【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

. X5 S. j! f% @: {8 O7 R
x1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。

例如：
  b+ v4 B' m+ a! F/ |max  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
matlab中为：
min  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
3.线性规划中解的概念

可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
8 ]- n+ H% P: V% Y& g可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。
: O) v9 m' h; q( L. s+ k; K
4.一般的线性规划问题

7 z  x" {  V1 |8 ~在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。
+ p2 H& V8 O. P5 U: G2 R$ l$ R
8 U& B2 e) e( V( |5.matlab中线性规划求解过程
- l' f  o6 x! j3 s
① 利用linprog函数返回最小值解向量。
4 S; X3 J  D* q5 A② value = c’ * x求最小值。
" |- r1 k. |9 F2 @; t" c3 \! t& `( I/ T
+ ^7 T* u/ {# ]/ G" i+ Y: K基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
其他的函数形式：
3 U: C) _: {% x$ s' q$ S; U( J1 ?[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
x0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。
# A0 r& {# w3 a& b3 v
6.常见技巧

6 U# ~7 k# X  T' d- e问题为：
: ^7 e  v( K; R! I* h
min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
* b% R/ @' k+ [5 A! yxi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。

7 l+ i# D& c: w1 k转换为：
min  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
; q6 w; Z# }9 r5 l8 F* a! _6 [s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
7 f* J8 ^3 ~( T' S0 S7.运输问题（产销平衡）
& Z, o1 k. e+ j; r  r3 Z5 J

8.指派问题

1.数学模型
: y$ R/ r8 C5 h; }, c1 l+ w5 F

3 ?0 H! J/ z: K( @7 H# ]" q
2.利用匈牙利算法
+ b$ T, z5 Z0 @  f$ f0 u算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
" X& ~2 U/ P& p( p# g最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
/ u$ J, P9 Q! l; X求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。

- P$ j: W/ z4 m' k% A( i

) v" h$ J4 e8 ^$ U* {/ r