卡丹公式欺骗了五百年所有数学家

谢芝灵

错误有二个:
' A/ n* V  ~0 r% r4 y4 ~0 G, ?! ?(1)一个小错误.(我会在后面指出)
  H' {$ v5 g4 ]9 ](2)一个致命性的数学逻辑错误.(我会举实例反驳,但错误根源我不会说,我知道错误根源.)

0 T. G/ x- [2 T! M6 C5 T+ W8 u结论:卡丹公式不能解一元三次方程!
; G8 n. M' |, \) `/ a& s
先请看卡丹公式:
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：cubic equation of one unknown）。一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是ax^3 +bx^2+ cx+ d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法.如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为
" U( P% S0 v* }/ O( `第一个小错误:
# O7 z4 s' O% z8 g2 P. f+ W+ j8 c
  c/ v! Q2 G! b: @& M3 `  ` 第一个小错误:
大家知道一邢三次方程有三个根.上面卡丹公式也有三个根.见x1,x2,x3.
8 X- I0 W  b4 V; H/ B  Y大家从表面上看是三个不同的根.实际上面三个根就是一个根.因为x2中ω放到开立方中就变为ω^3.但是:ω^3=1.在x2后部分还有个ω^2,放进开立方中就是:ω^6.同样
- n! B; Z7 f- L; u4 Kω^6=1.这样x2就是x1.同理x3也是x1.
" G/ a: P  a6 h( [
第二个致命性数学逻辑错误.
& w! \, Q4 L" K& w, ?+ T我举实例反:
0 r4 p: ?6 S( x2 c+ p3 p& g3 N以30度角三等分公式.
4(sin10)^3-3(sin10)+sin30=0....(1)
- a# y2 H: ]1 x' y5 V为书写方便,设sin10=x.
得:4x^3-3x+1/2=0.
) e( E' {  O$ U5 i化为:x^3-3x/4+1/8=0......(2)
; J4 ~9 ^. I9 ^( Z4 U
x^3-3x/4+1/8=0,
: t# J, y* G, @/ ap=-3/4.  q=1/8    代入卡丹公式.
/ w& T) V1 Y. ?) T( A" W0 A

2(2)^(1/3)x=[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3).....(5)
( A2 {1 V) Y" L9 I) E2 o: K7 x0 Z+ L把(5)式两边平方得:
$ t: d4 \3 z2 c: Z5 ]$ g7 G8 [4(4)^(1/3)x^2=[-1+(-3)^(1/2)]^(2/3)-2(-4)^(1/3)+[1+(-3)^(1/2)]^(2/3).
得:4(4)^(1/3)x^2=-(2)^(1/3)[1+(-3)^(1/2)]^(1/3)+2(4)^(1/3)+(2)^(1/3)[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3).
整理得:4(4)^(1/3)x^2=(2)^(1/3){[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3}+2(4)^(1/3).
" f! b- x* F/ d.
& d' ~1 l! Y5 I5 V把(5)式代入得:4(4)^(1/3)x^2=2(4)^(1/3)x+2(4)^(1/3).
得:
1 J9 v1 U, A% M- j8 c2 [8 P4x^2-2x-2=0..........(6)
9 h7 q5 q8 I5 q$ a" z  u- m解得x1=1.即:sin10=1
# Q. q  h) J% I; @  k, }3 K# mx2=-1/2.即:sin10=-1/2
* J, T; A" F2 {% o/ z5 f代入(1)式验正全错!这个错误是卡丹公式造成的.
$ d7 p7 E! U8 A9 z+ d' J: V1 C) P
+ p% s& O6 p9 D* `8 y1 L; w
' A% i, U" |1 M1 W) A0 b9 R2 Q+ v

谢芝灵

另一个挂图了,重发.

谢芝灵

x^3-3x/4+1/8=0代入卡丹公式后得到4x^2-2x-2=0
2 W6 t. \: X: ^% R8 G+ i
两个方程矛盾/

谢芝灵

(-1)^(1/3)=-1
$ v/ J/ Z/ G: C- F2 ^(-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2
(-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2
% H! I* {& M% c: |0 `三种情况.分别与x1,x2(或x3),x3(或x2)对应.

原方程必有三个根. (-1)^(1/3)=-1 时,有一个x1根对应.你动手算算就知.得到一个一元二次方程.
                  (-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2有 一个x2(或x3)对应,也得到一样的一元二次方程.
* q. a8 O- H& C: W* J                  (-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2有 一个x3(或x2)对应,也得到一样的一元二次方程.
我重复做了,三种情况.都一样,卡丹错了.

我在其中只用了(-1)^(1/3)=-1并不矛盾,因为必为其中一个根对应.得到一个一元二次方程.也与一元三次方程矛盾.
只要求得一个根与原程不合则原公式来历有问题.