卡丹公式欺骗了五百年所有数学家

谢芝灵

错误有二个:
' F# _$ Z+ I( g0 N/ x( p7 ?  J' O(1)一个小错误.(我会在后面指出)
(2)一个致命性的数学逻辑错误.(我会举实例反驳,但错误根源我不会说,我知道错误根源.)
% F8 n) p" [3 Q! k* V4 L1 U
结论:卡丹公式不能解一元三次方程!
- \0 m0 p/ |' m; ~- p6 j( t* t. R
8 R  x$ P8 b5 v1 e先请看卡丹公式:
* z( I* o1 y7 P+ p  B& D' X9 A: }+ P只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：cubic equation of one unknown）。一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是ax^3 +bx^2+ cx+ d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法.如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为
% \, d8 p4 @. V/ N- v$ f/ _9 ]第一个小错误:
+ r) a) u8 c! l4 r- H. M6 C& j
: ?1 R5 s" G$ s( l) j$ x. i5 p 第一个小错误:
大家知道一邢三次方程有三个根.上面卡丹公式也有三个根.见x1,x2,x3.
大家从表面上看是三个不同的根.实际上面三个根就是一个根.因为x2中ω放到开立方中就变为ω^3.但是:ω^3=1.在x2后部分还有个ω^2,放进开立方中就是:ω^6.同样
ω^6=1.这样x2就是x1.同理x3也是x1.
. p+ y9 b5 d" H+ Z7 M3 a
第二个致命性数学逻辑错误.
# F: G* p+ _+ V我举实例反:
以30度角三等分公式.
4(sin10)^3-3(sin10)+sin30=0....(1)
7 m3 ^0 U  Y: P- R为书写方便,设sin10=x.
得:4x^3-3x+1/2=0.
化为:x^3-3x/4+1/8=0......(2)
2 i2 t. A9 U/ U( l# v" a! M' \
0 F3 e3 ?( e3 E& _x^3-3x/4+1/8=0,
2 l" V& G3 `  X* hp=-3/4.  q=1/8    代入卡丹公式.

( N4 n$ Y: U- x9 V2 u) I5 |
8 ]" m  E  }5 _- ~/ F2(2)^(1/3)x=[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3).....(5)
* C* F; M# V8 f( o把(5)式两边平方得:
( w7 K1 N& x8 [& X" J3 o/ ^6 C% h" F4(4)^(1/3)x^2=[-1+(-3)^(1/2)]^(2/3)-2(-4)^(1/3)+[1+(-3)^(1/2)]^(2/3).
得:4(4)^(1/3)x^2=-(2)^(1/3)[1+(-3)^(1/2)]^(1/3)+2(4)^(1/3)+(2)^(1/3)[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3).
整理得:4(4)^(1/3)x^2=(2)^(1/3){[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3}+2(4)^(1/3).
! b" V5 s- ?! O5 E( p8 z8 W0 T3 c.
把(5)式代入得:4(4)^(1/3)x^2=2(4)^(1/3)x+2(4)^(1/3).
) V2 a5 N/ J  R得:
4x^2-2x-2=0..........(6)
1 _; M! ~4 R% N0 T6 S  A解得x1=1.即:sin10=1
) s) v: L+ l2 c2 k9 t# Px2=-1/2.即:sin10=-1/2
代入(1)式验正全错!这个错误是卡丹公式造成的.
& l  m; n" W# p) R/ r( A) R( @
5 V6 C; j# z: d' J7 R

谢芝灵

另一个挂图了,重发.

谢芝灵

x^3-3x/4+1/8=0代入卡丹公式后得到4x^2-2x-2=0
: @# E0 c- A& r+ G# |$ l6 A
两个方程矛盾/

谢芝灵

(-1)^(1/3)=-1
(-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2
6 A+ C" z+ a, h8 i5 o(-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2
三种情况.分别与x1,x2(或x3),x3(或x2)对应.

5 }$ W5 x0 X9 P% _! u原方程必有三个根. (-1)^(1/3)=-1 时,有一个x1根对应.你动手算算就知.得到一个一元二次方程.
                  (-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2有 一个x2(或x3)对应,也得到一样的一元二次方程.
: R: V0 f6 ^' ]' d3 Y" P- D                  (-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2有 一个x3(或x2)对应,也得到一样的一元二次方程.
+ M; w! R) `  }& N- ~我重复做了,三种情况.都一样,卡丹错了.

我在其中只用了(-1)^(1/3)=-1并不矛盾,因为必为其中一个根对应.得到一个一元二次方程.也与一元三次方程矛盾.
% E( S' h4 H5 y+ i只要求得一个根与原程不合则原公式来历有问题.
" ]& L* x! V; y1 A