抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

丘唯声的书上有你这题
5 h; A/ z9 z7 {9 Q  ~) |) k# |
群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题
$ T  J9 B! x$ k' t7 m7 o
& e* b3 a3 J& i3 Z/ V' h其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，
2 W2 D0 L; H+ z
# C! D  [" X8 O3 @4 m只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群
- C, t* k% L; o* A$ n+ R3 B
母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多
7 i  v) k5 \. C5 r1 C6 ?
) f6 r$ m. W; m0 g1 W9 }/ GS4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
> S4;
Generators(S4);
7 a6 w- H" U( ^IsAbelian(S4);不是交换群
; l9 }, A! y3 [& w) w1 fSubgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群

SubgroupClasses(S4);
1 ~7 l% c0 ~- D
  `$ p- O4 T7 rNormalSubgroups(S4);
5 c. D) L. ]7 l' {. \4 EAbelianSubgroups(S4) ;
, P9 z9 K' o- a- {& M5 x. FMaximalSubgroups(S4) ;

) P2 a6 V- a) m1 `  YSubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图

" G/ ~9 j0 R) R, EGSet(S4);
/ \3 F. Q( r6 ^6 f, oConjugacyClasses(S4);
NumberOfClasses(S4) ; 5类

2 E( W: R; V$ ]: Y  T4 [1 q  C* pSymmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
Order = 24 = 2^3 * 3
{
    (c, b, a, d),
    (c, b)
}                               两生成元
false
! r0 Q( ?4 H9 ?. gConjugacy classes of subgroups     子群共扼类
! i# C* t/ X" r; L( n1 _------------------------------

2 r" N- }/ F9 e9 B2 u( R' ][ 1]    Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
* y+ N: t5 G3 m4 X1 i: `. ^        Order = 1
$ a- k# H9 d, ^9 l. X% v2 H8 M5 a[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
; W8 T1 v; i3 K3 h  ^+ I/ v. \1 v        Order = 2
: M8 z* m; P9 x: _            (c, d)(b, a)
2 A" s: |3 L3 Y& ^[ 3]    Order 2            Length 6
0 V% H# f  C/ c- d, z7 F        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
' s& }  W8 {( u            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
! a0 v1 m4 y, @" `8 l        Permutation group acting on a set of cardinality 4
: f5 Y5 i7 n+ |" k- [; Q6 X. E        Order = 3
, q9 L& f* ~! _            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
$ y/ p% Z8 r6 X* B            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[ 6]    Order 4            Length 3
  ~  g3 z3 Q# j0 v7 h8 l2 V        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
2 C8 r' O% H! {- q[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
: j/ E! }3 t, M# s' Z% P; D        Order = 4 = 2^2
' U4 Y. o: d" j8 A8 ~& K            (a, d)
            (c, b)(a, d)
[ 8]    Order 6            Length 4
; F3 Y' W6 J5 A/ Y% V# ?# W+ z        Permutation group acting on a set of cardinality 4
: r7 B( ]5 E  M) u: ]8 g        Order = 6 = 2 * 3
6 K2 i- \/ M9 t% d- p            (a, d)
            (b, a, d)
3 ~* @! i$ S# Z8 v& F, B[ 9]    Order 8            Length 3
) P* q2 C+ ~) Q4 n6 W7 p- e% C        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
) t0 O3 J, z$ V" P6 q2 ]9 U        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
( `+ r- d% s; v1 U: q+ Y% g            (b, a, d)
1 {6 k. }7 _) q8 K            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
5 `/ Z$ a5 G4 M& r- m[11]    Order 24           Length 1
" g9 [" J/ R2 Q5 h        Permutation group acting on a set of cardinality 4
+ S$ v0 _4 u6 x# F: a; w$ q        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
# H( j4 N* g) ~7 w            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
* F: r% |: l* V, K" P* cConjugacy classes of subgroups
+ x" |+ b9 J) ~) {------------------------------

