抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
/ P% N% ~$ |5 @, f4 i, Q, D) |; v虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

6 e) G7 @# ^* y3 i- r  g1 h( F丘唯声的书上有你这题

群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题

/ X2 n0 Q; P* e. J7 b3 }其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，
9 ?% l) k" J( F: l1 U8 o2 S
9 ?1 J. \0 |6 r/ j% h只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群
" k5 J: `- I3 N3 t$ w
, u9 a6 j1 v) f$ q- h9 q母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多
& Q& d6 H3 `/ X% B- s
S4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
# d0 `4 {1 X7 y  V% [> S4;
' E; A) d* a5 z+ M# uGenerators(S4);
IsAbelian(S4);不是交换群
Subgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
. m$ Y. i) {$ O Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群

! T) U1 v& U' r/ P( O1 R( k$ I) LSubgroupClasses(S4);
# u7 d& E/ x" f* d! ]4 i2 @
. k9 c* x/ i* {7 [) Y' NNormalSubgroups(S4);
: v& b- |  X, lAbelianSubgroups(S4) ;
MaximalSubgroups(S4) ;
/ M2 r" j9 I2 _4 j/ v3 D
8 N0 {; ?* @4 F' q1 oSubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图

GSet(S4);
9 m8 m- @) m- l5 @; m1 S  JConjugacyClasses(S4);
# J, y2 N2 ~, a; V3 KNumberOfClasses(S4) ; 5类
* f% A# E; c5 N3 p7 L5 Z% |. `, i7 R% ?
Symmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
Order = 24 = 2^3 * 3
{
& \+ `  Q! A8 l    (c, b, a, d),
7 l4 t2 n) o% B. k    (c, b)
+ X) U. z0 @# `  k, t7 X}                               两生成元
false
3 g, I. ~& V- t. |+ c4 YConjugacy classes of subgroups     子群共扼类
------------------------------

[ 1]    Order 1            Length 1
2 p& ]3 r" A4 ?- l, d        Permutation group acting on a set of cardinality 4
' V+ L5 n  W  n. }. |! `3 R0 k        Order = 1
[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (c, d)(b, a)
[ 3]    Order 2            Length 6
5 ~" B& X8 p* N8 D        Permutation group acting on a set of cardinality 4
, s  p# ?* F7 Z1 [        Order = 2
( Y6 T2 _- C3 S8 g0 P" f            (a, d)
% q  S0 t" m8 c4 f' {( U/ N# U[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
% w+ i1 o" [" Q        Order = 3
            (b, a, d)
1 k: o: j0 |0 \[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
5 P- I4 @8 [( A' h! r        Order = 4 = 2^2
0 g0 p2 L" D% v  D+ @; I) V( o4 ]/ u8 \            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[ 6]    Order 4            Length 3
# h0 ~- }9 c0 Z2 Y        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
" Z/ d3 ?4 O+ \, W3 \7 O[ 7]    Order 4            Length 3
9 H! I; X; K( H3 X( `4 o3 h        Permutation group acting on a set of cardinality 4
( e' X* y* P' w7 C6 N% T        Order = 4 = 2^2
' O2 i: v. ]* V6 P            (a, d)
            (c, b)(a, d)
8 `. o- Q! a2 T% Z  q2 B[ 8]    Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
2 d" X- b: T: a9 _' G        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
9 J; ^+ [7 s+ s% r7 T0 p[10]    Order 12           Length 1
. |- P7 @0 ~$ p8 C* i1 D3 o        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! B$ J* B  U# k7 a5 ~        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
+ r/ G" j, Y2 U* P: t        Permutation group acting on a set of cardinality 4
/ E, m3 b; O; H        Order = 24 = 2^3 * 3
3 i+ t; N6 c3 c, L' }- ^# T            (a, d)
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
& \. G1 [: p# F( p            (c, a)(b, d)
* a: G- l% q- r$ H0 S' X+ ~Conjugacy classes of subgroups
, t8 W& |' z3 g4 O( X) \4 d0 P% v# k% S------------------------------
" ?# m  _* Q6 u" q! o
[1]     Order 6            Length 4
' @: y6 S( C& d* ?  J        Permutation group acting on a set of cardinality 4
' ]: P" W% s0 r8 Y; F: X, Q        Order = 6 = 2 * 3
9 q+ c1 ~' U0 R% ]            (a, d)
4 ^1 s( {. w. \$ b: e            (b, a, d)
[2]     Order 8            Length 3
9 N4 U/ s' P* h7 U        Permutation group acting on a set of cardinality 4
& G: l# ]& V8 j( V# f" x        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
" m0 ]; W3 W: q& U[3]     Order 12           Length 1
# ]. \# G; d4 k6 b: h4 M7 L        Permutation group acting on a set of cardinality 4
$ P) }- t& \8 Z2 y# o        Order = 12 = 2^2 * 3
3 b* w  `6 f1 t6 \8 |            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
5 j) `8 x* ~; `; h0 t            (c, a)(b, d)
) }5 B& |+ d. b3 _* I2 e! V3 aConjugacy classes of subgroups
7 u& b7 h" V" {. j# v1 _------------------------------

