哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
8 Y8 V: N& L3 g- u6 J, f1 v- y1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
% L4 Q% q, ~" ~4 r4 D) [  w0 V已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
7 |4 f' Q) q$ V1 ?( y' r/ c0 n将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
9 v% k2 F  Y3 W# {由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
' z% M, D, ?+ m6 B7 s+ g（2）式为奇质数表示式
/ X$ V4 e' d5 A8 Q由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
0 }- D! M' f# y由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
3 ]# y! h& o# ^+ ?! R4 {6 E  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
% \2 F: a. @7 z4 S2 U2 o7 e设2n"=0、2、4、6、8……∞。
7 x. c4 F( U) D- ], I' W0 l; X$ v1 q即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
& x, T+ e5 p# F6 i/ K2 R7 h. o根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
/ X# k1 N& ~- |7 o用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
1 x' D: f3 z, m3 v% u% ^Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
% e7 Q! w4 R) u- D其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
1 Z7 Z0 i" y$ M' h# r2 K这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
" g1 y$ N/ G  E0 K: K( J: [即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
1 W$ B* n3 u/ J; b例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
& a/ q( E3 G2 D' ^/ D( |, b2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
/ C* ]9 F2 {  y3 Q3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
8 `, `# K7 A# z" h3 x直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
* T. x- U: `) C- J, o+ N/ m" M7 ~即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
5 ?2 D  ?, R/ _代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
. x  c$ i7 P- B& `! k. [, ?又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
( y' }% S7 V; ]" L或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
5 I' ], N  ~- R* k! P( w从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
' M0 V  @0 H2 ]1 h4 [8 c由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
. G" l% B' K: C* Z0 _8 |4 m由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
1 J8 J# F- E1 I（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
, B. y# y9 L4 B  y二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
5 V. s6 s6 D: H8 H6 a3 \1 ~. _- c1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
" ^. N  r& V% T: ]. n
3 Y. B2 D0 z0 b! e得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
/ I6 i6 a2 m5 T+ U* h同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
6 b! i# u2 E6 d+ e' s0 u（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
$ K: e  o3 i" _% B, E0 x/ e设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
2 \9 P# a! b: W# O! P5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
. `, p/ \' M' T. C6 J2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
% q& D/ G2 I5 tM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
9 X, {8 |" Q9 Y0 \Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

& g/ d( D) N& h* p( y% `由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
, B  M7 x6 t# p- n则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
4 A7 k5 ^  Q' O' D" {/ E& S% ?然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
1 U6 c) Y) F( E% B* ^3 [已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
6 V) G2 i0 N1 \  q1 e  w
$ b4 d3 n/ ^7 u4 A       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
9 r' L: b) @. X/ \三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
( P2 H* y: S; a若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
3 m2 A8 c" l& G  u若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
6 K: K+ |$ L+ `或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
" y* S  g. N: o0 o或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
2 ]2 w# R1 |; `& D% p当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
6 @$ V: `( F& F5 R, M6 X+ \即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
# b9 _5 y% @/ A在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
. a8 K- `7 {# w1 g* J代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
( q- Q: {$ e2 I9 }: N( n若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
  \; b; t5 @# [! _同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
, \9 F7 ^# @. u0 C+ I6 D- ]即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
2 x4 f& o' [6 ~" [* h) H7 h  t/ {n为偶数2n=0,4,8,12……
6 I% i* E0 y6 E2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
" Q6 j! e  ?* l7 I; H2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
8 D: {5 L9 J% T5 a0 ]  m, |1 i9 [2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
6 W7 ]- S  V8 z7 D. P6 k设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
7 n; B/ c8 m+ u3 x: W  X（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
6 r2 v8 c8 D5 o, R或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
, o9 Q  T3 G/ U, m# g: F  V（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
* |" R% O' S4 q  Y4 N' @. ~     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
, P3 \2 e8 P" b" P$ ?8 H5 \     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
' F, F1 p$ @! @. S1 h* l2 d2 t    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
+ {- y- q, p4 f0 L  G  N$ k" \    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
( p2 Q8 y% z! v9 j    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
$ i, g5 J$ g- y0 Q1 R) e      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
' z. s5 |- d( {$ [即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
4 W. S  H; m7 x' O- [存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
+ S4 L8 e. p# S+ A- q7 z6 ~由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
2 b+ z6 }2 r. S( D五、质数表示式的证明
/ H$ t# @, H' B9 R( Y1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
: R9 u0 j% i/ e4 C在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
5 j+ }9 e' D* `& M. h第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
# @7 y6 o1 S7 E5 n6 N2 u  x                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
: S7 \* p9 p' D$ i                                             =0+3+14+3=3+17
1 h  }7 |2 m  R) N# o& g3 [& j                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
9 X* x- y; t1 p第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
9 B, _5 d; {- C0 w5 A* m  n( @这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
4 X& Q/ r, p: e2 U- w' c      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
' o8 W! a% i) [4 ~            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
4 t! u9 f/ b7 G& X6 E% [. O            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
9 I. O6 H: }# ]9 B0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
1 P; k& h, \/ {6 k* c它们的偶数公由数分别为24，31对。
8 O8 U  u, x& u7 Z. K2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
7 `+ O9 I( s7 m' X  u- M3 J                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
6 _4 l9 ~* y# i4 s1 j; }9 h综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
& V! q$ A0 J2 z; O1 A; l/ H2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
9 L! ~, x/ ]4 O& A  T( L7 U& {0 E- [2 _                                                   =n+3
  d# W3 V, J; Y5 t% `% I, g3 o                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
/ L) Y2 v9 J* N. x, P. X2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
; k* Z# I. Z' _* \) ?$ R8 P得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
3 }' `/ u8 o: q      Pn’=2n-2n’+3
7 _+ H, E" P. x* `# K( J# j又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
' l* @; f; u7 J6 I6 \" R* KPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
  h3 ^" z4 T9 B+ p* x( L# D2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
# m, B4 t* ?, b8 ?  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
7 u7 p# O. u4 l/ z, d) U  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
6 L+ u( X- a* e0 X! y" [) y  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
1 H9 o' T' C2 t9 ?- m: b确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
; W; g/ X% z+ N1 z; Q! m③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
2 E- X4 ?* A" t: K4 Q  e3 l. V% Z- ]7 a已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
7 J! }/ c( e, Q: m& n. j: c   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
$ z$ w4 [. W: s4 r  U( n得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
1 `2 L; N. t# T, ~  N' [9 hPn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
9 e; T; |; l/ ]" k" V8 g 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
3 @4 T1 S" _3 o! }0 O  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
) z& f3 M3 a. A1 B3 X: N, I" G已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
! A/ v# O5 M8 Z# W2 p则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
2 K3 b0 D% j* O0 p' V: F6 O5 T" H$ E即Pn’=2n’’+3 也成立
- Y( ?' i+ K5 Q) M2 S由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
( j7 d( d* [0 Z由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
& x( M( V0 s$ I5 ~) t( g* o/ k: P即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
& a) Z1 ^2 }2 Q7 N; [- Z换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
% `) O) r, K6 @* u' f/ X/ R8 J2 [因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数

