【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

1 g" O3 I+ K; p/ X3 yx1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。
1 z% f# _- T2 b  s$ M; ~; W
例如：
max  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
matlab中为：
min  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
0 G7 w$ ~3 U9 k1 e  K2 _$ f3.线性规划中解的概念
. {2 r: D* L) X- e; A
9 m; S4 {' E4 ^7 N可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
1 K$ Q4 r: o- ?+ d0 B; _6 T可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。
" j1 m! R& q: y
5 D9 R1 {' l, ]$ H* }2 Z7 E) g4 {. z4.一般的线性规划问题

在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。

5.matlab中线性规划求解过程
! o- t2 _. g) D3 P/ A. T
① 利用linprog函数返回最小值解向量。
② value = c’ * x求最小值。
  L0 g1 z# L3 z. h
基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
其他的函数形式：
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
9 t8 o6 D; b* p( I0 ]5 O: |x0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。
* |. h; c1 }# r/ a( Q- g
6.常见技巧

7 D9 [) l0 B5 \" A* E" t. T& H问题为：
) H* D  L( _0 ~9 d2 w: T
min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
% G. ]6 i# I7 o+ L事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
xi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。

转换为：
/ W+ c9 J) I( T! B' E# Pmin  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
/ l& i( o0 z1 i( T7 `" J) {- \s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
7.运输问题（产销平衡）

9 \$ H4 S7 J" I% s. _
" i5 L* s! x# I2 A1 U' a8 e  e

8.指派问题

1.数学模型
2 Q. N' V9 a# C4 v$ |6 v7 J

/ U" T2 V9 ^0 A$ k: s9 r0 f2.利用匈牙利算法
算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
. r% A0 p9 Y$ |2 y$ x求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。
7 j% q5 ?2 T. I# O* f


& C. e2 z% G$ l7 z4 l& k7 d