[ 1]    Order 1            Length 1
  z5 R7 o0 N9 l$ E        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
) V  A( @: v  w% N) C' L$ L( t) P& p[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
) ~* s9 L: C( A, S7 C, o6 I            (c, d)(b, a)
+ M7 w8 m' W7 g3 z- l3 L- I- r4 h5 `[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
1 [  H  x: n1 F8 l# s        Order = 2
& B0 z: L6 @7 ~! G7 G            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
- S' g) O1 J8 ^$ L3 F        Permutation group acting on a set of cardinality 4
+ g1 g3 h5 v8 Q! e3 e        Order = 3
            (b, a, d)
4 z# [9 C/ ]$ q5 P[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
  g4 ]4 M% I! |3 v- g4 b        Order = 4 = 2^2
0 }2 c) S+ N2 F3 L. Z8 D$ }            (c, d)(b, a)
% F; Q: B  p1 ?- D# r' o            (c, a)(b, d)
' u$ Z! R! d+ L* }[ 6]    Order 4            Length 3
8 u& y9 J( t' g% S1 o        Permutation group acting on a set of cardinality 4
  C4 w: |8 R% T% p: R8 d        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
5 c1 f5 v- o: K6 _1 D1 i            (c, b)(a, d)
[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
  \; b/ y* |6 d( \# p[ 8]    Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
) j* t" i4 z* s; X            (b, a, d)
% f2 J7 M- \6 k+ V* f7 e% _& [[ 9]    Order 8            Length 3
( n* X% X2 o& f4 H% S/ _* q        Permutation group acting on a set of cardinality 4
4 n* \% j- X: L9 [        Order = 8 = 2^3
% R! P. S  G# L) I: M, o& @+ ^            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
! M7 ]4 e4 U( Y/ _# Z! F) O2 E( S9 L[10]    Order 12           Length 1
3 a. g3 o( y" n% n# I8 i/ P        Permutation group acting on a set of cardinality 4
: `. d1 y/ d' J# s% l, \) v        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
( S- z9 i  Y$ k% V        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
! b5 h2 @6 i2 a5 }( R$ D4 B            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
2 {* |4 Y5 Z# Q3 q6 i            (c, a)(b, d)
6 [- E+ K/ J- Q* gConjugacy classes of subgroups
------------------------------
3 ?$ d! E5 Z% Q( z
[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
: j' @5 o" e7 X6 I        Order = 1
  s( v$ z% ~: I7 I; @9 K1 a[2]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
" |7 E8 |' B( J/ f% |+ E( s6 ~5 a        Order = 4 = 2^2
2 B: e- ~7 ]! x            (c, d)(b, a)
; @0 z( G) y% s# L            (c, a)(b, d)
* f# N1 W/ Y8 N8 X5 l( l* r9 S4 N[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
" ~& @+ w) F; _        Order = 12 = 2^2 * 3
6 q% j2 ^" Q9 b5 i5 ~) \) m            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
/ w* p  r' m% i$ N6 |: L; h' W[4]     Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
0 ~0 P- W$ b) d* X        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
4 w. f5 f5 `+ q, O$ [7 `, D; z3 H            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
1 {& v- r" W  G2 o" m8 s            (c, a)(b, d)
( E# s, {3 N5 t% zConjugacy classes of subgroups
6 c( T' |6 h! R' G------------------------------
' y* X) [. }" r
[1]     Order 1            Length 1
5 |5 B- M, P1 H4 t2 Q        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- N: O. {/ `4 x2 n' Y0 v4 P1 D0 q2 T8 m        Order = 1
" x1 D% [1 D9 U0 M8 }- `[2]     Order 2            Length 3
. l" ~' X% D) D( s" w8 f        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
5 N/ B7 A/ \2 V- ~" D            (c, d)(b, a)
[3]     Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
% N7 F: V: ?# J4 S9 d        Order = 2
0 W/ O' h# i4 Y1 [            (a, d)
[4]     Order 3            Length 4
5 J! P: ?& |* D9 k# _        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
            (b, a, d)
, ]2 J7 X: R6 y( U: y[5]     Order 4            Length 1
) z' p8 x% Y7 j, j! y; F: ^        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
  s& ^: ~! X# T9 b! n            (c, d)(b, a)
4 W" ~9 ]2 J9 B. R2 u- x4 s: J            (c, a)(b, d)
[6]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
; [6 E- Q3 |( V: ?6 v+ b        Order = 4 = 2^2
4 v3 r  A& C$ Q            (c, d, b, a)
: ~0 F) K8 e0 b% p$ g- D2 U7 V; g            (c, b)(a, d)
[7]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
& K! n$ R( T6 F: c8 K        Order = 4 = 2^2
+ |% r7 q0 m" n7 P2 Z" B            (a, d)
/ d  W: z! T/ q" N4 W7 c5 Y9 b- \- U, c- Y            (c, b)(a, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