3 用数字来检验质数表示式的成立
9 e/ [7 b. v, K& \5 D4 I5 m已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
  b. E% q9 {: c. ^7 I设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
5 V( l0 A7 W/ ]' G8 ~$ ^   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
2 W, _5 W" X  ?      6        4        2         2        4       5        7           12
* ^' T. M9 O+ P8 E+ }, R" C& \      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
6 I5 j+ b, i3 v& t1 d0 c      14       8        6         4        10      7        13          20
/ v! {$ C( Y9 t      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         24
# ?8 W) J; C8 ^% x6 Q. _2 W4 S     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
/ D' {6 b6 j0 m) |2 g/ ]. t7 g3 g     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
% d; p1 ]- L2 C( k4 N: s4 T     122       56      66        28      94        31        97         128        
, t% Z4 a7 R. q6 a$ L& j4 k     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
5 l7 x- b8 t/ N2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
' ~0 T6 z, ]9 H1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
( c  O) O+ b  x& {- h) ^(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
9 h( L: y3 [9 I( ]由上述三个特征得到三个定理（见注2）
) J/ c2 O3 v% f9 O; I  N即奇质数之间的共同规律
9 a. A# X  L; ^: H- I2，以上证明涉及到五个问题
  k2 a. D7 P1 x8 D7 O* M# l- r ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
, }0 g& Z, a/ T* o ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
2 R( ]* C5 _( d1 @7 n ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
0 F6 C# o/ N  C* C7 w鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
& {7 ^9 _: A- o公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
% [. }6 l0 s3 [! V- \" @# M如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
; z* E0 s2 h: K: F又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
8 Z* |; j* A0 F9 G1 j   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
- s0 P8 o, X5 s! |6 X$ E- Y注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
: V4 h! E- U" I9 f. C已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
1 g: s2 v/ ^. S, S则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
4 [2 W6 K) _7 q- j3 z0 B0 ~得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
pn        3        3        5        5        59        61
% e( O, S- a- N9 Q+ V0 J+ H. Y
Pn’        3        5        5        7        67        67
% u" }# w, V3 ]% [2 {" I2n’        0        2        0        2        8        6
" p$ D, N% z. e0 hn’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
' R8 l# Z5 L6 y1 p2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67

注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
, F) p5 \: h2 T- l  [/ D式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
0 d# M- s5 [* L1 k  z! C                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
* T; E* _# q7 ^5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
% Y% ]$ F" T8 w% X59+67=57+2+65+2=4+122
4 H) ~/ t- r+ V61+67=59+2+65+2=4+124
* L* O' x+ S  r! _2 _…………………………
% A: X6 a; i2 V" q在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
+ f: k, A  B2 X  ~4 F1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
3 s. k8 }) @9 A: A2 }若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
9 N' x2 O+ V, F6 S' @+ _1 \/ k: SM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
  k8 ^% r3 w( M3 A% Q0 I/ j* {再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
3 F' T# b. I7 Y" y笔者   蔡正祥
4 D1 Z3 b% }  N2 n4 q  {7 s! _8 k        2011-8-6
) w/ ~. h, x' `2 F$ s; D通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
6 B2 C4 o# D9 I* D/ f+ }6 R邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
+ p$ }( m/ J$ Q% s9 H籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府

1395094431

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蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
  ~! g/ f. [: H* v" y- J0 U2n’’ 保证2n’+3为奇质数
/ M, \: ]2 M' h$ w  o  l即Pn=2n’+3
是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
1 j* I- F' w* I  Y. G) o- F即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
1 \% S/ z; c' ~  b$ b但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
! d) b! W0 \% U1 D% p! Y+ a/ y2n’’
使2n’+3=Pn
成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
又因为Pn’=Pn+2n’’’
即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
/ d  J# J' h8 _  J4 H已知Pn=2n’+3
Pn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
2n=4n’+2n’’’
" E! Q7 p  \* j' ]0 O' n8 Y2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
又已知 2n=2n’+2n’’
  a5 U  Q8 G! t2 f; u: D$ R! F, `代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
由上证得Pn=2n’+3
0 K' t: h, a9 u' W5 C% [Pn’=2n’’+3
又已知2n=2n’+2n’’
即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立
2 P$ X$ A* k6 W, H- R