抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

丘唯声的书上有你这题
) Y7 U# x" V1 B6 X; P$ u
群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题
7 B8 ~/ g4 G$ L9 D6 @
其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，

0 |' P, V1 U, J. q! j  e5 ]只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群

- ^+ Q# L% w& ^- u2 k" G母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多
+ y* r. c& k- C; `" V0 [. ^2 M
S4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
> S4;
Generators(S4);
IsAbelian(S4);不是交换群
# N" y  {, ?, l3 A9 e2 ?2 jSubgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群
2 E, E3 Y# @8 W$ H
5 V  f7 j# g  \7 [* D1 B$ h/ |! {SubgroupClasses(S4);

NormalSubgroups(S4);
AbelianSubgroups(S4) ;
MaximalSubgroups(S4) ;
. R+ n" r, w- J2 P+ ?8 y3 f
SubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图
# K+ J- r2 ^0 ~& ~* z
/ x* o5 Z' _2 t0 ^5 BGSet(S4);
5 D) W% R- v7 R2 A# VConjugacyClasses(S4);
% Y0 l9 r0 F$ o& LNumberOfClasses(S4) ; 5类

Symmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
- E& o3 I0 n, C5 q, k* {8 }9 S/ G% E* ^+ n( uOrder = 24 = 2^3 * 3
, V+ u; `" {, z7 ^{
. `  u2 q$ A% A( e. W& l; {. X    (c, b, a, d),
    (c, b)
/ ^' a9 e$ N7 x8 t}                               两生成元
false
Conjugacy classes of subgroups     子群共扼类
------------------------------
6 q+ ^# U( f: w" Y' i6 l7 W
% Q9 ^4 Z& u& g/ C6 }3 a. R[ 1]    Order 1            Length 1
" \. B+ l- [" ^. n9 m( ~6 d        Permutation group acting on a set of cardinality 4
6 c* @( M4 y9 J) `+ y        Order = 1
4 e5 S9 H6 U* G$ X# D. P[ 2]    Order 2            Length 3
' e# w) o& f0 N; g$ T5 }        Permutation group acting on a set of cardinality 4
# {+ {0 |  H0 P5 N: Y+ k        Order = 2
            (c, d)(b, a)
[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
( [: e5 |0 _8 |  d6 L0 f- v$ i7 P        Order = 2
' \# r3 n5 q1 i( A            (a, d)
9 i7 z4 W  F$ d4 I( |[ 4]    Order 3            Length 4
; S9 z1 {0 [# h* |% I7 }9 c        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
            (b, a, d)
5 q) O# c! _/ R" c& e# W/ s3 @8 ^[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
* |+ r( J: ~5 W) ]% ?. E        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
" T# f+ C$ X# r            (c, a)(b, d)
[ 6]    Order 4            Length 3
: e) I$ H% F- {& m  n2 v/ A        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
[ 7]    Order 4            Length 3
& i  C1 W" B5 n4 w        Permutation group acting on a set of cardinality 4
" ^/ W) X6 o. U7 W# ?        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
( V% Z4 M: {# q: A7 R- I            (c, b)(a, d)
$ W2 B" X  ], I8 e6 D# o  c4 p[ 8]    Order 6            Length 4
% L# i1 m6 D$ d  L9 S        Permutation group acting on a set of cardinality 4
8 h" ~2 f) [% Y        Order = 6 = 2 * 3
9 q, K! Q1 r/ p& \9 Z            (a, d)
# T  ~1 O# F. O, k* u' B6 Y            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! S$ F  R# ?: T7 g; g        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
            (c, d)(b, a)
' _/ G( q7 d  N7 o) U            (c, a)(b, d)
5 ?# H' v+ k/ H  W& l9 Q1 A[10]    Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
% b, U' v- k' J$ E        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
; C( L9 M8 s5 ~8 N! x$ @            (c, d)(b, a)
) k4 |) b* l& e6 o; b# S            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
% j: |. k3 h* j# R$ H& Q' L        Permutation group acting on a set of cardinality 4
6 U- `4 z+ O/ ]" K" `/ z$ V! ^        Order = 24 = 2^3 * 3
% `3 I' k( o; [* E8 K" k            (a, d)
            (b, a, d)
# H) W0 r- N8 |7 k; I            (c, d)(b, a)
/ M, N; c" i, F  v+ I            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

