卡丹公式欺骗了五百年所有数学家

谢芝灵

错误有二个:
(1)一个小错误.(我会在后面指出)
(2)一个致命性的数学逻辑错误.(我会举实例反驳,但错误根源我不会说,我知道错误根源.)

0 F2 i- s4 C, @6 G结论:卡丹公式不能解一元三次方程!
9 |+ r& b( d0 s/ R) C
* N( P8 O- C% G9 Q3 W% t先请看卡丹公式:
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：cubic equation of one unknown）。一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是ax^3 +bx^2+ cx+ d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法.如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为
, Z/ e& `( h7 X0 }( Q# ~" d第一个小错误:
! |2 w" d$ F" H) _
第一个小错误:
大家知道一邢三次方程有三个根.上面卡丹公式也有三个根.见x1,x2,x3.
大家从表面上看是三个不同的根.实际上面三个根就是一个根.因为x2中ω放到开立方中就变为ω^3.但是:ω^3=1.在x2后部分还有个ω^2,放进开立方中就是:ω^6.同样
ω^6=1.这样x2就是x1.同理x3也是x1.
( y! `3 X' z4 U" C3 X- S
2 z$ d& T! E2 b7 V第二个致命性数学逻辑错误.
; l$ h  t% t  h5 Y) Z3 O我举实例反:
6 I! E% }9 ]$ t1 P! N( P3 ?# H以30度角三等分公式.
- R5 ]# I7 t2 d+ ?( x) y3 Y6 [9 I4(sin10)^3-3(sin10)+sin30=0....(1)
1 Z7 S1 W* S! X2 X. n为书写方便,设sin10=x.
( L( D: K7 u( X3 N! q8 a( s得:4x^3-3x+1/2=0.
化为:x^3-3x/4+1/8=0......(2)
# n  E. [; S5 o5 I! Y* u
& _0 a0 g7 X( D# w" }& V4 f: ux^3-3x/4+1/8=0,
$ l# b. D& B$ u+ E8 vp=-3/4.  q=1/8    代入卡丹公式.
. ?# m$ A( I! Q; `3 A

: O& i' O2 Z% R& y7 S9 }2(2)^(1/3)x=[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3).....(5)
! K: b& m! f1 M! e( C# v把(5)式两边平方得:
4(4)^(1/3)x^2=[-1+(-3)^(1/2)]^(2/3)-2(-4)^(1/3)+[1+(-3)^(1/2)]^(2/3).
得:4(4)^(1/3)x^2=-(2)^(1/3)[1+(-3)^(1/2)]^(1/3)+2(4)^(1/3)+(2)^(1/3)[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3).
整理得:4(4)^(1/3)x^2=(2)^(1/3){[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3}+2(4)^(1/3).
# s; G: D( L, ], k* E% {: E  i.
把(5)式代入得:4(4)^(1/3)x^2=2(4)^(1/3)x+2(4)^(1/3).
得:
4x^2-2x-2=0..........(6)
解得x1=1.即:sin10=1
x2=-1/2.即:sin10=-1/2
: e4 G8 a0 F8 S" I! J1 k8 R: [  z) d代入(1)式验正全错!这个错误是卡丹公式造成的.
# ]0 L. }2 G) k: D; Z! l0 b
" |" }3 B( i4 h! X
# X! `7 D9 c, R' R$ M

谢芝灵

另一个挂图了,重发.

谢芝灵

x^3-3x/4+1/8=0代入卡丹公式后得到4x^2-2x-2=0
, R0 m; Z7 A& m% h, p& W! P
两个方程矛盾/

谢芝灵

(-1)^(1/3)=-1
- V' r, F- g6 H5 ]0 a(-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2
(-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2
: k# h" ~' V' P& j: z6 }9 ]三种情况.分别与x1,x2(或x3),x3(或x2)对应.

& |% j0 {% n7 l. w原方程必有三个根. (-1)^(1/3)=-1 时,有一个x1根对应.你动手算算就知.得到一个一元二次方程.
                  (-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2有 一个x2(或x3)对应,也得到一样的一元二次方程.
  O& A- i- q8 ?$ b                  (-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2有 一个x3(或x2)对应,也得到一样的一元二次方程.
我重复做了,三种情况.都一样,卡丹错了.
5 u4 Q6 E# l: D2 O
我在其中只用了(-1)^(1/3)=-1并不矛盾,因为必为其中一个根对应.得到一个一元二次方程.也与一元三次方程矛盾.
只要求得一个根与原程不合则原公式来历有问题.