[1]     Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
" t1 F! M7 E* ~/ ^  I7 `            (b, a, d)
[2]     Order 8            Length 3
% Q* f* N% Y9 b* y/ L& d8 P- ~        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
1 V- J" r! e$ a) v+ P( p; u: ]            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
" h; @: ?" v6 R4 U$ E; D) Y0 [            (b, a, d)
/ n  o3 o8 p2 \            (c, d)(b, a)
+ H% x* |# L7 {8 ^5 N. [2 c            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------
: f% D1 g1 m( R. o3 G, b
2 |; u4 h7 ^& `- d4 @[ 1]    Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
0 i/ w& R4 F/ X9 f5 r& ]# U) A5 l        Order = 1
/ y4 B3 |, a, R) Z: p[ 2]    Order 2            Length 3
) N. s  ?9 L/ x' r0 \, Z        Permutation group acting on a set of cardinality 4
' W7 n: T/ L5 B" R3 G. ^3 H( h        Order = 2
            (c, d)(b, a)
; X  S/ ~2 |" W% M[ 3]    Order 2            Length 6
: c! K- h: t2 o3 N. w        Permutation group acting on a set of cardinality 4
2 \5 E1 s2 E1 K$ c% t; i        Order = 2
            (a, d)
: A$ N+ {# m4 I% M- _% {$ X[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
' L" d' B! ]5 M        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
2 b; e8 X- Y6 u: |            (c, d)(b, a)
0 A6 n7 }' V1 a            (c, a)(b, d)
& J4 N6 L. }4 `3 E) N' N& I- O[ 6]    Order 4            Length 3
: o/ W$ S1 I% y) U+ L8 C        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
8 f% q: _9 S9 f1 j8 y8 ~            (c, b)(a, d)
0 U1 i6 J, k% E! l[ 7]    Order 4            Length 3
, Q/ m6 E% C3 }1 p3 g  w" M        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- ?( Q, ]5 M# d1 _        Order = 4 = 2^2
# @( V5 ]1 U) P, D7 d: o# j            (a, d)
3 p" t. o. ?  I0 Z$ s5 Q            (c, b)(a, d)
5 C1 z) y0 X7 ^  U[ 8]    Order 6            Length 4
1 E% X8 }- D# j& y, T/ Z9 o        Permutation group acting on a set of cardinality 4
( J, q2 G# E: K0 p        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
. i1 _5 k8 b) l9 w6 e1 N& c7 x            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
4 @) i, [/ T! f0 W  z) n        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
( E' h8 i6 x0 c  P8 Y1 {[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
6 I2 e- [8 Q# r0 Q& g+ b4 ]            (a, d)
            (b, a, d)
5 C# f5 @1 F4 g- e            (c, d)(b, a)
: H5 n4 |: q' _5 p1 K            (c, a)(b, d)
* }5 k, N! V- _/ ~% J: kConjugacy classes of subgroups
0 u+ n. Z9 R' T8 s  a, F3 A! i( t------------------------------

9 b0 m: L7 v/ ]) A  B' x$ |3 R- [[1]     Order 1            Length 1
' A/ Q2 ~4 X/ [' G+ X        Permutation group acting on a set of cardinality 4
1 i' \' h8 E9 f4 T3 H+ Q. s, |7 q        Order = 1
[2]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
: [- O- M! l6 M. |5 n            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
! n6 `3 L9 |0 n+ o, F8 o        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
8 O8 e4 J7 e" m$ N$ i            (b, a, d)
7 ~( G* o/ W$ }1 @6 n            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
2 {7 x4 e) B0 t[4]     Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
' s) U# i+ g6 C" ]! T3 F7 x# q        Order = 24 = 2^3 * 3
9 w+ C/ \. d8 l& ]8 ~2 s' c            (a, d)
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
* E, V3 |, S. y" n            (c, a)(b, d)
* ~9 ~7 Q" z9 S% bConjugacy classes of subgroups
. m5 w5 d) [0 n( i' N------------------------------

