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请教两个关于“绝对连续函数”的问题

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发表于 2012-7-28 14:40 |只看该作者 |倒序浏览

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如题，请教两个关于绝对连续函数的问题：

第一，一个函数绝对连续是否等价于这个函数可以表示为另一个函数的变上限积分？第二，设一个定义在R上的函数满足如下条件：有上下界、在R上连续、在R上单调(不要求严格单调)，请问这个函数会不会一定是绝对连续的？如果不一定，能否给出一个反例或至少说明一下理由。今天看概率论的时候碰到的问题，还望各位高手们指点一下。

zan

概率论

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goodfriend007

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发表于 2012-7-28 14:44 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

排版不是太好，不过还是自己先顶一下

我也说一句

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rivuletwj

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TA的每日心情

	怒 2014-5-23 14:58

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发表于 2012-7-28 22:42 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

第一个问题：（1）绝对连续未必可表示为变上限积分。维尔斯特拉斯曾给出一个著名的函数，该函数在R上处处连续但却处处不可微，这个函数就是一个反例。因为假设这个函数可以表示为变上限积分函数，那么这个函数的不可微点应该是个零测集，这和这个函数的性质是矛盾的。（2）变上限积分函数是绝对连续的，这一点是容易证明的。
第二个问题：这样的函数未必是绝对连续的，一个反例是y=x^(1/2) (0<=x<=1), y=1(x>1),此外该函数是偶函数。楼主可以自己验证。