【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

; Z, {: T3 k, E" ]& Jx1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。
9 B5 E4 Q7 D1 Q6 w) n* p
% i/ A3 T9 ?5 u; I. T" g例如：
! k9 j/ u$ ]! U$ H  Amax  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
matlab中为：
- o. }9 p  h& P6 z/ n* ]! Omin  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
0 ^- Y5 X( z7 p% H% }) g3.线性规划中解的概念
: u( {8 X( c- x9 \8 j
可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
5 g# k9 w4 ~8 Q# c) g# w) z5 V可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。

4.一般的线性规划问题
* f" O1 l- Q  ^
在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。
% v- \; ~" b: T- k) c
/ D7 W5 M4 R, U& }5.matlab中线性规划求解过程
2 z$ {3 r) F& ?
' t! ^' \0 B* {0 Q2 B. W: n① 利用linprog函数返回最小值解向量。
② value = c’ * x求最小值。

基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
, g4 |6 j% z0 v其他的函数形式：
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
x0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。

6.常见技巧

问题为：
, v3 I' ]7 E( J& B
min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
9 T6 a* ~) F# |2 D1 B事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
( u7 o( F* |9 G8 j+ pxi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
5 U7 J! `' W; m6 C* t$ ]令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。

转换为：
* m7 Z  Y. c/ o/ dmin  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
3 A" x/ r( R- ^- K5 i8 \2 u4 L6 M& P5 Is.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
7.运输问题（产销平衡）
' f4 o3 a- L8 M; \3 P

8.指派问题

1.数学模型

2.利用匈牙利算法
5 J) |. {. Y/ d! M; Y1 [算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
; o/ }( j" ]( }* m4 |8 p求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。


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