新手进阶建模（6）平衡原理和机理分析应用

2336426014

       简单的说，平衡原理就是原来的平衡的因为一边发生了变化使平衡破坏 然后反应朝着能够削弱这次变化的方向发展。现实中绝大多数问题都满足平衡原理，交通红绿灯的设置与路宽的关系，收费站的卡口数与车流量的关系等...
8 R# h3 q1 H3 O& z, k9 H4 U3 S       建模中我们拿到的题目并不会直接说明其中哪些因素满足平衡关系，所以这需要我们首先要查阅资料找到该问题中隐含的平衡关系因素。然后建立微分方程求解。
1 v. w2 D% K! j7 D/ B" M通过几道例题来说明一下：
1.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。
0 |2 P1 Z. X+ J" n% C/ y第一：找平衡关系。题目只说了出生与死亡，给了我们一对平衡因素（人口的增长还与该地区的人口迁入迁出、资源分配有关，出
         于简便，只考虑出生率与死亡率）。
6 u) q9 W  Z5 L第二：找平衡变量，与出生死亡有关的我们可以联想到出生率、死亡率。
: j+ X7 P; d% T7 X( q第三：约束条件，建立方程         
0 o* V9 G/ m1 |/ O& {. H8 l% A         1. 人群个体同质。

         2. 群体规模大。

         3.  群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的   影响。

         4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。（生育率和死亡率）

         5. 群体增长恒定。

         6. 个体增长独立。

        人口数在区间[t，t+△t ]内的改变量N等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。 令B(t, △t, N), D(t, △t , N) 分别表示在时间区间[t，t+△t ]内生育数和死亡数,   则有：
/ E" B5 G; `' G2 L& t6 U

1 X- R' ^# ?+ M7 D3 M2 ]

         则出生率：
5 ~7 B4 E6 Z! ~- o

5 c( k; J( a2 k. y# [' }

         死亡率：

! {3 }! ?( C2 x0 u7 t

         自然增长率 :
8 p% _) ^# X! H0 f$ V

         又因为初始条件：
1 T# y1 p3 P2 f5 j3 L

5 P1 G) [0 x2 g& c

         继续推演可得：

5 G0 P; ?3 b& o7 `3 _
1 Z8 ^  }' [$ y' p) D, n

给定初值 N(0)=N0，可得人口增长的指数模型(Maithus  模型)。但是实际情况下资源必定会限制人口的增长，即人口数量达到阈值时候会减速增长，模型变为 logistic 模型（s曲线）。
        以上例题仅仅作为说明平衡原理的理解例题。实际应运中平衡关系从物理角度、经济学角度好找一些（只是本人感觉）。
0 T+ C% n: W2 F2 k, W        附本次例题来源的word文件供大家阅读，更深入理解平衡原理。

! q" m  T( S& r; Y& n" v5 A

  q8 a+ F  r2 \- ?
7 W, F3 P2 T; D. ]* D2 E

3963095

怎么找不到4了？？？
" W+ u$ u5 y3 `3 y2 y