[1]     Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
, g; \9 \8 f* X6 a1 _9 Y; l- A            (a, d)
            (b, a, d)
: V+ ]( V3 J7 \' i[2]     Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
+ Z0 `3 `3 `. t& L3 x            (c, d)(b, a)
# e' L1 e! x' F# p! m+ J: {7 O$ L9 O            (c, a)(b, d)
  v7 h2 M/ m/ U: }[3]     Order 12           Length 1
* o; V# _& Z/ a) i        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- o8 e  `+ ^) X  E  B        Order = 12 = 2^2 * 3
* m0 m- k8 o2 V            (b, a, d)
0 ]* z) @% [! M& i9 ^  l$ x            (c, d)(b, a)
" d. b" ^9 b) e9 C            (c, a)(b, d)

4 V. y0 S' B# F+ Z# @9 |! [Partially ordered set of subgroup classes
-----------------------------------------

[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
---
+ f5 ?) _6 N. y7 f0 P! ~+ l( ^[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
$ V4 @5 L/ G7 a9 L& Y, V# M[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
$ ^9 r- i6 z- z* ?7 }! Y3 }1 z---
1 p$ Q2 W: G" A' ^5 E; ?) C[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
+ V1 O0 g+ d$ z* n# q$ x: W---
9 v+ [5 B% o5 Y! Z[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
! M" Y* G& X3 m# J& a% [[ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
---
( h- y1 ?: p3 ^! ^6 L7 N9 y2 |' y: k3 q[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:
& o+ a* t# a; u  {
GSet{@ c, b, a, d @}
# N, v& U: r0 H& E4 I$ l% q& CConjugacy Classes of group S4
1 C1 X( F2 _6 }. w" F: Y-----------------------------
) n/ Q, I, a+ T# y; p) X[1]     Order 1       Length 1      
        Rep Id(S4)
8 e, o2 G: p* u! z" h
+ N3 S7 j3 l4 J- l6 e* A- A+ X[2]     Order 2       Length 3      
& C/ r- P/ s" O. J/ R; l        Rep (c, b)(a, d)
2 F+ w4 A1 l- x' t. |0 N! a
[3]     Order 2       Length 6      
        Rep (c, b)
0 A0 t& P8 ?& u8 D8 H! R+ `
[4]     Order 3       Length 8      
        Rep (c, b, a)

[5]     Order 4       Length 6      
        Rep (c, b, a, d)
1 u& U3 Z, C) C- G% |% X

5

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
* ~0 w1 W9 l) K) g- X% _        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
        <row>7 13 19 8 6 11 4 0 3 14 15 5 22 1 9 10 20 21 23 2 16 17 12 18</row>
        <row>8 6 9 7 13 20 5 22 17 1 23 4 0 14 19 12 11 18 15 16 2 3 10 21</row>
        <row>9 18 8 19 21 12 15 16 1 17 4 23 2 3 7 20 10 6 5 22 0 14 11 13</row>
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7 z" `5 W9 `3 [8 @        <row>11 7 10 6 12 21 3 1 16 22 2 0 4 15 18 13 8 19 14 17 23 5 9 20</row>
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lilianjie

" a, t6 Z. V& C; {4 I7 s

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
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康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
* ?& g, N) `9 O, g1231231234

) z+ N& [: U, K0 a! M6 t5 O4 g6 K大师啊。。。。。你太厉害了！
! w8 q) M$ ^) X- a; a

lilianjie

过奖过奖！还在路上！

xxgzftj

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。



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