抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

丘唯声的书上有你这题

群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题
' J# s/ D, ]% v+ h
% q( [9 D5 @" \其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，
* W/ t! ]3 m& V5 `, n7 T0 T
只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群

& K4 S3 r2 S1 H; l$ |! Y6 n母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多
/ t# F$ Q. n0 g% ?' j0 x( c" D2 \
S4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
> S4;
0 D! _7 j  v  n4 nGenerators(S4);
IsAbelian(S4);不是交换群
. C1 ^2 x$ V* GSubgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
) R5 A* M  E( J/ M+ Y$ l2 @! g Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群

SubgroupClasses(S4);
9 m, I0 z' ^5 ?8 P* T5 f& I
NormalSubgroups(S4);
/ `% [' U/ _2 q* X9 K$ u- l. U  IAbelianSubgroups(S4) ;
MaximalSubgroups(S4) ;
/ T* k4 y5 J# ?6 T
SubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图
2 Y5 P- m' A* ?; B7 _
' L  d) S  Q4 X& a' O' u7 cGSet(S4);
ConjugacyClasses(S4);
NumberOfClasses(S4) ; 5类

Symmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
Order = 24 = 2^3 * 3
# c# i- T8 {. x1 I3 o1 D{
    (c, b, a, d),
    (c, b)
) |2 U% _5 \) h}                               两生成元
false
8 I4 E5 O3 P9 h8 O- }2 `Conjugacy classes of subgroups     子群共扼类
------------------------------
2 t9 T0 c2 e: P# o. \2 n, a
+ O) d  C; _( k' F) R7 D" D( E& Z4 H[ 1]    Order 1            Length 1
* H# I0 O, X* y$ R" v        Permutation group acting on a set of cardinality 4
/ {& ?3 M4 O' {% x4 K% O        Order = 1
[ 2]    Order 2            Length 3
. i6 N% u6 Y' b# L        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (c, d)(b, a)
[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
, l9 M  B0 q8 e8 P            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
) K, L7 M" ^& g8 z6 s        Permutation group acting on a set of cardinality 4
4 U* l" |- |, d) \        Order = 3
9 V* l  \3 N. S+ [            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
* f" E& h8 U* I, f            (c, a)(b, d)
9 S9 G: M  t5 ?6 M[ 6]    Order 4            Length 3
" t+ t9 c& Z- j9 I3 M" L        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
5 R. }! J& {+ x" {            (a, d)
+ X( W8 \, o/ X' @            (c, b)(a, d)
9 T6 m0 \, `* Y  c* M1 K[ 8]    Order 6            Length 4
# x9 ~: r3 ~# q2 T* ^        Permutation group acting on a set of cardinality 4
8 {4 B! e) `: `/ E0 M( V9 }' e        Order = 6 = 2 * 3
/ p6 `7 r( n, o! i% |, y            (a, d)
            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
1 A3 b7 Y3 w9 T8 a7 z        Permutation group acting on a set of cardinality 4
% t5 c. x0 I' M3 A& u+ d7 u* @        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
            (c, d)(b, a)
8 h2 Q( \* q. S  f% \8 l            (c, a)(b, d)
3 W' v0 R) T; f+ v6 z8 R[10]    Order 12           Length 1
5 \+ \4 @' j8 O1 s5 m7 R        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
; e7 U: k( {, _% |/ s            (b, a, d)
) y  @8 E% _$ Y$ B3 E* _' H            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
& f- a' J- }& X[11]    Order 24           Length 1
3 c* x" q1 I; P# Z7 V2 R3 d/ D" t        Permutation group acting on a set of cardinality 4
$ n; H1 b% r3 K. j% O2 T        Order = 24 = 2^3 * 3
/ w% _0 ~0 _0 a; k' y0 N# k  ^            (a, d)
6 r( g) t' [% ~9 D! P, v            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------
0 |* q% e  x* N1 `
[1]     Order 6            Length 4
! y; K% l/ d8 }5 O        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
7 b6 q! S. S9 u6 r5 F0 [            (a, d)
            (b, a, d)
[2]     Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
2 J  \' I9 _$ N3 s6 L# m# \        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
9 O& m9 W% M! S. ~            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
& g+ X; U* ^- a& N6 |) \9 U% q[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
. y( p+ b; ^- ?5 `# [" a        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
. d, l) N& u2 m6 Z' L            (c, a)(b, d)
0 o! E; d9 d6 h( u' [" d" G/ cConjugacy classes of subgroups
------------------------------
# i+ L8 Z: W& f* f# Y: ^
% u, D  W6 Q: l% V2 }[ 1]    Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
) ]3 L3 ?8 ?7 c( O        Order = 2
            (c, d)(b, a)
[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- E: z" l4 D& @5 {$ Y% Z$ w        Order = 2
% c# t8 H# I5 b+ E* i            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
& V+ E* G8 c* B$ n% P- Q) R' Y) B        Order = 3
0 S8 Y  D  e  D) }6 M" m: ]            (b, a, d)
