i0 A! x# J( t例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
+ x2 ^. |6 E9 v* ^2 E7 s0 @5 ?2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
" t/ {& X8 T: D2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
$ k# c9 H/ k2 }4 qPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
+ @/ ^: e' w0 W% C& ^  BPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
0 V0 W3 c( r. }8 N/ ^7 Y因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
$ j  Y# o( i9 z2 C# H则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
  ~% [" S/ D. QPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
# H6 |3 x4 ~' B, Z) H设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
1 n) a+ f0 Z- {/ M2 h: A" d. ]若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
  V& h4 j* U) x2 h* _代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
3 q3 g9 ^0 U. L9 f! b（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
/ x8 m0 ?' R* z% l& Y3 _Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
+ K  A* t  s) r1 f或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
8 w0 G3 H& t6 e: |$ }8 y3 g当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
) Q0 `8 k6 L6 }! z# l$ d5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
# X% m% V% [2 `9 S! O) B) M, s8 n3 t设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
( [2 l0 ^! B% \( G, ^+ M8 n若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
6 Z  e9 s1 r' l1 W: J- Y4 W) u同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
; j) }7 m1 _0 c3 l! C: o! o9 D即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
0 d, G: E& S1 X; e( Gn为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
, M2 j- n; Q4 f% ]/ i& P% y2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
) S* |3 q# ~' M- V+ a/ x" f2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
+ \- b3 d, C7 i- V$ X+ S' j0 s1 w将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
( c/ h( M9 U4 C+ G( xPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
; k% R+ T& _5 X0 H1 A5 K* W 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
3 \8 a8 d* t2 n- Z  WPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
! y5 F& Z" c$ S! z' ^Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
& y1 y% P3 |' I+ f或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
7 L5 |) J& o7 A% X) Y（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
- x' ]9 C* ^$ ?% F                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
% t# l( l  Z0 K$ n& c     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
. a3 M$ m  R2 `6 E- N     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
7 t  y2 z9 G) ?# o% U. `% H8 i. N) G    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
( c. H. B) }/ o( N  ~0 L6 b; C    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
; Y" Q- j  J5 S. X. u+ iPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
5 D4 G8 D6 t8 J% Q8 ]6 i3 r      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
! H0 u# W7 ?: d  g5 |- V9 a% Z% v（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
+ }: O9 Z% @6 i2 b4 K 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
; V* d$ R' o" S/ R4 t# e( X即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
2 Y+ W/ r$ M5 N/ |3 J0 f存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
4 A+ g4 J) e# {. U  b; b由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
" k/ X3 w  r* H. B. X5 O3 z* ?: Z在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
- D( J) g9 o5 l( m2 h0 i" b                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
+ P  c$ p. k0 m% ], m5 O第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
5 T8 c. G5 P& z0 o            =4+3+28+3=7+31
' D! y" h/ C0 F+ f3 D+ ~0 p5 S            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
/ _* o$ Q. y' j. N6 G: Y: q0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
* g9 q& A& ^. w% ~0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2 e3 J+ M: h( z  x* B; i2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
& D: C! ]$ q1 s, P2 R7 d                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
3 R- m* z- `6 L% g$ c2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
9 S3 v/ p. ~) X) s$ t+ k$ G1 g  A设N=2    2n’=2n  代入上式
得Pn=2n’+3  
6 U$ Y) @/ ?/ `: J1 o      Pn’=2n+6-(2n’+3)
2 X. D# ]/ |) N9 Q$ ]: {      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
  B5 Z' g: O+ E7 b. Z4 b7 ^Pn=2n’+3   ……（1）
: h9 z; P2 `1 ]/ Y. uPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
- T% ?, i# P7 Y8 B7 y4 C上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
% D. C% c$ Z* L+ o/ X2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
7 n' z" v& s$ N- U/ l  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
9 z4 r5 {4 p  H/ z  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
# {* y5 r) ]# `' b' ~# o1 {  W) r  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
5 H; J4 Y8 I5 E& t' O2n=4n’+2n’’’ ……（3）
8 Y' L  Y* U3 X# x% j) n8 _①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
+ x& V* l; O; _; R3 M) \; g- E% H2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
. h8 k( b( p  g% @8 E% j②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
' Q$ v5 ]% L4 n+ h" b' k确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
' U! d- E7 @& l3 p8 ^. s" [6 P( z③证明方程组成立
8 h0 S& K7 E7 T1 O2 s即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
2 i' x, [- F) P7 T得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
+ H, c- W4 `  C& q1 \则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
2 i2 d& F+ s6 e# D. W$ A即Pn’=2n’’+3 也成立
8 c# A; R* G8 \3 O: |( \$ I由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数

