抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

3 g8 T. C+ T/ R3 J9 z! g: i6 r4 |丘唯声的书上有你这题

  g) E' H3 y  R3 n群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题
8 o5 X% K6 S$ S1 H; B, q
* @& v! ?. [) S% p$ i, D其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，
& V9 ^4 m3 A1 q, c: C
& l# ]* `$ w( _: \. i/ D只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群

母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多

8 T7 N8 l5 ?9 I6 p5 \+ |S4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
" U: E% \6 i) u, @> S4;
Generators(S4);
IsAbelian(S4);不是交换群
3 B/ g4 _1 }2 `0 R# _Subgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群

SubgroupClasses(S4);

NormalSubgroups(S4);
2 ]! ]% m# n' k2 P6 J$ W# O# kAbelianSubgroups(S4) ;
MaximalSubgroups(S4) ;

SubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图
) A- ]" U5 z( y: ]3 P: K
( t2 s- o5 A/ U$ H2 xGSet(S4);
5 K. D. j- P7 eConjugacyClasses(S4);
1 W& `! X9 Q. h# \NumberOfClasses(S4) ; 5类

& V; p+ S* A6 p9 F8 g$ l3 [% Z  M- P7 gSymmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
Order = 24 = 2^3 * 3
{
    (c, b, a, d),
    (c, b)
}                               两生成元
false
6 Z( V$ c5 @4 T+ ~% o, FConjugacy classes of subgroups     子群共扼类
------------------------------

[ 1]    Order 1            Length 1
6 {3 `; f/ y1 d% T" W6 c8 W        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- \! i; H: Z" F2 s8 x* v        Order = 1
9 m+ w9 U8 w0 ~! ?2 `+ \# r[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (c, d)(b, a)
( J$ A6 S9 `# m  C1 ~5 {[ 3]    Order 2            Length 6
0 X, t/ y$ c/ C7 B5 ^        Permutation group acting on a set of cardinality 4
1 U" p  Q. e' r7 d        Order = 2
& \7 B' q. A* g4 X            (a, d)
; ?' ?" h% h7 k- t1 O2 v) Z- X[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
1 M4 o' V" Y# g* s6 {        Order = 3
            (b, a, d)
3 Z+ I: p7 N# ]) l: h4 n" l9 b& X- O* U[ 5]    Order 4            Length 1
/ S6 Q5 {" D9 T2 W* |! u2 J4 l        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! R& o9 R: G8 S5 Y" Z% j        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
+ ?1 L# W: b% T. \( c            (c, a)(b, d)
5 U; q% G$ `+ C1 v( v6 X[ 6]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
% W6 k1 Q: E1 P  D- M) n        Order = 4 = 2^2
5 Z* `  w. d: [9 Q+ R* `$ f            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
5 L/ c4 l* Q: U' o( d[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
9 f! v8 z' \5 F' O( n            (a, d)
            (c, b)(a, d)
' X8 \5 ]* K& \/ D7 g[ 8]    Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
, V  @) C" V1 K  `3 E        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
2 T) v, H* [: u: E# l% h            (a, d)
5 w& E; C6 e' P' s5 R            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
% b' E% B' U  Z+ @! S4 J        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
+ L9 V, \3 Y. H9 C0 ^7 P            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
' B7 V' D7 L0 \9 T# Z1 ?        Order = 24 = 2^3 * 3
- W% ?2 G8 P( s2 F7 K2 y            (a, d)
3 f- k- U- u1 w- b' F            (b, a, d)
7 ^5 {8 n$ B$ n8 {7 D1 g0 U) t            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

* y& {5 q6 S. D0 ?[1]     Order 6            Length 4
: z  h7 M. M- V- k( K" E1 L' p        Permutation group acting on a set of cardinality 4
. I' D7 D  w# q) X, g& p9 r6 ]% l        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
4 ^- y7 b; s3 F2 Y) f[2]     Order 8            Length 3
) R/ }4 W7 o9 A1 c6 K        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- b$ Z3 Y- D- e) E7 B, O) r8 ~0 s' J        Order = 8 = 2^3
: C$ A( ^# I8 f, G% Z            (a, d)
            (c, d)(b, a)
+ R2 x) Y4 P( E. q( w            (c, a)(b, d)
' j6 B! Y1 ?3 d1 f/ f, W1 ^4 I[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
7 e7 {7 |/ v! n& L  H------------------------------

