抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

丘唯声的书上有你这题
8 s9 B7 v; K+ m! c; S6 i" x3 l5 h
, [$ H+ L5 M# `1 J. [6 g$ ?* i0 e; Y群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题

其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，
. R7 h) D' N. g! ~/ p
" Z4 d/ W$ P7 v$ N! ~3 n只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群
3 e6 L2 a; E6 T0 D1 t" ]! R3 i
% e. _# p  f; x4 b& o8 t母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多
+ D! d! A; y* H- n: B0 {* ~
S4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
> S4;
Generators(S4);
& G4 R, s' ^$ j7 [: T* k' JIsAbelian(S4);不是交换群
Subgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
0 _6 m8 }: C, Q; Z/ K* @% f Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群

, h! ^+ m$ x8 S, q9 t  mSubgroupClasses(S4);
7 |/ B+ F% I( N% k* A8 I! G
; L2 L# m, C# f- h  |6 w8 R% sNormalSubgroups(S4);
AbelianSubgroups(S4) ;
MaximalSubgroups(S4) ;
3 M$ L% x9 Q8 v" t& T  L! w2 R# r
! R* `- \' r2 ]SubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图
; R: ]  p4 D: h
2 y( K- W- T: A/ F6 F3 G5 N5 TGSet(S4);
) A4 N% {# f; c0 QConjugacyClasses(S4);
NumberOfClasses(S4) ; 5类
) s6 `' y+ n. [/ @6 t* E. r9 p4 m
Symmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
/ o0 T" G  o- f3 s+ L! m& W4 XOrder = 24 = 2^3 * 3
2 L( c* M+ {: T; c; v{
. v5 F; P* e$ y: K. X0 @    (c, b, a, d),
    (c, b)
}                               两生成元
: U2 X  T4 ~5 Z+ A: u* N/ l. Y5 hfalse
4 b6 \! ~$ p4 \% b- O' _8 L' ]Conjugacy classes of subgroups     子群共扼类
; i# ?) _  n) _8 T  ?9 ~- l------------------------------
% R3 ^1 b7 l+ ^
[ 1]    Order 1            Length 1
4 `+ p0 m, W+ D  V- s0 b        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (c, d)(b, a)
1 r2 M: g  _/ }5 R9 N- N[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
; M4 S9 f- B! i0 r            (b, a, d)
5 W5 \$ s6 L" I+ q2 n& l0 K. k6 {2 U[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
3 s# h( m! i" r' B) N* Q8 M. [        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
& u2 U& e: t& M: P8 z$ m7 W; b            (c, a)(b, d)
[ 6]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
/ G$ {( Z. q( V- O7 N9 Z6 h[ 7]    Order 4            Length 3
( ?0 N" M5 W% Q7 X$ p        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
! Z- W; B9 f. s# L[ 8]    Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
& S! q) n7 h: D; q! `, K[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
( c) V% j: w9 Q            (c, d)(b, a)
, U5 k8 D; G$ M# G: u" C            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
4 t8 [4 Y6 n0 p% q7 ]" l; L. z        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
. E- [; l6 y& w5 ~* V& Z            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
: U& i4 a* Z0 H: r9 p2 _[11]    Order 24           Length 1
8 X- D8 T) i! w; f$ ]- b1 ]. P        Permutation group acting on a set of cardinality 4
. c" t( B8 I: B) L        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
* Y1 j: k% R6 ^5 Y/ u            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

[1]     Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
' H+ l' b3 o1 O& p; |* `' m[2]     Order 8            Length 3
. Z8 n0 I. W! d4 Z) `. f        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! m1 G9 @/ A' c; Y        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
) @; D9 d* J+ {[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
9 a( m0 M; t% F& _        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
/ V+ t/ p5 s8 r" _9 [# w            (c, d)(b, a)
3 Q* T1 s2 m) z: o& Y: D            (c, a)(b, d)
. |  y: D: F+ G% b/ _& gConjugacy classes of subgroups
# B3 f# w$ p6 E5 z2 W% {2 `------------------------------

