【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

& P/ X, s( i  a  D4 @
x1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。
  \7 I! M" P' E# D8 z  j" B) ^4 m% _

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

( @* M6 W* ~" U8 Y3 W
其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。
" e: ~- V( L/ b* i0 e4 {
6 q" F9 z2 D8 S) J; k' L8 o9 P& a例如：
" Z) \' s3 a3 T% ymax  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
matlab中为：
5 q4 |8 |$ C  R+ h/ K8 R0 R# J$ ~min  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
3.线性规划中解的概念

可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。

4.一般的线性规划问题

在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。

5.matlab中线性规划求解过程
- t0 n; M2 J* f0 p9 h+ B" Y
; c9 J& [9 |0 Y① 利用linprog函数返回最小值解向量。
: w0 m. ^/ K1 ~9 e+ a5 q② value = c’ * x求最小值。

6 O' n+ {  m5 ^9 _4 E2 T4 \基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
9 r, i* J, P% H0 M其他的函数形式：
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
/ Q/ n: @# l# Gx0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。

' W& ^! E- g; U/ {3 [6.常见技巧

6 ]1 t5 a* g7 e% K1 ?( X# r问题为：
. v; J7 T- v* O: i
min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
xi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。

2 Y9 g: f% X  {% @转换为：
min  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
7 P" E3 f+ b$ |/ ~s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
0 I5 d3 y3 j2 R+ Y, k7.运输问题（产销平衡）

8.指派问题

1.数学模型

2 m7 f! \  V5 Y! t2.利用匈牙利算法
( k( _" x: G% ~! X' S3 s6 o算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
# b; a$ d, Z9 Z8 g0 @( k4 s1 @求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。