请教王树禾教授

张彧典

  I3 O7 c* M5 F5 ^9 a     王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，现在转载如下：
定理5.6 （1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
4 S5 I6 e7 s) ~7 g- W    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
                                                                         k
* E* m/ }! T' n# i% ?5 z( x5 ^    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
4 z& U8 g" j( U1 V5 E' T    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
; a, C4 ]1 X$ Y5 J# R                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]
+ k+ X7 Z3 H/ P3 O$ _
  ?" x0 ?- a8 k- R- a2 Q- Y    其中，我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
1 i8 u* H! t/ t: l8 N1 F% j# {
* O  U- Q4 y; A. x. f1 i% h  K                  
/ R6 m9 s+ u5 R5 `7 b    我想 （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 （只有当K大于7时才有）（1）< 0，这又表明开头“考虑K等于7”有问题，只能大于7了。

0 B: S  F$ R9 @6 E4 f$ l4 B5 a      如果确定是k/6,那么（1）式为
! G4 u' M) d8 F% y5 o7 e     
      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
  C5 v4 S4 @6 X! e6 L6 J9 v
7 H( t0 A5 F/ P# p; e7 ?    那么（1）式究竟是什么样呢？会不会是：
( |1 d% J5 W7 o- x: K     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
7 O# e" U& I* J( W或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
3 ^$ B' I, b! {. w因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
    如果千真万确 是这样的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
        （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2    或者      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
( o  L( i! f0 s4 K/ n于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
   比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
。
: c2 T& p2 c+ L( T/ f    如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
5 _, ~1 y/ C" |                                                                     2014.04。09
" g, p6 B  K/ E; G; D, [) c$ g1 ~
% e# f1 g- _3 f) N9 \) J: _/ A& Q

/ J6 {' c9 o+ c% i

9 ~6 K% b5 u' G4 D6 {8 p

平凡之不凡

等待楼主的跟帖，厉害

张彧典

谢谢你们的关注，希望具体的评论。

张彧典

这个帖子中发现有一句重复了，敬请读者看5月31日发的修改稿