[ 1]    Order 1            Length 1
. Z+ G0 ]. D* O        Permutation group acting on a set of cardinality 4
" E' C) A3 a' ~! Z' p8 H        Order = 1
[ 2]    Order 2            Length 3
4 N) e+ W: s7 \* w        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
) C6 P! B  S" J4 [( E            (c, d)(b, a)
3 [8 X4 ]; D. P# }6 v[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (a, d)
: C- x2 H. F* P# A" G4 I  w& X! d[ 4]    Order 3            Length 4
+ w" |5 f! Q: {6 H        Permutation group acting on a set of cardinality 4
  I3 X4 i" s# R5 @+ {( J. A        Order = 3
            (b, a, d)
/ y; S5 F3 J6 b2 }: x[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
% z6 @( Q: |1 u; C; G; k8 p4 {' [: J        Order = 4 = 2^2
1 Y+ G) B9 G8 V1 ?; M            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
: D9 g) o) P2 ~! F  e) T; x: A! B[ 6]    Order 4            Length 3
: F* H( ~% |+ v& [. M        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
- F# B$ `! d0 f0 P% h7 Y            (c, d, b, a)
" M0 C" j& Y# |% J4 D            (c, b)(a, d)
[ 7]    Order 4            Length 3
2 I* K- F7 C" f" p' m        Permutation group acting on a set of cardinality 4
7 F2 ~8 r; j3 [, d        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
8 {6 m. P# I5 A% L9 v            (c, b)(a, d)
# L! B$ E( p  V$ h[ 8]    Order 6            Length 4
6 w/ w! `3 V. K; E        Permutation group acting on a set of cardinality 4
9 U/ L5 r' c. @3 u& k3 q) r        Order = 6 = 2 * 3
! Q% U3 ?+ U6 R: X            (a, d)
            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
7 I& L# ^6 O$ G        Permutation group acting on a set of cardinality 4
% T# C0 S5 g+ G9 U# p% r        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
8 ^' i# p1 @/ t+ ?8 c            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
8 D! x$ e8 }: e9 q! s            (a, d)
            (b, a, d)
8 f) j% @! Y3 o* Y+ r* o) v" {            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
5 B" Z5 n" c. l; \1 fConjugacy classes of subgroups
------------------------------

[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
5 R) |( m! ~9 m( w[2]     Order 4            Length 1
) g' W" Y1 v: B' X* t: Z        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
' ^+ C* c7 a9 s/ f2 k- N' h            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
9 b' ~3 v& V- G! G( L        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
' {8 N3 E+ j+ J: ?1 z, s( W! r3 f. ^            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
( I8 j. G$ n; Q; H: z: t; k8 o[4]     Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
" y4 J8 z7 n$ y3 E6 g            (a, d)
- q! ^9 h' K" `4 q. t/ l+ C            (b, a, d)
. z- e' I( {/ d$ Y. N: n  O2 x" f            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
. d+ O: l- L* D* b1 B. ]$ d, i; M------------------------------

[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
+ x8 W) e+ W& O( v! h0 @        Order = 1
[2]     Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (c, d)(b, a)
' r! T! X0 O+ T8 z" g8 E[3]     Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
5 j+ t; L8 D! q( J' }8 g* [        Order = 2
( j) O  v  z# T- v            (a, d)
+ w! ], i8 a! _5 [# ?6 i5 T' S& ^[4]     Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
% I3 Z& \* F/ _' n' j1 t1 ^! l, B            (b, a, d)
6 A7 S* F3 y# O0 K' M[5]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
6 {$ Z9 u3 X4 L! o* i        Order = 4 = 2^2
' q! F  _1 g; G8 v) [            (c, d)(b, a)
8 b! F- Q3 t+ w* T: F' f" S# J            (c, a)(b, d)
2 T; @: p. v- R: v[6]     Order 4            Length 3
* P9 e& A9 y: Y8 u& k; V5 x2 Y        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
6 p9 a' s* k5 X7 i) T0 h            (c, b)(a, d)
[7]     Order 4            Length 3
, Y& m: F' q  M/ r        Permutation group acting on a set of cardinality 4
1 c. Z) `; A( j( \' C$ Q        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
/ O, H% Q% O" lConjugacy classes of subgroups
------------------------------
+ ]+ n4 H: H6 b6 O$ Z
[1]     Order 6            Length 4
* g' K& e/ ^( ?) g$ t9 n        Permutation group acting on a set of cardinality 4
5 v  q5 V" e/ R4 I; b5 [        Order = 6 = 2 * 3
" `) F' R' E/ [5 i( T. U4 _            (a, d)
0 q0 j. G  ^6 c            (b, a, d)
[2]     Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- i( w8 D3 D7 u! `+ V" y, ~2 \* i$ Z        Order = 8 = 2^3
6 u' D8 N8 f' k( ?: S- I            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
" H. P" Q) o4 A$ p* A[3]     Order 12           Length 1
1 p% g9 f7 t! `* A! ~2 m        Permutation group acting on a set of cardinality 4
; Z. J2 x+ U6 L$ U8 x        Order = 12 = 2^2 * 3
' D- _7 \5 L0 }* W: ^            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)