4 ?. X; t1 M; e' F- E& Q  K- g[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
+ }9 T! X* e$ @! a" [        Order = 4 = 2^2
1 S3 d8 H4 D5 Y6 M" A! ~- f            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[ 6]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
. Z. a, r# ]% I7 J6 J        Order = 4 = 2^2
1 J  `% S) T! Y( ~8 z            (c, d, b, a)
" ~5 |/ @3 ]% n( e8 _; k9 K            (c, b)(a, d)
/ @: B# @0 S2 S/ d" O, N0 u3 P( b5 S[ 7]    Order 4            Length 3
$ f# z6 r  S. U" N: C- ]  `        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
* R# k! E1 j* _: y2 p! q[ 8]    Order 6            Length 4
1 B0 H4 ]$ u. P# G0 ?& I  ?% t        Permutation group acting on a set of cardinality 4
7 d$ x8 F" i/ Y: I! u; N        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
! I: D* p) m9 Z" x% H# u[ 9]    Order 8            Length 3
8 o: x2 ~& q% M% b6 Z        Permutation group acting on a set of cardinality 4
* R- O; ~/ W! v) q. ~. R2 i        Order = 8 = 2^3
  U# R& q7 u5 V0 y6 O            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
* e: W0 z: R! E3 E; i9 A            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
; q2 l1 F- K; K0 \5 E; k- d8 P            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
; U3 P, r. M! S- C4 K* q" ]4 L. c2 S        Permutation group acting on a set of cardinality 4
# Q0 \* G  V( I- U% G& a* h4 [        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
9 W; E" @" ?, V6 R5 i4 S6 y9 C: a; Q            (c, a)(b, d)
2 g; y" Q+ x: }7 [( c0 |Conjugacy classes of subgroups
------------------------------
2 k8 |. {4 z+ [  C- n
3 i! G' A4 Y- D8 `, Y[1]     Order 1            Length 1
# R+ n2 e9 P- e7 d) ]) m        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
6 O# o: E3 M3 W[2]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
3 x# q# Y6 B' Y# i& U% H[3]     Order 12           Length 1
- f% k8 ~( l+ q( }. S. t; }5 [        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
4 e+ M/ k/ b) E+ t1 O( ~            (b, a, d)
2 U' L  d  G3 i            (c, d)(b, a)
$ x8 \0 s  t2 T! u4 A, q            (c, a)(b, d)
: t9 W1 W5 r6 Y9 `; I# H[4]     Order 24           Length 1
/ V0 k' t( V* M        Permutation group acting on a set of cardinality 4
% O8 j5 q( w9 y; r- V' ^        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
8 k  e4 W0 X/ L$ ^" _            (b, a, d)
3 K' R% j( ?& \2 L" X            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
% l. h) N$ u/ dConjugacy classes of subgroups
------------------------------
& @1 U/ w/ h  ~2 S  Q+ r0 X# \
[1]     Order 1            Length 1
# {$ v. j3 x+ R. y( V  |        Permutation group acting on a set of cardinality 4
: r' n) ], q2 D        Order = 1
[2]     Order 2            Length 3
5 F. j, X) ?8 B3 u$ B" S8 Q9 q. D        Permutation group acting on a set of cardinality 4
" a" i' H+ b! N) n& X' T        Order = 2
7 i3 N4 X0 }# \+ B* a* I            (c, d)(b, a)
[3]     Order 2            Length 6
5 `* h9 b) _% d+ v        Permutation group acting on a set of cardinality 4
) }7 V" ^$ n4 g        Order = 2
            (a, d)
[4]     Order 3            Length 4
' a$ F( g7 h, |+ t  ]        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
- a7 J7 ]6 I- B* g: T3 ]            (b, a, d)
[5]     Order 4            Length 1
1 S- k6 V9 e# D* Q        Permutation group acting on a set of cardinality 4
$ V! j( Q# ^1 j  y7 T7 c        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
* E6 B0 n. U  b! t: _9 M0 R[6]     Order 4            Length 3
( i5 a/ x- Z* ^3 u! w        Permutation group acting on a set of cardinality 4
. ~" N$ K8 @& s& |% }0 Z$ @        Order = 4 = 2^2
6 A/ T2 {# o! O( l5 D            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
' R- f) p/ h) X) B9 i$ P9 z' v[7]     Order 4            Length 3
8 t! @: G5 o) Q# G! d        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
- H5 d6 E9 J; h' S& n7 I9 q9 D7 UConjugacy classes of subgroups
------------------------------
3 a3 f; d5 ]. _0 d0 t' S
7 p8 x; f2 b* U. f[1]     Order 6            Length 4
. z7 K% j! r1 a" o        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
2 v2 {  e1 }# R2 ?# z9 N4 H; J            (a, d)
8 `2 F  N. _7 c; c            (b, a, d)
[2]     Order 8            Length 3
% O! g9 }! p( F; M/ m        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
9 `' z( Z4 `- n4 e4 k- t            (a, d)
            (c, d)(b, a)
- I! T# {4 T. \5 a6 A            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
2 N  U) T5 F) y: \/ l" A            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
* j9 d( e1 p& l9 C/ l            (c, a)(b, d)

