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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番 " q. ~ L6 ~' {! N& }图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出 ( O7 ~, m' h0 F! i8 M的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来& m% b. Y% _# c2 z 因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有 3 i7 ` I3 W2 s# ?2 P他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就 - S. [' p' I$ s) ]3 ~" O* D是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算- g9 e/ v7 ?, p1 o6 v$ y `1 ? 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包2 A' ^; U4 ?9 V 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 + n% j" B1 d: L; a8 C贡献。* N, Z: }# f. r" y3 T/ h" s

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像 8 _/ Z; h5 e8 Q/ B4 r# I, X4 s/ B1 [3 ]7 k/ f7 w9 n, s: x 　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：# E/ x% q2 l, z" t1 a9 C; N 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……: _- L8 s- ^' m 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在' h! C# h5 r5 ~8 _. P% w 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对 . n: L2 j' W# q* T兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三. K& u: g8 N9 ]# Q, l. o- v% X; K 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，9 ^* }9 o5 f* R 一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的 " F0 O. N, {1 k+ {' }) k1 m* Q, d兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密 ! f: u% r0 ]9 `7 K" g/ @ `切的联系。 % F/ M: H- H. v' {/ T" O 1 V# x6 a) D1 l5 {　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘) I, m: p- k/ _# R9 e, k* y8 F4 h9 U 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 ) P7 S4 @! X3 ^9 a. ]5 Y但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 4 ^' v, g2 ] w/ L$ k为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在* `. M, M/ S; F$ r* v 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏* n: R/ S4 f0 k4 v 大自然的造化。 ' z% {. L; G# ~$ ^ I6 x : E5 w7 r5 G7 d8 z6 N　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不$ G0 Z0 J4 e, X" M6 r 到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒: q& d1 N! r3 H5 p) w& f 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 p5 Y& j9 U* t; \$ O$ d 从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向- v8 b+ v( S7 l0 Y5 I! q 的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 $ C+ p! b" ^! f/ A( l% ?- k6 y: }种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个 z1 A. J4 e/ A/ G3 S图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的 , R! W0 ~8 D- a4 B$ r% U

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 $ }8 T; x) W I% |（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有3 U n9 B! r- W$ \8 G6 @- p 21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。 . ~. r/ I8 d1 h7 e

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 : p/ }& R( A5 D% [' F　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让* T; {/ i4 U* m, R9 ] 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 3 P8 U+ z6 Y8 V. [5 z6 j9 A" m击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心 ( f5 d) K9 t% ^: w% |菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 $ J) F) \$ D- ^$ h这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 & ?/ W$ M" k+ D) W序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。; K2 L3 E: j; r) s) Z3 ^

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） / t9 c$ [; ^% S( H% X k; s, M& M 7 ]. G1 T! \) Z. N1 B　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自) D0 v5 w; ^& C% v5 Q 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 v. ^8 V7 c5 u( T 能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 6 c( z' s5 ^8 _. V4 d- _2 [太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对# i5 c" |' N$ M6 \% g 于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程/ N1 b' V: I% P3 F 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出9 N; U! h- [. V/ `0 e) S0 r 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度" H1 l# J+ Z# [* R2 |9 K0 \) N 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 3 H4 [6 B1 V: o度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 0 ~1 _8 x" \' W1 _4 N, a了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时0 ~* n( G& i% ?! z; z 能达到89，甚至144条。 & Z/ |" w/ J8 Z " R q6 J' g3 Y- X4 {3 b　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器: f) m& [! z/ c; P- E( h& }: f 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， 8 X. |: k; k; _6 [9 u1 u你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，! T: T i8 S: O2 T$ r 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中7 ~1 D. w3 m9 L9 Y 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出 - n5 Y- u0 k+ o1 l来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。