数学建模学习笔记（5个静态优化实例分析学习）

佛自业障

数学建模学习笔记（5个静态优化实例分析学习）
' w7 D4 h( D2 p) c  n# L2 y静态优化模型（微分法建模，求导得目标函数最优解）
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/ b/ h- ^* m* X6 P- K9 J现实世界中普遍存在着优化问题；静态优化模型指求解问题的最优解；重点是如何根据目的确定恰当的目标函数；一般使用微分法。
7 \7 c( g; v- p  R1.    存储模型：存在某种矛盾，寻找平衡最优点！
  M! U" ]" F8 A. o$ b3 ~) U* ^a)      问题描述：配件厂为装配生产若干中产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时因积压资金要付存储费，该场生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
b)     问题存在：今已知某产品的日需求量为100件，生产准备费5000元，存储费为每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期）？每次产量多少，使总费用最少。
9 z. {8 m& Y* N# S' Ac)      要求：不止回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备飞、存储费之间的关系！
( D  O4 T( q$ ~) E- _( x4 Hd)     问题分析：
7 D0 E9 N3 `: m& @% }首先，对于我们来说，应该先找到问题所在，即造成当前无法做决定的原因是什么？
) ?4 k: ?9 p4 @7 C! |1 e这道题的原因为：
) w- M) {. [3 U! B周期短，产量小：存储费少，但准备费多。
2 ^, p' r! V) W# g$ B  S周期长，产量大：准备飞少，但存储费多。
$ L; X8 ~% Z3 We)      分析求解：
                     i.           模型假设
                   ii.           目标函数：每天费用的平均值最小
                  iii.           模型建立：离散问题连续化
& T- {& S8 k; i/ T& ^* ?# v% B                  iv.           模型求解：得出目标函数，求解当周期T为多少时，可以获得最优解，可以使用matlab等软件进行求解！
                   v.           模型分析：说出T的变化讲引起目标函数如何进行变化！
+ y: f8 d/ S0 tf)       进一步建模：如允许缺货时又需要怎样进行建模？
& n9 Q7 g  V. j# Z7 K5 a7 p2.    森林救火
# n9 o1 |4 X, J& ca)      问题描述：森林失火后，要确定派出消防队员的数量
" @  `4 \7 @' V) Kb)     矛盾：
                     i.           队员多，森林损失小，但救援费用大；
                   ii.           队员少，森林损失大，但球员费用小。
7 s& N# f9 d6 I9 G: o综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。
- x: y  t# c8 |' p' [" R* {5 W4 l: wc)      问题分析：
" D! c/ k2 Z9 f4 m: m- h! O                     i.           合理假设：火的蔓延方式等；
                   ii.           模型建立了，列出总费用的函数模型；
                  iii.           利用数学软件进行模型求解；
                  iv.           进行解释。
& N/ L. U  e5 L  q/ ?& B 与存储模型十分像，都是求解存在某种矛盾情况下的最优解。
: W7 E0 m% S5 P7 ?5 V) A) [3.    最优价格
a)      问题描述：根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大。
: C5 |6 q$ n# a& i5 m0 N9 ib)     问题假设：产量等于销量：x；收入与销量成正比；销量依于价格p是减函数；等
c)      建模与求解
d)     如果进一步分析，可以少一些之前的假设，进行另外的一些分析建模。
* c) a3 h+ x0 L. m& g0 r7 s5 k* b/ w; _9 U4.    消费者均衡：
& J! F7 S# V4 X; D% Ta)      问题描述：消费者对甲乙两种产品的偏爱程度用无差别的曲线族表示，问他如何分配一定数量的前，购买这两种商品，以达到最大的满意度？
一样是最优化的问题，不多做解释了，，，
6 X3 K" g) D# K: ]: T; V, k$ xb)     可以进行的优化：考虑如何推广到m（>2）种商品的情况！
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5.    冰山运输
a)      问题描述：某地区缺水，淡化海水的成本为每立方米0.1英镑；专家建议从9600千米远德南极用拖船运送冰山，取代淡化海水，试从经济的角度研究冰山运输的可行性。
* x" P0 b0 Q& T0 `) Y( Pb)     建模准备：加入进行运输，则需要的一系列的成本计算，最终建模求得成本表达式。
. L- B" c( l3 [& Cc)      之后进行建模分析。
# S) F& h/ S& G4 Yd)     结论分析：只有当计算出的成本显著低于淡化海水的成文时，才考虑其可行性！
0 ?" C& O% O% o+ {/ W重点在于建模时，要充分考虑不可忽略的种种因素：如冰山融化、燃料、租凭费用等。
2 T+ E( M1 g6 f$ Q) Y总结：
1.    存储问题：存在某种实际矛盾，不知如何安排。需要寻找平衡最优点！
2.    森林救火：与存储问题一样，都是解决某种存在矛盾。
3.    最优价格：一样，求解最优问题，重在前提假设要合理。
4.    消费者均衡：考虑推广优化。
! ?4 V# N  M' x7 w& k6 [5.    冰山运输：考虑不可忽略的多种因素损失。
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