3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
! j3 I  X& s+ h9 A9 q7 T设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
% b8 Z) y) _7 B% P* F: j      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
* i5 S1 t/ |& j! R% X      8        8        0         4        4       7        7           14
) x2 x/ r5 y2 W; ?9 o8 j  ^8 S      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
6 ]0 B. j5 R: x# S  u8 r, i      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         24
     20        20      0         10      10        13        13         26
% ?) `: T% k! [8 Y( v# [. n* o     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
8 I, u# W& P4 i$ r4 x     122       116      6        58      64        61        67         128
$ N/ Z& a. |! `/ O9 f( P3 i 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
* ?6 ]+ E* A4 S(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
% O  d2 _5 z/ _* k$ `即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
. J  Q2 i, `, w+ ? ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
7 e! O! s4 z# ?2 d& Z" T/ S ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
9 M; c: i  O) l; _* \, K注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
; _& i% K2 U; u4 v+ F0 S2 I如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
0 w0 T) V4 e0 a/ S; G: }0 H5 N, o这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
  u' N; ]/ M" H" }+ ^6 N6 {又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
! |  B0 m# e2 E０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
; l& {  H  H  I6 s因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
# M( n# L/ [! R, | 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
, j; P* v+ b( m6 A   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
& d, p8 [. \% L* X* ~% t. ^9 m4 x) U2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
" ~8 N) k4 v: \- F& M+ C! T3 O已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
5 ?( N$ c: ]. n3 f8 EPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
3 H9 j0 E2 ^( i即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
1 j7 x" M: k% S& _: \由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
: @3 _6 {5 V8 n9 vM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
' B% W/ |! h' ~, \7 b由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
$ g8 a' D( p8 E# F则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
& g  ~$ @& H5 v: z得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
pn        3        3        5        5        59        61
* Q+ [5 z6 y3 c: f2 ^
Pn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
, G. @3 c7 T0 ^% L! w  GM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
, o0 k; Y: s! b4 [+ i# L2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
& D6 I0 y2 [( h: h* y2 O+ ^由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
, I- S2 ]* Z5 o' E0 `9 Z即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
" b" Z: B$ ?. u5 ^/ I' ePn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
1 `  n) j9 P/ l( p' o- B% RM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
+ c( a, Z, j3 D( i7 o8 ?2n’        0        2        0        2        8        6
. g& G3 X- h$ [n’        0        1        0        1        4        3
- K  L- j. G( o' ?. tPn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67
1 z5 l$ w6 j2 H7 A; T5 |1 j* E) i
注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
' \: j9 m0 K& |8 d1 s式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
5 E" h0 u. ~! X+ Q, o# C: E! R4 n例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
" D$ ~! P  K* W                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
3 f4 ^+ G& A2 w5 t! U2 ~5 A  y$ E' z: @( j5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
' Y( N; }% h, a! f1 d1 H61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
$ ~0 w. c0 |8 n6 G- h/ G在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
& X7 L; B6 I4 ^1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
0 Z  G; h' @% |2 L若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
: o/ U- R/ r/ |, v* `再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
, w8 s7 x6 d+ n, r' z( `即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
% T) {* H2 F2 V0 _5 k& t8 T! j) t笔者   蔡正祥
( p/ c$ r4 ~! x! {3 S        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
9 p& `* l9 U! C2 o- e% E9 c籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
. ~# S( [! |; G2 x

  V. v; R  ~* E4 Z. h
! `, G: U. P0 E+ T3 g$ A

1395094431

同－个帖子为什么帖四次？

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
2n’’ 保证2n’+3为奇质数
8 c* o3 f  ]) `* g即Pn=2n’+3
/ E4 |5 r/ C7 d; Y; N1 w: X4 j: \! ~是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
/ t& ^$ b. }- i& n但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
9 }, j$ a5 P8 M( H8 U2n’’
使2n’+3=Pn
" L. U. o6 Z! a; C$ @" G' Q成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
5 @- k% e* P& s& G又因为Pn’=Pn+2n’’’
即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
已知Pn=2n’+3
Pn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
6 p, ^; M, @( c2 H0 m' d8 j: a得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
2n=4n’+2n’’’
1 l; o1 L$ u. _/ \1 y: ?' N2 n, c2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
又已知 2n=2n’+2n’’
# A1 c! v) e$ _. I  b1 v9 f4 g: j代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
; N4 ?9 J4 U% d2 S% V由上证得Pn=2n’+3
Pn’=2n’’+3
5 p! f" Z/ k$ z) }0 p又已知2n=2n’+2n’’
- t. U( t% d( b7 j: t即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立
: c9 u$ p4 y# d% W2 A2 x/ d' P; B9 S. w