抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

丘唯声的书上有你这题
4 x5 o5 G/ n3 w
3 h; a; s; b5 `& M) B( S2 q6 f+ s( ], P群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题

9 i$ V* W" k, D& F$ [其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，
3 Q+ R+ ?# n, w5 m0 [
只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群

# u2 K' f% g1 ^" w) i/ r7 e母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多

S4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
0 w( j8 [+ v" z8 |' l> S4;
Generators(S4);
IsAbelian(S4);不是交换群
Subgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
# C: S" a! P, _4 ?7 Z! _4 y Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群
9 P1 _! ~5 }2 X% s& C  S0 W
& U! A& j* u; r; z! R( U' w' w( \% ]SubgroupClasses(S4);
9 ^2 B0 z2 p% |5 ]& A) E$ ^4 ?
. {' F8 k5 v" X! {: C: r5 t0 d( G! pNormalSubgroups(S4);
AbelianSubgroups(S4) ;
' N, O6 z$ m- C. u  ]; H6 S. kMaximalSubgroups(S4) ;
4 W* ]) t; F7 J9 G9 h) o. P
& Y) l: D7 h. Q: c9 [* d& l3 ZSubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图

+ o7 I/ F4 _- G3 b/ o" z  U: y3 QGSet(S4);
ConjugacyClasses(S4);
# H2 k2 t( n, F4 c: }6 O% y9 MNumberOfClasses(S4) ; 5类

Symmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
Order = 24 = 2^3 * 3
0 n: h7 d% E, @6 v8 b0 J5 Y{
  l; [) Z0 F- \5 a' `$ _    (c, b, a, d),
    (c, b)
7 A; t5 m6 o1 P8 \8 m( @( ^0 s}                               两生成元
4 G7 @. ~0 _: i. Rfalse
! F  [. I9 J2 w( p( p5 JConjugacy classes of subgroups     子群共扼类
! O4 ^; t+ R( h- R, W8 Z/ P+ y6 ?------------------------------
. S4 M& |( {. d& k  ^' Q- Z# x4 l
[ 1]    Order 1            Length 1
6 `# r% t4 L5 t. y( Y% x$ @        Permutation group acting on a set of cardinality 4
2 z2 R3 z' S' ~7 D+ S* H, \$ Q. J3 v; t        Order = 1
7 o: }* Y& Y% |& C[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
3 X/ m% @3 X/ v1 G        Order = 2
# P/ K5 M! C& J1 `! e9 I' p            (c, d)(b, a)
$ }1 q6 x& f& j( N! t" k. x/ a[ 3]    Order 2            Length 6
0 Q  r8 r: @! ]" b        Permutation group acting on a set of cardinality 4
7 O  \  C* i  C$ v4 k        Order = 2
. T; N! P, Q4 j7 W            (a, d)
6 H* D( P, a1 K- N6 k[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
* r2 `4 m  S2 N$ i& c/ p        Order = 3
/ n& j5 r* y( y$ U3 P            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
# g- b1 P( z5 t- V3 |- f! F        Permutation group acting on a set of cardinality 4
5 U) v3 q; I  @+ w2 _& H8 t& c        Order = 4 = 2^2
' ]9 }+ A0 U: B; M- [/ J' J! m            (c, d)(b, a)
% @$ c+ D3 f8 R            (c, a)(b, d)
% u: d8 K- y5 B9 O# ~[ 6]    Order 4            Length 3
) G2 t5 a; o; ?( @) i        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
" V  v, l* w, Y8 o% R            (c, d, b, a)
+ Y1 i4 h2 `2 j( A- J/ g. |7 E            (c, b)(a, d)
[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
+ _7 c& b1 {, `8 Z' g2 _; N9 m6 l            (a, d)
& g. q/ L5 \! B6 |) |; S            (c, b)(a, d)
[ 8]    Order 6            Length 4
5 w3 B$ C& [' T1 H( \/ P        Permutation group acting on a set of cardinality 4
: T+ ]; Z( T% L. p        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
. N' U' T& f! P. Y5 X8 l- H9 u& B        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
$ p4 [+ m) n) Q            (c, d)(b, a)
: X% I4 y1 V! A2 N6 T            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
* _7 _4 ^6 y* B+ z" c( v4 p        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
: t$ j: r6 g( q0 H8 ~- B& ~+ H            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
6 v# p( l9 g2 |, H" C# p0 ?3 B9 K        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
) H) ]/ p0 l" Q/ @3 y" M/ P            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
% q$ X, E, z2 v8 p6 m! V4 t  AConjugacy classes of subgroups
------------------------------

