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斐波那契螺旋

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斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番 # s: W# V% A9 Q( `图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出 % F2 U* K% I q2 V( d的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就 7 o% }; f$ K1 I7 K& r是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 贡献。

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坐落在意大利比萨的斐波那契雕像 $ c+ X2 Z3 Z0 u$ s! h　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列： 0 ?- C7 x9 v! {　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …… 8 e# G9 V2 G7 N# o9 z/ B8 Z从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对 , v) B6 a4 m4 w! \1 H% P# P; q兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， # `+ x B, g G8 [5 U$ K一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密 切的联系。 ) c+ E& k- V: K* F; i. m: o　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘 * ~. Z5 [0 x4 S- H书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 8 W! h6 t, ]6 K! K但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在 ; l6 m( @" r. b: T5 G/ P0 w4 a这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏 大自然的造化。 9 `8 w! n' }/ x0 x& Q( ?8 M! X 　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒 3 o: l% ~" p/ B% X8 Q& @草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 + C+ a% Q- r: j从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 8 ]! Q. t# p5 b# I0 {8 Y8 B( h" T [+ k的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的

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具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。 K, t8 @, F5 S7 V( H& B* Z

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 # i3 j/ t' \0 a2 {. M$ T/ |3 f7 W　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 7 ]4 p" U. R0 @# Z: P; k- b' U6 X8 c8 K

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自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） ; Q, S% v4 }) U3 I& | O3 h2 O. d& n　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自 0 d" \5 W9 l5 x- P3 G$ Q& |4 E- ]然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 2 O2 u b) g% |9 o- [* X能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 9 z/ s, D1 R/ {$ u& y: c太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 3 ?7 F0 v; \* R& Q# a了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 3 @7 M+ y; w J1 [能达到89，甚至144条。 6 ^' V/ ^, m$ o( M& D' y/ `　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， 3 n% s- d+ q @. s: K" p X你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物， 0 G8 ?: V; Q5 I也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出 , o! d& G# s3 K8 P5 r, b9 |来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。

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三剑客555

图呢？。。。。。。。。。。。。。。。。

弘道

谢谢楼主……辛苦啦！………………

宇仲

楼主辛苦了，继续加油哈！
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