- d6 X2 b# p- z4 g, r" I4 Q[1]     Order 6            Length 4
+ h, V( |  f! N: ~8 U" T9 Q        Permutation group acting on a set of cardinality 4
; ^4 b9 m6 x7 G8 C        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
: K' D: B$ u' j            (b, a, d)
[2]     Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
: |) X1 ?3 Z; F$ }[3]     Order 12           Length 1
. g" e3 N4 ~6 V0 h- ]8 i        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
1 s& V  n- ~  Y) E# _            (b, a, d)
% n/ t. I. @- K, H; p- J% h$ S            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------
8 D7 ?7 m! B9 i7 t1 t, p
[ 1]    Order 1            Length 1
0 F7 a2 A2 }( ~/ d        Permutation group acting on a set of cardinality 4
% f" I+ Q2 b3 R2 j: }4 G        Order = 1
  r# D6 J: O+ }1 v) B: c[ 2]    Order 2            Length 3
, u6 ~( G& p0 j- l        Permutation group acting on a set of cardinality 4
' D$ c* ^# G) ]: O        Order = 2
& U2 t" s2 ?5 F% ~0 w' Y- R- ?            (c, d)(b, a)
8 K* ], A6 m+ z$ y- ~+ E3 m4 O2 x[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
% v, }1 p% G4 ~/ R$ g7 M        Order = 2
. ]0 x) i, ^# F# ~, a, D, [            (a, d)
* H6 n1 k4 c# l$ f4 J( p$ \: c[ 4]    Order 3            Length 4
8 D  n# R9 G* J6 R! [$ D) {        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
            (b, a, d)
: Y8 q2 h. l+ ?5 b! r( K[ 5]    Order 4            Length 1
0 w3 A& q, Y, q9 A        Permutation group acting on a set of cardinality 4
$ y; y  K9 Z3 o$ _3 o* r5 k$ n1 C& e        Order = 4 = 2^2
* s3 b/ v' G; y6 b( U            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
8 q& ]) ^6 E) I7 j" C5 _[ 6]    Order 4            Length 3
; k+ h5 z  L2 @/ z% S9 I3 y$ o) W        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
( t, N/ h  S. H0 I            (c, d, b, a)
; m% n2 q- L$ C2 W$ z            (c, b)(a, d)
/ v/ }( J: p2 T* d. \# O# K" V[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
8 i. M  n" v9 ?: [            (a, d)
            (c, b)(a, d)
[ 8]    Order 6            Length 4
* N+ R: M3 [3 Y9 }! b        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
/ A9 G0 ~6 j3 \) d            (a, d)
$ f! o( y# D- ?: q2 ]. f5 p) F            (b, a, d)
( k( |2 u: g9 ?[ 9]    Order 8            Length 3
1 ~, e) |6 a* X/ d        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
$ l$ r# u/ r6 ?% f' }            (c, d)(b, a)
2 H* O* m7 r/ |; K8 M, }            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
4 e1 A0 s) F8 E1 l) B" X! S$ T: H            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
6 [# w( l: ~9 [            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
2 e0 S, j  ^& b- k        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
5 J2 n' W% n4 B6 J$ l2 S( P            (c, a)(b, d)
# R% R1 ?4 T/ k% ?Conjugacy classes of subgroups
------------------------------
% g3 B' L. `% k3 S8 U
[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
[2]     Order 4            Length 1
4 h+ b& [+ Y) i0 B        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
( J' H- `0 y' O& ], B; V. I$ k            (c, d)(b, a)
& c2 C; {5 r; Y  k            (c, a)(b, d)
# V6 _7 l0 E0 g[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
2 ^( [  _4 n. E1 b        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
* t6 K. y& H) k: I: {3 E( I* v4 D0 A4 V            (c, d)(b, a)
( G5 P" P$ g9 z            (c, a)(b, d)
[4]     Order 24           Length 1
8 u" `2 A, L! }1 K7 C7 ]        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
0 h1 b" X. f% a) `" o9 d            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
8 \# ^7 t  N1 E9 ~0 g( R+ p2 p- _Conjugacy classes of subgroups
------------------------------
7 P; Y" X) F0 I2 o, f
( L6 f' D/ c5 r4 d2 s[1]     Order 1            Length 1
2 V' n* I2 l4 d; H( R        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
, w# G7 [" }" B[2]     Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
; _5 R* s1 j% V* r        Order = 2
: L! t. l5 B- R8 v' E0 }            (c, d)(b, a)
[3]     Order 2            Length 6
3 ?4 G+ U8 F" R/ M  E        Permutation group acting on a set of cardinality 4
1 k! U* T9 R) E- D7 u8 W: f        Order = 2
2 `" z3 ^9 W1 S7 U" h7 X( {            (a, d)
[4]     Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
4 h2 h& R5 }* l2 B        Order = 3
8 s& R: d0 \4 z! l2 a! `            (b, a, d)
[5]     Order 4            Length 1
' K# e/ V; _( m/ }; ^" F        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
; q9 z  S; T* z$ e; w" \+ s1 g            (c, d)(b, a)
5 ]# Q4 c- j/ c  O+ Y. S2 f# n            (c, a)(b, d)
[6]     Order 4            Length 3
7 y; k% n  g) y        Permutation group acting on a set of cardinality 4
' }: U4 V1 C+ V        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
' G' G: V4 C, Q* K            (c, b)(a, d)
% F) O5 \4 E' m/ ?6 {2 F4 B1 `[7]     Order 4            Length 3
+ D! K# P2 U5 X% f        Permutation group acting on a set of cardinality 4
  p* ^% M" Z2 i3 X2 p, a        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
0 P/ l, j- k- g% L$ L# WConjugacy classes of subgroups
5 o2 y7 j% \6 J) x9 i! D- ^------------------------------
' w8 a5 R. E! q2 m
[1]     Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
  |1 b) l) k. v0 R# G/ F' \            (b, a, d)
8 v! O( P+ j. U- a[2]     Order 8            Length 3
3 A! B. z0 ^+ L8 u3 f7 R2 Y        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
8 g! X1 s& v" f            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
1 z2 F7 X/ z7 q0 D1 Q" W% H[3]     Order 12           Length 1
4 Q- {5 r, J& o! G% r" O" t" q% q% g        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
; L4 c4 F/ f0 R/ q! k            (c, d)(b, a)
2 ^# f- H, x# K4 w! R7 |            (c, a)(b, d)