[1]     Order 6            Length 4
! z. v% b+ p' g. p- ?- G3 P        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
# ?  J2 Z; t6 f9 s9 I[2]     Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
" F/ Z/ p$ o% c+ k        Order = 8 = 2^3
7 L4 f: W/ g7 q            (a, d)
& H) f8 `5 j8 |% z% n  i            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
" g5 |: U4 V& ^( Q            (c, d)(b, a)
1 g" i4 m+ I# b/ h7 i& T( q/ J            (c, a)(b, d)
( {" d9 ^# v* A+ A' QConjugacy classes of subgroups
------------------------------

[ 1]    Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (c, d)(b, a)
[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
6 c8 ~9 `7 m, {) u$ P, K  \. s        Order = 2
. A  p' a3 `, V) Y5 t; L            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
  G5 A. V7 u3 I9 A# O" g; P        Order = 3
            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
2 U7 f: ^- }/ z4 U7 f# R        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
& ~6 A% N( L/ p3 m- T& }            (c, a)(b, d)
[ 6]    Order 4            Length 3
2 J3 y. L/ Y3 D) Q0 v        Permutation group acting on a set of cardinality 4
# A2 Q% J# W6 o8 j        Order = 4 = 2^2
( [; S+ W4 ?% H( E3 d            (c, d, b, a)
) Z/ q5 z% s% J  ]' P0 }# ?. l2 Y2 G% c            (c, b)(a, d)
! k5 d: r0 m( F[ 7]    Order 4            Length 3
9 g& E5 n+ ]0 y! n# a( a- t4 P  |        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
  p6 y. \6 W8 P5 g! Y5 S; r) S8 S  l            (a, d)
! f( A, ?. J! i1 }3 x            (c, b)(a, d)
[ 8]    Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
7 O1 Y! Y1 K9 l3 [        Order = 6 = 2 * 3
* Z% o7 Q6 h, i7 r, b$ }. S% ?            (a, d)
            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
" L* S, C% I! Y; d- R        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
+ {& a3 j  a6 ~            (c, d)(b, a)
$ B9 M3 f8 [- m: g1 R# o            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
/ m: U$ s+ q) R5 Q1 m& v        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
3 w! Q* z& z3 x& e; [            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
' O& I9 L: S: H! n- Z        Permutation group acting on a set of cardinality 4
" Z8 E6 q0 T1 v        Order = 24 = 2^3 * 3
3 D3 ]4 ~  x* \2 `8 N1 z            (a, d)
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
0 I& ^  {" _0 ]5 G  i0 s  k------------------------------
+ O- |4 s0 \. ~- a5 H$ \
[1]     Order 1            Length 1
' l% q8 U" N; v- ^4 O* E3 N! D3 o        Permutation group acting on a set of cardinality 4
3 E1 r2 d0 a3 S, C        Order = 1
5 z- ]* a' }2 P# r8 V# |7 c[2]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
: D: x- V$ U) f& _        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
! v6 s: O* `0 Q. T0 L6 y            (c, a)(b, d)
! w8 Y$ l1 ]& U! u* g[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
4 g! L0 v' N; B5 z        Order = 12 = 2^2 * 3
3 q+ f$ p. k5 _% q- o            (b, a, d)
/ V* p- D& m* M; u  l" N) M            (c, d)(b, a)
% {5 M  a  O8 M- d0 n  P5 w( j' K2 B            (c, a)(b, d)
[4]     Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
* J0 W6 x! }5 Y8 H5 u; p9 I            (a, d)
* @$ g/ B3 u+ W+ ?            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
7 L: [8 w% ?  T. s# OConjugacy classes of subgroups
------------------------------
& c. |* N  }9 C3 S; n; `( J/ X  s
[1]     Order 1            Length 1
6 w9 r  f5 |; O& {        Permutation group acting on a set of cardinality 4
1 O2 v# N# ^( X. O" G        Order = 1
* R' y- T# D3 E1 F' h+ E5 W$ W9 e[2]     Order 2            Length 3
. r7 l4 V& i! N: I6 w" o        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
* u8 m/ l8 l8 ]            (c, d)(b, a)
' ]9 T: H' d+ B6 z1 _! i% z5 m$ }[3]     Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
' D; R& i7 |+ w+ a9 t        Order = 2
            (a, d)
, a9 a/ D9 E: w. [! ][4]     Order 3            Length 4
0 P  s7 C" e% j; `; w# t        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
1 r8 Y+ ?- ~+ f            (b, a, d)
) \6 V+ S/ _3 K6 Q  B( J5 g  _[5]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
: L. ^1 `0 p. V) Q# n        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
# y4 h  y' V3 A# I3 f- L- q            (c, a)(b, d)
3 [8 Q  h/ N. @6 {6 _8 Q+ \[6]     Order 4            Length 3
( _: K. `% s$ o& h# W+ E        Permutation group acting on a set of cardinality 4
' {4 L" _# o9 `/ y) L9 g& S        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
, \) k6 M) d; o* d[7]     Order 4            Length 3
( U6 T0 c+ _; k) g7 b% B        Permutation group acting on a set of cardinality 4
9 z5 E; A$ E- D5 {        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
Conjugacy classes of subgroups
; [3 I: r, |+ \6 e; t------------------------------