! L% T, U# p) L/ ^9 fPartially ordered set of subgroup classes
3 B- K0 s. m9 }-----------------------------------------

9 K2 r* y* M! B7 H* ^[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
* r6 J6 w: p6 Y! D9 y; A---
[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
---
[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
* B) j9 ^. ~" ^, U/ h. I* t[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
---
& i# \5 `, r/ p& ^4 b[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
' r, X. z) Q7 j, g, a[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
$ z' P: F% c- o' Q( n& ][ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
1 z7 y  A. ^2 P. D1 b/ ?---
  c* n1 v7 j3 G[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:
; a# W" N3 s4 K' f5 q4 @
; t/ a; m6 P# B0 VGSet{@ c, b, a, d @}
Conjugacy Classes of group S4
8 i- _5 g6 S8 l, T; B: h. C2 k3 p-----------------------------
9 n) f" Z6 a. {; o5 y[1]     Order 1       Length 1      
. ?& \6 f  f; Y4 `        Rep Id(S4)

6 K% K& C5 Q% G- o6 F- g[2]     Order 2       Length 3      
        Rep (c, b)(a, d)

[3]     Order 2       Length 6      
        Rep (c, b)
2 i6 |) N3 |2 \4 F& l' B) ~* V+ X
" v3 w. o3 e4 X[4]     Order 3       Length 8      
        Rep (c, b, a)
; Z2 ^, R9 b8 K! U3 F& q% l4 h
[5]     Order 4       Length 6      
        Rep (c, b, a, d)

7 O: q, C8 G/ L
( _. \8 r; k, Y% R% R' F5

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
  t  k. j$ w/ h) K7 Z' ]: z        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
3 ?1 H6 i8 U' P5 B) N        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
% U  T# C) _' {5 j        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
+ v% A: E1 Q+ Y6 @! m5 K% @! a7 W        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
0 H( [( P: E3 M* ]/ z        <row>7 13 19 8 6 11 4 0 3 14 15 5 22 1 9 10 20 21 23 2 16 17 12 18</row>
, g  b2 X- H! f* W2 Z        <row>8 6 9 7 13 20 5 22 17 1 23 4 0 14 19 12 11 18 15 16 2 3 10 21</row>
4 O  w6 B9 M5 K( B+ X" h/ c        <row>9 18 8 19 21 12 15 16 1 17 4 23 2 3 7 20 10 6 5 22 0 14 11 13</row>
/ Z6 _  j# G. C% Z        <row>10 19 11 18 20 13 14 17 22 16 0 2 23 5 6 21 9 7 3 1 4 15 8 12</row>
' e' q& G( u1 \1 L' F        <row>11 7 10 6 12 21 3 1 16 22 2 0 4 15 18 13 8 19 14 17 23 5 9 20</row>
" I7 D4 L2 B3 Y5 y6 j0 |7 c        <row>12 9 20 21 11 6 1 3 0 2 22 16 15 4 13 18 19 8 17 14 5 23 7 10</row>
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lilianjie

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
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康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
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大师啊。。。。。你太厉害了！
+ b* R9 w0 N( n

lilianjie

过奖过奖！还在路上！

xxgzftj

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。
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