卡丹公式欺骗了五百年所有数学家

谢芝灵

错误有二个:
+ a8 o' U7 G1 y5 R(1)一个小错误.(我会在后面指出)
(2)一个致命性的数学逻辑错误.(我会举实例反驳,但错误根源我不会说,我知道错误根源.)

结论:卡丹公式不能解一元三次方程!

4 p- g! }, P6 g5 b0 L先请看卡丹公式:
: |$ h! _0 b3 J/ n8 D. c只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：cubic equation of one unknown）。一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是ax^3 +bx^2+ cx+ d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法.如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为
$ O/ H# ^, Z9 N+ S第一个小错误:
* x9 H4 {& C9 |
& k! f+ k/ Q2 D$ _4 W 第一个小错误:
: }: R3 b7 p& {) V大家知道一邢三次方程有三个根.上面卡丹公式也有三个根.见x1,x2,x3.
% g' p) D$ E( `1 N8 V3 @. W! `大家从表面上看是三个不同的根.实际上面三个根就是一个根.因为x2中ω放到开立方中就变为ω^3.但是:ω^3=1.在x2后部分还有个ω^2,放进开立方中就是:ω^6.同样
ω^6=1.这样x2就是x1.同理x3也是x1.

第二个致命性数学逻辑错误.
6 e6 \7 G% g' L3 u% \; M我举实例反:
以30度角三等分公式.
' ]6 l- ?$ d7 \- U4(sin10)^3-3(sin10)+sin30=0....(1)
为书写方便,设sin10=x.
0 I' p3 Y7 v/ {( g: J得:4x^3-3x+1/2=0.
化为:x^3-3x/4+1/8=0......(2)

8 ^, Y- E" }; m. ex^3-3x/4+1/8=0,
3 {2 w& X* F7 Y2 m+ U+ D6 t) Kp=-3/4.  q=1/8    代入卡丹公式.
' C& p9 z2 z# |" c' d/ K

' U: R! ^! {+ M/ A2(2)^(1/3)x=[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3).....(5)
- C# u$ v7 j9 P% V把(5)式两边平方得:
+ p4 z& y) O) R: ?. x9 f4(4)^(1/3)x^2=[-1+(-3)^(1/2)]^(2/3)-2(-4)^(1/3)+[1+(-3)^(1/2)]^(2/3).
" f1 r7 {- S  c0 J3 U" r) f0 S得:4(4)^(1/3)x^2=-(2)^(1/3)[1+(-3)^(1/2)]^(1/3)+2(4)^(1/3)+(2)^(1/3)[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3).
整理得:4(4)^(1/3)x^2=(2)^(1/3){[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3}+2(4)^(1/3).
% f( l- i8 _9 U/ E.
7 a7 ~3 S/ `) t; H0 p把(5)式代入得:4(4)^(1/3)x^2=2(4)^(1/3)x+2(4)^(1/3).
6 g# N* J) u  V  k* j0 x8 S得:
8 N: _8 q6 z0 c5 l* |) b4x^2-2x-2=0..........(6)
7 B, V! B1 b! e" B) S+ t6 X解得x1=1.即:sin10=1
x2=-1/2.即:sin10=-1/2
代入(1)式验正全错!这个错误是卡丹公式造成的.
: q8 i/ N5 P# V7 E

谢芝灵

另一个挂图了,重发.

谢芝灵

x^3-3x/4+1/8=0代入卡丹公式后得到4x^2-2x-2=0
& X/ v7 y  [6 t  Z# R' l! e
4 j. U) U# ]  J; Z+ U9 u: {两个方程矛盾/

谢芝灵

(-1)^(1/3)=-1
(-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2
* A& c  i& [% V2 |6 K3 A(-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2
( q* F- L4 G) T/ M8 ?# }4 F5 G三种情况.分别与x1,x2(或x3),x3(或x2)对应.
- @- O7 z: z( o  w
原方程必有三个根. (-1)^(1/3)=-1 时,有一个x1根对应.你动手算算就知.得到一个一元二次方程.
                  (-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2有 一个x2(或x3)对应,也得到一样的一元二次方程.
                  (-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2有 一个x3(或x2)对应,也得到一样的一元二次方程.
我重复做了,三种情况.都一样,卡丹错了.

我在其中只用了(-1)^(1/3)=-1并不矛盾,因为必为其中一个根对应.得到一个一元二次方程.也与一元三次方程矛盾.
& I3 j2 I" w& x( [9 t/ q只要求得一个根与原程不合则原公式来历有问题.
' V, Z# e  n1 J