【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

9 E/ \6 W2 c, A
2 ]  H1 x5 n0 a& X1 ex1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。
9 F1 S& M- ]6 @. e4 y; x

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。

例如：
& ]4 |7 ], Q& bmax  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
matlab中为：
  |, t3 T: g3 a7 B! ?min  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
) x, H5 t6 a+ X5 v2 e) M3.线性规划中解的概念
6 T: B+ c% z7 q( U0 E7 {: e
1 {' z* F; g: ]% `可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。

4.一般的线性规划问题

在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。

5.matlab中线性规划求解过程
+ Y' ?! a7 @  y8 Z
① 利用linprog函数返回最小值解向量。
② value = c’ * x求最小值。

基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
" C4 T8 a" v1 r' U- [其他的函数形式：
* Z4 u" O4 {% f6 \3 a3 O2 f[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
* i# J2 A( S$ f7 Kx0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。

& Q5 _& p; I& G) e6.常见技巧

+ o4 U% ~: W/ W" h问题为：
; q/ |- o& ~% M) C1 o
9 k1 x5 K$ V, j, Dmin|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
- u/ z$ u9 u/ F/ z) S/ W事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
xi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。
+ W+ Z: N+ O) I
转换为：
1 B4 [; l; p% N9 R1 f9 i8 Gmin  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
/ N9 a1 i6 y0 B, c* ^5 L2 ks.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
3 W& d6 H& I8 U& ?. `1 ^1 |7.运输问题（产销平衡）

8.指派问题

1.数学模型

5 @2 S  L5 q7 ^  q. A. }6 v
7 Y% e. r. D* {5 x  }* u# h2.利用匈牙利算法
算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。
( O# g" }  J5 I5 |! x. o. g
. e6 s* l( h. D9 z' T8 Z" R

& v& c' M3 Y+ [7 U$ f2 m+ W