数学建模学习笔记（6）用积分思想建模

佛自业障

数学建模学习笔记（6）用积分思想建模

产生积分思想的源头问题：
+ e* ^. r" }$ t4 ?5 `
    求曲线长；求曲线围成的面积；求曲线围成的体积；求物体的重心；两个物体间的引力
5 m% T; x0 r% n6 E7 u

) d& A6 B$ H' x/ G. v8 p    一维空间：求密度为ρ(x)占据（0，l）线段的直杆的质量
  S' G( H# C) X7 l( ~% t
- w2 M# M0 k) m3 {8 T" f0 F
2 o* |- N& l* S                     把一根直杆分割成无数小区间，每个区间的密度看作常量，求积分
* F1 i  ?* f. ^; y
! h* ?( ]' u! [7 C% [' k$ w! i) Q
    二维空间：求密度为ρ(x,y)占据Ω平面的薄平板的质量
3 C7 A: C' ]; ?  h0 |
  W. k" q2 l3 w- L2 I
    三维空间：求密度为ρ(x,y,z)占据G空间的物体的质量
" N( _" u  q) |( K6 H' _
这些方法不止适用于物理量，还可以推广到自然科学和社会科学，比如人口出生密度，交通车流密度等可以用于求总量。
6 \) r0 v! q& K
案例

: g0 P5 I$ k# e" q5 L+ V) U消费者愿意付出的价格p=D(p)，q为需求量，p是q的减函数（类似反比例函数）

* ~: [. M/ u% \1 x- G/ B7 t+ f消费者对价格为p*的商品的购买量为q*时  愿意付出的金额为曲边梯形面积A=∫0→q* D(q)dq
  K8 G$ I- m7 i' B+ T8 e
1 U, g) b. z( j3 e5 {实际付出的金额为Ao=p*q*

4 ?, L3 l2 S$ A6 _消费者剩余=愿意付出的金额-实际付出的金额
: w  O, ~2 I4 |7 J2 L; m( B
7 T* r5 Z$ @% L, f7 P( L% w即CS=A-Ao=∫0→q* D(q)dq-p*q*


" {+ p& T+ C" D( d) D" @: v