( Y( ~7 d& s- P7 d8 G) x9 D[ 1]    Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
, _# v4 u( g9 u, K        Order = 1
  k: u0 y1 _/ H! H% @% |[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
$ p: C  R( E8 `6 M" G* F        Order = 2
5 J) \, o) J8 L7 b. c            (c, d)(b, a)
[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
( s0 t8 j9 j9 m, i( O4 n. k        Order = 2
9 _) d; M5 v+ l3 z8 u  B            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
0 g9 M0 r9 @) Z3 B: g8 T        Order = 4 = 2^2
' @1 P0 T( F& K1 f0 ^  H            (c, d)(b, a)
5 N9 M. D4 i- ~5 O5 @            (c, a)(b, d)
4 E9 u! }* y1 v, k6 o$ g[ 6]    Order 4            Length 3
# I! p2 ~, x9 g, E! u: Y        Permutation group acting on a set of cardinality 4
3 e2 t' @! t0 |0 N5 q# S; b& H        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
( d1 v+ ~) m8 V            (c, b)(a, d)
! B+ w# y( \1 }[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
9 D  `0 C0 C/ e4 o            (a, d)
            (c, b)(a, d)
6 ~9 H* y& ]7 ]0 a: I[ 8]    Order 6            Length 4
' N9 m7 w  u# w5 ^3 a$ {3 F: i        Permutation group acting on a set of cardinality 4
# ^3 g( C& z" l/ g; A; }5 p5 v        Order = 6 = 2 * 3
5 b. R: ~7 h3 L$ S5 N" _" X3 y            (a, d)
            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
6 l9 V4 B; x3 u2 a: o7 h        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
* j9 ^2 N, A& l$ }7 Q" ~' v            (c, d)(b, a)
' R5 j0 b8 }! X8 p9 G7 |            (c, a)(b, d)
$ g" Q% J8 G5 y/ X% S. F, a+ B[10]    Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
- R& g) ?- q8 x% C# k( f; u            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
( o! P- y, ]: W7 A0 f8 I' l5 J4 Q            (c, a)(b, d)
1 t9 F8 t1 ]4 B" P% ~% G* Z[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
9 e4 y) E5 q) ~1 E        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
1 K6 m* w5 \3 F, Z1 U            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
3 r% Q0 X3 n! A, q5 s) |Conjugacy classes of subgroups
------------------------------
8 e) Q9 t1 u; v6 `3 h3 y/ _) h
[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
3 o# y+ B" e% s7 Q) ^        Order = 1
/ A3 V' H% v9 L. |4 J1 o[2]     Order 4            Length 1
$ ?! }2 ]! `2 ?* S0 t8 R        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
9 d4 T7 s# n% N3 g2 X! }) A, ?0 D            (c, a)(b, d)
9 e& ^, A- k4 t- v0 e5 x[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
/ U% \% F- r7 M/ t! T        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
) O& \5 r, _1 i7 s6 ^) L6 D; U[4]     Order 24           Length 1
8 }9 z+ o# a- A4 `" B        Permutation group acting on a set of cardinality 4
1 T4 E& q5 _# T3 m9 P& ~$ I  I        Order = 24 = 2^3 * 3
# K4 R& X' E9 I7 ]            (a, d)
            (b, a, d)
- Z9 Q0 t& ]& y" S" N; ~, a            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
+ V& X+ {& V7 Q& bConjugacy classes of subgroups
. m1 e1 s0 Y  F7 G------------------------------
& J6 `. p+ K4 H5 _) N& E' x  O
0 g5 I3 T) Y* _1 A$ F1 @* U[1]     Order 1            Length 1
. H7 J1 T4 E; n1 ~        Permutation group acting on a set of cardinality 4
. V% j. t+ }7 o  j/ i        Order = 1
[2]     Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
# b: R) X: a9 Z9 Q! A4 a        Order = 2
            (c, d)(b, a)
! i; O( q6 f# t/ v0 J9 J0 [0 V1 t0 j[3]     Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
) Q# ~9 k6 i1 d            (a, d)
/ p% `, s$ O" R; v! ?: y[4]     Order 3            Length 4
+ h9 W. w7 Y0 ?' T$ T        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
/ s, `8 X6 x' f: _- G6 S4 }            (b, a, d)
5 w$ s, i& y! x[5]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
/ u/ h1 a" U8 H2 j' e  Q        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
5 j8 M& J- f2 M, P  U            (c, a)(b, d)
[6]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
: k+ Q8 y7 _* R7 p2 f' a        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
8 ?& y9 F$ |  Z. X% c) j) R            (c, b)(a, d)
7 Q! Z  K/ @+ y* `[7]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
: o8 Z. E/ w# c            (a, d)
6 i$ G% f( ~; b1 d+ I$ C            (c, b)(a, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------
- g, C; a5 i4 P2 P. C. [& X& i8 e
[1]     Order 6            Length 4
( Q) ~$ b$ g1 q0 x/ S! }2 e        Permutation group acting on a set of cardinality 4
. m7 E$ {2 Q( k) W2 ]3 L# V        Order = 6 = 2 * 3
. E2 p  O3 X! W            (a, d)
            (b, a, d)
9 ^8 R/ ^+ t; h4 {* U7 L+ l8 h[2]     Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
; g3 H( m/ h4 }* e: X        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
4 |1 E5 W" ~8 U4 H7 e6 H" e            (c, d)(b, a)
0 u$ O$ v) ^+ }2 e( \            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
" A3 i/ \: r1 `* ^; v+ U/ l        Order = 12 = 2^2 * 3
6 M: R* ]. c5 |* Z            (b, a, d)
& O: F; x; p+ D0 K4 i            (c, d)(b, a)
0 k& V  }# V+ S  U+ Z% J            (c, a)(b, d)