1 ]+ W9 ?$ j2 f; B/ m( n* _/ ?Partially ordered set of subgroup classes
-----------------------------------------
' s) o0 X6 M- n! c5 Z- ~+ V. n+ M  }1 H
[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
. t" b2 B; E' R2 H0 {---
[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
. s' R" O  k! L" q# ~" v[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
2 {8 N' o# S: e4 K& K' M---
[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
# E" S$ D$ M# i* ]. y[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
7 @9 g+ D. o) V5 ~7 n[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
: S% ~0 \" q! c) n$ w* r2 c% s[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
---
[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
. u/ O% u+ Z* D" e0 |[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
7 Z0 s3 k+ q  v7 [[ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
& K5 n. A# w# D4 f" Q---
3 J% J3 H: l1 D[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:

4 m6 V& x- I, F% F) oGSet{@ c, b, a, d @}
Conjugacy Classes of group S4
-----------------------------
, t, S# {* ], ^9 C9 K6 |[1]     Order 1       Length 1      
6 A8 T  B9 N5 p5 D        Rep Id(S4)
: P2 U8 ^4 i$ b9 M, }" U# J5 h
- I9 A' n1 u( Y3 i[2]     Order 2       Length 3      
* p# N; g7 s9 v9 ?" V. E        Rep (c, b)(a, d)

[3]     Order 2       Length 6      
" K7 T8 n  ]: C  Z1 O: K        Rep (c, b)

4 V2 e* M. w7 {* V5 p% R[4]     Order 3       Length 8      
" l& b  M4 ^  z        Rep (c, b, a)

[5]     Order 4       Length 6      
        Rep (c, b, a, d)
* I! h, O$ f; x/ S& y

5

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
4 X& u# e# B/ c" @( f5 A( |        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
! k' k. Z. \; V0 w7 R9 a        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
& [/ R  m+ W7 @9 p! [        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
3 `: _2 l$ M) n4 p        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
: j. x/ J% q9 ?+ U. E        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
( ^! t6 U5 O2 M, A% u8 A% `( a& i* b        <row>7 13 19 8 6 11 4 0 3 14 15 5 22 1 9 10 20 21 23 2 16 17 12 18</row>
$ d" S% p% _$ l. o7 R9 o. G$ M        <row>8 6 9 7 13 20 5 22 17 1 23 4 0 14 19 12 11 18 15 16 2 3 10 21</row>
. P( z  d) H. ^/ ^5 |        <row>9 18 8 19 21 12 15 16 1 17 4 23 2 3 7 20 10 6 5 22 0 14 11 13</row>
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lilianjie

) T( T  l* `& p* E2 [

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
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康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
+ [& A# r' I+ d- q: S1231231234

大师啊。。。。。你太厉害了！
+ p0 \  ?/ M$ R0 u

lilianjie

过奖过奖！还在路上！

xxgzftj

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。

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