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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番 D$ p& r! g( h6 q3 A) n( ]- g# t' P图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出 * B4 n1 _, k% v V8 e4 F的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 3 x' L8 u. B' [. R因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有. d+ ?: M' y# Q 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就 ( a) G, w3 W2 {* V. K. O8 \. r! V是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 * k: Y" L: R1 n1 S盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包 $ V6 A( G8 j3 q9 h括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 * m0 _* J8 @5 f1 ~$ N5 z. G+ i- B贡献。5 [" D6 B$ W P! i9 S4 ?5 R/ i

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像) ] R9 B- ~$ x# K" k, P 6 k) T5 M0 h8 f　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列： ; C' G2 o% G6 r/ E　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……2 e2 u3 _& R' O( m8 W) @3 v5 ] 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在% m( v4 G {: O2 ]+ o( { 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对 ' X) [8 ^ C9 W: q5 c兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三9 h" s: [9 G, j+ t% D: O" I0 i2 h 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， * E @7 `2 \0 f一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的5 Q" K5 i; P1 t9 i2 e& Y. ^6 R 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密9 f0 k' V2 j$ \& d 切的联系。6 y; a4 h, b( q0 u) g6 D; A $ f: R$ Q& t1 o4 R* q8 s 　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘, {8 L6 V$ C6 `. Y) H/ P 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 g9 N& i- T# \% W: Y9 x" R 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 * c4 @" b y7 I: ^; D1 B) R5 B' m为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在) Z( H# F9 W9 U 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏 : K2 ?: Q/ e( t6 @. u$ G大自然的造化。: Y, j9 k% L( k5 I & L! |7 `2 b9 d# P [ 　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不. ]6 L T- k2 P/ ^( p7 H+ A5 T Q 到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒2 t4 y0 ~2 ?) W' ^$ B. Z 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 # ? J" @6 P4 ]6 J$ w9 |7 u从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 * x* n* Q% ]( E9 l5 @9 j的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一6 z2 q' W4 r* l+ F8 k# e 种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个" s0 e( E3 C# a: F 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的 6 N8 A; g0 T; x9 y) X

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 ' D q) j' f5 I) |: l G/ I' Y/ D. u（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有5 J) l7 p3 G$ {3 u. X% Y 21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。0 N0 K4 u1 r. q! A: f

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 4 z- f; V1 l! Q2 R! h　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让 - t4 Y, j V4 y2 s, p7 |0 c人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 [3 V, T% V' T3 V 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心 8 w9 Z2 B3 ?5 w( O3 h- `. D: x7 c菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 % Q1 n" ]( J% M$ H/ c! _5 d这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 ; F: I& i& y w3 x. C序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 " ?7 ]. c/ y. I

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） 9 j0 ^$ {4 F8 c2 M- d5 M0 |& m 　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自 9 _6 Z" p6 y9 D) _ h- v( J然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 W* {- S2 W3 b9 s# \& o$ p! {! `. L能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 , x6 {, e+ X( e) ~* ^' y. J+ Q太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 n$ b; h( \, G9 u- ? 于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程5 ]3 k! b- F: R9 E( A/ E: p 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 " F4 S" m9 U" s( X% b8 v来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度9 [: \; [9 h0 }( W5 M 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 0 m: l) ], |: o: [* r度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定7 _! L! I) {6 s* X: {' e 了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时; Z, x1 q+ ~1 L/ Q- ~( j 能达到89，甚至144条。% @8 e7 v# {3 w' R8 Y; O+ i& w 4 V* U& _& k8 {5 s( b& b4 M 　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 ; e% n% ~/ L# |% n- s" U官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， 6 {1 t* @6 v5 ]你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物， 4 e; _: m9 ]+ j+ c也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中0 _3 V: A# W: S: J8 I 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出- A! B9 D% @* c0 r) q* z6 L, S 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。