Partially ordered set of subgroup classes
2 X" U/ r" u1 t  ]-----------------------------------------
" J! ~7 l9 ~  v# T3 f- P9 I
[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
; l! @" m+ |7 ^- l  S---
! ]0 y  f2 I, y: W! Q5 x# c$ F[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
---
[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
8 M9 f6 T! l/ ~' L* ?5 ^$ E9 `+ A! q9 K[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
---
[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
9 o' G/ Y% m0 }[ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
1 O5 `8 ~5 j- _7 j+ J" w/ J---
[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:
; a3 M# M+ t3 B9 h, ^. R
GSet{@ c, b, a, d @}
Conjugacy Classes of group S4
$ w! z/ h: D  z- n0 N-----------------------------
+ }, i% ^( \4 L; [[1]     Order 1       Length 1      
" Y$ y6 P" L' U# G& U( c        Rep Id(S4)
. F/ G  M7 n6 r6 Z# S2 `
[2]     Order 2       Length 3      
# s5 c3 U& r1 ]7 P        Rep (c, b)(a, d)
4 c, W2 {) y! L1 R" |! T
' d/ D1 f, Q* ~6 x[3]     Order 2       Length 6      
        Rep (c, b)

[4]     Order 3       Length 8      
        Rep (c, b, a)
( W( ^2 F# |$ Q6 R9 _
' s/ Y; p' [* F' ^- a; g7 l" T[5]     Order 4       Length 6      
6 s( j0 x- L& `8 ?        Rep (c, b, a, d)


5

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
: ~; _1 D9 V1 z( h0 S        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
9 l+ R7 _% j8 w; @        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
+ W% `7 |/ [& A. C( x% \+ \        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
0 F0 n6 [5 ?* [* }        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
# S2 z) M, m9 `        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
        <row>7 13 19 8 6 11 4 0 3 14 15 5 22 1 9 10 20 21 23 2 16 17 12 18</row>
        <row>8 6 9 7 13 20 5 22 17 1 23 4 0 14 19 12 11 18 15 16 2 3 10 21</row>
0 q' ]/ E4 @6 ?# C$ W5 F        <row>9 18 8 19 21 12 15 16 1 17 4 23 2 3 7 20 10 6 5 22 0 14 11 13</row>
! f  z( n2 v) j1 @) J        <row>10 19 11 18 20 13 14 17 22 16 0 2 23 5 6 21 9 7 3 1 4 15 8 12</row>
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lilianjie

2 Q- I6 n" M( }- F8 N7 C2 J

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
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康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
1231231234

: y/ Q4 O9 O( |  C大师啊。。。。。你太厉害了！
9 K3 P" S& g9 X% X9 M

lilianjie

过奖过奖！还在路上！

xxgzftj

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。
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