卡丹公式欺骗了五百年所有数学家

谢芝灵

错误有二个:
(1)一个小错误.(我会在后面指出)
(2)一个致命性的数学逻辑错误.(我会举实例反驳,但错误根源我不会说,我知道错误根源.)
0 N) @. x1 D% W# H3 ~- z
结论:卡丹公式不能解一元三次方程!

/ j7 e# L5 [0 j+ G先请看卡丹公式:
" S( i/ m; ^, n& V: p" t9 x. e只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：cubic equation of one unknown）。一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是ax^3 +bx^2+ cx+ d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法.如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为
( z  [$ r  S2 o9 j" y第一个小错误:
+ t5 y7 W! j+ t
  ?( J# A3 ?- I% z% } 第一个小错误:
大家知道一邢三次方程有三个根.上面卡丹公式也有三个根.见x1,x2,x3.
) @" s% o: m% D! j& w( g, r% y大家从表面上看是三个不同的根.实际上面三个根就是一个根.因为x2中ω放到开立方中就变为ω^3.但是:ω^3=1.在x2后部分还有个ω^2,放进开立方中就是:ω^6.同样
ω^6=1.这样x2就是x1.同理x3也是x1.
( _& S- S7 \: P
& ^/ Z) q  W! B; ?第二个致命性数学逻辑错误.
我举实例反:
/ x. B# s0 b. d" c7 E以30度角三等分公式.
8 ?+ ^+ f4 Z' W) f: o) K4(sin10)^3-3(sin10)+sin30=0....(1)
& p  h  B( W% U7 U3 [" i5 z为书写方便,设sin10=x.
得:4x^3-3x+1/2=0.
5 s& Y! o1 x4 i3 m化为:x^3-3x/4+1/8=0......(2)

x^3-3x/4+1/8=0,
  T& C+ x% p% O8 Zp=-3/4.  q=1/8    代入卡丹公式.
6 y2 j% N1 G+ A/ r9 B$ ]
9 S4 u* m# o6 K- x  M; R, F
8 x! F( H& J: A( Q0 l: _2(2)^(1/3)x=[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3).....(5)
; _0 @. X8 t, v把(5)式两边平方得:
4(4)^(1/3)x^2=[-1+(-3)^(1/2)]^(2/3)-2(-4)^(1/3)+[1+(-3)^(1/2)]^(2/3).
得:4(4)^(1/3)x^2=-(2)^(1/3)[1+(-3)^(1/2)]^(1/3)+2(4)^(1/3)+(2)^(1/3)[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3).
1 R7 L5 Y  P4 }) J% _整理得:4(4)^(1/3)x^2=(2)^(1/3){[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3}+2(4)^(1/3).
.
把(5)式代入得:4(4)^(1/3)x^2=2(4)^(1/3)x+2(4)^(1/3).
3 k# G5 e! X5 W+ c" e& |/ ~* b得:
4x^2-2x-2=0..........(6)
1 H. ^0 j* V+ Z8 _解得x1=1.即:sin10=1
x2=-1/2.即:sin10=-1/2
( y; t$ D% G1 @代入(1)式验正全错!这个错误是卡丹公式造成的.
. m  b4 Q( d2 T

% E$ _0 h7 z: G

谢芝灵

另一个挂图了,重发.

谢芝灵

x^3-3x/4+1/8=0代入卡丹公式后得到4x^2-2x-2=0
# U; w  O  z1 v- }* ^6 A5 t9 c' B
6 l5 U8 b5 W- \" t6 O8 p+ z1 R两个方程矛盾/

谢芝灵

(-1)^(1/3)=-1
8 _* D9 z  V( H/ y(-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2
0 t# P9 F/ g5 h- t(-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2
+ K# m! U1 }' l0 y& r! ]) }+ }2 s三种情况.分别与x1,x2(或x3),x3(或x2)对应.

原方程必有三个根. (-1)^(1/3)=-1 时,有一个x1根对应.你动手算算就知.得到一个一元二次方程.
; g: ^" ]" ?% l2 i& d                  (-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2有 一个x2(或x3)对应,也得到一样的一元二次方程.
                  (-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2有 一个x3(或x2)对应,也得到一样的一元二次方程.
我重复做了,三种情况.都一样,卡丹错了.
. l1 }+ C3 L8 o/ P; {- S: J
我在其中只用了(-1)^(1/3)=-1并不矛盾,因为必为其中一个根对应.得到一个一元二次方程.也与一元三次方程矛盾.
; I' x  d* S+ _6 \% v只要求得一个根与原程不合则原公式来历有问题.