* S- [2 Y( a$ ~$ }# T( z2 M[1]     Order 6            Length 4
6 T8 h& s2 v! U3 Z- D  t/ v        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
* R, G/ k- V+ o9 g# \            (a, d)
            (b, a, d)
3 u: R5 l; n" d5 h[2]     Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
! A+ i- L  B  w+ o5 w( e7 c            (a, d)
. }% F; w. W& }  d: q. }            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
1 v6 f0 N7 I9 K' l0 U0 V            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
0 z9 @6 X) X# v4 r2 C
Partially ordered set of subgroup classes
-----------------------------------------

3 E1 Z; o7 |, I# r5 [2 B[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
! K: f- {& ~& e! m% Z---
[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
" H7 B, |3 h6 O) R( F# v[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
' H+ \- ]7 ?, Z---
& |. u, r9 ~# B/ E[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
9 i5 I2 a( ^$ k* V5 G[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
---
) r+ B' f! K0 L! B+ l[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
[ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
---
, s. h6 M5 }2 a5 g1 `[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:

GSet{@ c, b, a, d @}
3 t3 V- s7 K) A+ Q) ~# C: X! |Conjugacy Classes of group S4
-----------------------------
[1]     Order 1       Length 1      
        Rep Id(S4)

[2]     Order 2       Length 3      
8 _/ ]5 n  q: d  c, w3 n        Rep (c, b)(a, d)

[3]     Order 2       Length 6      
        Rep (c, b)
0 T: w, u' }; _' m9 u$ F8 U- O
4 ?7 M! O" ~/ A& \( E[4]     Order 3       Length 8      
9 d. e' @; e0 e/ t; ]# [. E        Rep (c, b, a)

4 {) k6 D0 G* q- Z[5]     Order 4       Length 6      
0 D: p2 n! n( w4 n3 P6 K8 L/ z" S        Rep (c, b, a, d)

7 L+ S3 B/ x( U: U" ]
5 Q9 G& Q0 X# }: `8 s: L6 W+ `5

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
( n2 D6 B+ L- y, K2 G' ]$ L8 M2 ^        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
) W; v+ K2 }- K9 K        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
5 f: l) s8 b' V" M/ Y; G        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
        <row>7 13 19 8 6 11 4 0 3 14 15 5 22 1 9 10 20 21 23 2 16 17 12 18</row>
3 r1 m3 n7 x& W1 s! B- m7 \5 Y        <row>8 6 9 7 13 20 5 22 17 1 23 4 0 14 19 12 11 18 15 16 2 3 10 21</row>
3 m" P! K/ y+ R4 q" p/ I2 y( I        <row>9 18 8 19 21 12 15 16 1 17 4 23 2 3 7 20 10 6 5 22 0 14 11 13</row>
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lilianjie

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
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康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
, h8 ]& I# K# N, n1231231234

大师啊。。。。。你太厉害了！
: W5 [0 `$ y, n+ f- c/ N

lilianjie

过奖过奖！还在路上！

xxgzftj

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。
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