请教王树禾教授

张彧典

! K& T, s! [0 X3 [4 v( A     王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，现在转载如下：
1 {5 p% M% }; X% F3 A4 y, d定理5.6 （1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
# h* ?3 H; r1 T5 z2 w' H                                                                         k
, v) p4 u) C+ D7 g: S; T    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
8 O( S6 m7 |5 J6 k! ^+ C                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
$ j9 D" _8 [6 b/ m于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]

/ D% r( e: I* r& _    其中，我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是

, H/ c7 F" u( v! S2 R0 ?$ t# N- P                  
    我想 （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
! Y8 j' P, f3 P; G      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 （只有当K大于7时才有）（1）< 0，这又表明开头“考虑K等于7”有问题，只能大于7了。

      如果确定是k/6,那么（1）式为
     
      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
$ Z0 B% L) e' \! }6 e$ |    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

7 Q$ j9 h8 w+ Y    那么（1）式究竟是什么样呢？会不会是：
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
' a* J7 S+ e! T( E7 }或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
* E" J, X3 Y: j9 g6 ^4 F    如果千真万确 是这样的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
5 l* N6 W; ^5 {) s6 s, Z    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
        （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2    或者      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
2 @3 K1 Q- J( x   比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
。
" r5 s2 G- x+ W7 {    如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
4 e6 _) v  n/ C1 C. }0 ~) Z                                                                     2014.04。09
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张彧典

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张彧典

这个帖子中发现有一句重复了，敬请读者看5月31日发的修改稿