[1]     Order 1            Length 1
3 ~2 i- r$ n) H$ E. e0 l7 v        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- v' Q2 s  P) Z0 X        Order = 1
[2]     Order 2            Length 3
  y$ E5 ~; q+ `        Permutation group acting on a set of cardinality 4
: T5 u/ @! w( L! m) D: B  I9 T        Order = 2
# y$ P5 G9 y% R% }4 i& M1 W            (c, d)(b, a)
[3]     Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
+ Z4 q2 k3 I! }; e( ]# F- ]: x            (a, d)
[4]     Order 3            Length 4
5 A' Z  @9 a. l: |, F2 R        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
            (b, a, d)
6 P! p. J  d; S[5]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
8 A" M) l% q0 i        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
6 @+ S+ ]! S- D1 I. M6 @0 c0 ][6]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
$ I  j, G$ C5 K" l& l/ Q        Order = 4 = 2^2
$ D6 j! v: a4 Y            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
[7]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
) {' g' q2 t1 f" w4 q        Order = 4 = 2^2
% {% {) T% l  t2 r; V$ g            (a, d)
& e& A4 Q( R" a& ?3 J+ G            (c, b)(a, d)
- W! F4 ^) m+ H0 ]; kConjugacy classes of subgroups
9 }- f0 a% R1 Z2 d( h! A------------------------------

2 O9 m. K7 E. h$ o8 ~[1]     Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
5 p7 w* L: v$ k; t4 W# h% w[2]     Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
  [' a8 W0 O' Z, |9 j0 h% N        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
$ I4 n; j# @0 |3 M: M4 M            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
" s7 g0 J1 l' }        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
9 q, p' n3 b+ ?4 O
Partially ordered set of subgroup classes
-----------------------------------------
5 V! G! p) q% [1 }/ R, M4 Y
[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
---
) W* v, O" U. f$ `; `[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
---
[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
( G1 p% ]  ^1 d8 c$ v[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
8 U6 c# _3 x1 T[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
---
[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
/ w' ?' _; ~' B[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
[ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
; t' l, ^# E$ S# D* X---
[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:

& F7 K$ V# d& y+ h5 Y+ hGSet{@ c, b, a, d @}
+ V9 m, ]+ e! Y" g0 J- r- \" f: `Conjugacy Classes of group S4
-----------------------------
[1]     Order 1       Length 1      
" H$ J2 m, I) J1 ?/ A; K  t$ \        Rep Id(S4)
$ z. C' f( Y# I9 r5 g2 T/ f
[2]     Order 2       Length 3      
3 c( _5 [" K  m, w& v6 r6 }        Rep (c, b)(a, d)

6 r" K( q4 @  V[3]     Order 2       Length 6      
$ ~* M" h  p# \# p5 @+ U        Rep (c, b)

[4]     Order 3       Length 8      
        Rep (c, b, a)
; G* Q& f1 f/ g& P+ K' ^, Q
[5]     Order 4       Length 6      
, i: q) j+ ]$ `! p# t2 J5 R) F        Rep (c, b, a, d)
; E0 \! I+ p8 {- w  {& j$ Z
& X  G+ c2 b9 }8 @+ k7 A3 V
5

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
# ^" b& x$ Y0 x0 z, S: Z        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
4 h' }. o/ }1 r! M' x        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
9 c6 w% ?; I$ e  D        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
* k: J! V) j' O/ |4 [5 u9 g( j        <row>7 13 19 8 6 11 4 0 3 14 15 5 22 1 9 10 20 21 23 2 16 17 12 18</row>
        <row>8 6 9 7 13 20 5 22 17 1 23 4 0 14 19 12 11 18 15 16 2 3 10 21</row>
        <row>9 18 8 19 21 12 15 16 1 17 4 23 2 3 7 20 10 6 5 22 0 14 11 13</row>
        <row>10 19 11 18 20 13 14 17 22 16 0 2 23 5 6 21 9 7 3 1 4 15 8 12</row>
        <row>11 7 10 6 12 21 3 1 16 22 2 0 4 15 18 13 8 19 14 17 23 5 9 20</row>
        <row>12 9 20 21 11 6 1 3 0 2 22 16 15 4 13 18 19 8 17 14 5 23 7 10</row>
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lilianjie

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lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
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康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
; T" J- o$ H" ~. u% A1231231234

大师啊。。。。。你太厉害了！

lilianjie

过奖过奖！还在路上！

xxgzftj

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。

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