1 \' ]0 G/ H' ~: s, k4 G0 FPartially ordered set of subgroup classes
0 G2 [  ^4 w2 ?5 e! @' O* L-----------------------------------------
2 m( U: D' P4 ?: i% M
[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
---
6 w, k! T! a7 q% j( m9 C0 t[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
) F2 l3 w, R) `* O- D[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
---
[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
# H7 i9 l) A2 Z3 ~9 M# e! V! h[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
' w. u+ [- j( Y4 B2 R( ?9 M& o---
[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
0 |/ x( h0 J1 V- h4 R$ L[ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
---
: _$ [: X) {; y* Y" ]; f0 V+ p[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:
+ ~  d$ x. o: R/ B) B( m" t
GSet{@ c, b, a, d @}
( c% T9 Y- B# _Conjugacy Classes of group S4
-----------------------------
2 W' G$ I  l+ s( T: `[1]     Order 1       Length 1      
8 Q$ z  O% u, N1 R- g% C        Rep Id(S4)
% |& x6 y4 |' V9 R
[2]     Order 2       Length 3      
) Y4 W8 o$ t3 R4 R: B9 x$ V& A        Rep (c, b)(a, d)
* J6 w/ _" N  `7 z. |6 l9 x+ u
[3]     Order 2       Length 6      
- k" T& Z( ^+ h8 u+ @6 A9 a        Rep (c, b)

[4]     Order 3       Length 8      
! c$ E. t+ `; U! Z& |        Rep (c, b, a)

[5]     Order 4       Length 6      
: K( m# c. @  Q. U' n' A" Z% h& T        Rep (c, b, a, d)


5

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
, x; Q% r1 i$ {# P        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
- A" j5 ?' N7 f( g2 ~        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
* p6 C0 @( T# m8 w        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
4 T8 M4 o* W3 i' _: w) r        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
- r6 S  t! F4 b: w# U        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
        <row>7 13 19 8 6 11 4 0 3 14 15 5 22 1 9 10 20 21 23 2 16 17 12 18</row>
& W3 m! ~4 R0 B& M4 B* ^, E& |        <row>8 6 9 7 13 20 5 22 17 1 23 4 0 14 19 12 11 18 15 16 2 3 10 21</row>
( Y5 W) Y: \7 I0 I( y' N        <row>9 18 8 19 21 12 15 16 1 17 4 23 2 3 7 20 10 6 5 22 0 14 11 13</row>
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lilianjie

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
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康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
! [! I/ m" B/ A( a3 x1231231234

大师啊。。。。。你太厉害了！

lilianjie

过奖过奖！还在路上！

xxgzftj

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。
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