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数学建模学习笔记(5个静态优化实例分析学习)2 k% j' J% o6 @' V$ S9 I* E
静态优化模型(微分法建模,求导得目标函数最优解)
& O) W0 n/ q0 P0 ?+ F: j( b( z5 g2 U8 J' t3 E8 M
. l q2 F( P% ~+ E) T; ~
" K2 A; t$ [7 T现实世界中普遍存在着优化问题;静态优化模型指求解问题的最优解;重点是如何根据目的确定恰当的目标函数;一般使用微分法。+ d. H8 V) X/ _; U& r3 b& N. O
1. 存储模型:存在某种矛盾,寻找平衡最优点!
9 r. v* B" i( t5 ia) 问题描述:配件厂为装配生产若干中产品,轮换产品时因更换设备要付生产准备费,产量大于需求时因积压资金要付存储费,该场生产能力非常大,即所需数量可在很短时间内产出。0 M0 a" N: A8 X7 W: h7 n% e( Y) X. J
b) 问题存在:今已知某产品的日需求量为100件,生产准备费5000元,存储费为每日每件1元。试安排该产品的生产计划,即多少天生产一次(生产周期)?每次产量多少,使总费用最少。3 r1 ?! g0 d% [
c) 要求:不止回答问题,而且要建立生产周期、产量与需求量、准备飞、存储费之间的关系!+ ~( [! v0 {1 P }
d) 问题分析:
& J& E6 ?+ X/ f首先,对于我们来说,应该先找到问题所在,即造成当前无法做决定的原因是什么?
3 x/ }) ]% O( W+ Y) B$ `这道题的原因为:
/ p; }/ E& g) Q h* M" X- y周期短,产量小:存储费少,但准备费多。8 J; `: s/ R7 I0 q8 C
周期长,产量大:准备飞少,但存储费多。
2 {" @( I2 S" he) 分析求解:' u+ L3 Y I, u3 y! Y! C! ~$ `$ {
i. 模型假设
: C$ b: f' y- {# q' u6 D ii. 目标函数:每天费用的平均值最小
1 y( ~+ e N$ e5 o! \+ o2 G iii. 模型建立:离散问题连续化
! N2 b- O4 `/ C iv. 模型求解:得出目标函数,求解当周期T为多少时,可以获得最优解,可以使用matlab等软件进行求解!
7 `6 Q. p, l5 E0 @9 E v. 模型分析:说出T的变化讲引起目标函数如何进行变化!
# Z# f! t. h9 \+ H! l) Af) 进一步建模:如允许缺货时又需要怎样进行建模?
* A2 `; H( F1 ?5 H2. 森林救火0 j4 W: }$ a$ q8 x) ]. y! U! K( X! ^1 V
a) 问题描述:森林失火后,要确定派出消防队员的数量
+ x& u' N, ]" Q% l( D8 g& ^b) 矛盾:" D; u9 l; G$ I* H" ]
i. 队员多,森林损失小,但救援费用大;) E2 z6 l" I2 `2 ?& E1 \
ii. 队员少,森林损失大,但球员费用小。0 Z5 A0 H+ l; x s2 F" X+ \3 O8 @
综合考虑损失费和救援费,确定队员数量。" ^+ x' v3 p) E- i* b
c) 问题分析:
7 _; N+ \$ D4 Z i. 合理假设:火的蔓延方式等;% H+ u# @) x3 H$ f0 h4 l
ii. 模型建立了,列出总费用的函数模型;1 r' Z" S7 A& |) s. g: b9 }$ f
iii. 利用数学软件进行模型求解;
8 z' R) m9 a" H: k7 p2 E iv. 进行解释。- f$ R0 o% ^2 e1 f/ X( [( ^
与存储模型十分像,都是求解存在某种矛盾情况下的最优解。- {( q: K8 G" @3 a+ z' ]8 B, U
3. 最优价格
5 a" m' e2 l4 G$ Na) 问题描述:根据产品成本和市场需求,在产销平衡条件下确定商品价格,使利润最大。% ~! B' J! N' H5 [2 [" ^! I
b) 问题假设:产量等于销量:x;收入与销量成正比;销量依于价格p是减函数;等
) j% Q2 d- U+ i' B# Z& Oc) 建模与求解" J# o9 t$ g1 b6 G: A
d) 如果进一步分析,可以少一些之前的假设,进行另外的一些分析建模。
0 j" P: W- g0 x: T8 n2 J6 |. a4. 消费者均衡:
) k: P: O7 u3 b5 A& J, Ra) 问题描述:消费者对甲乙两种产品的偏爱程度用无差别的曲线族表示,问他如何分配一定数量的前,购买这两种商品,以达到最大的满意度?
4 B/ M+ ^/ }6 {# D一样是最优化的问题,不多做解释了,,,. i: e+ U$ ~/ p
b) 可以进行的优化:考虑如何推广到m(>2)种商品的情况!- b7 R, S4 f# i8 \$ I
# B- R) A1 n; K- m# p5. 冰山运输) f# n$ P/ { Z* ~- j1 J* E
a) 问题描述:某地区缺水,淡化海水的成本为每立方米0.1英镑;专家建议从9600千米远德南极用拖船运送冰山,取代淡化海水,试从经济的角度研究冰山运输的可行性。; z3 n+ T( s# W9 T- l* y! P V# L
b) 建模准备:加入进行运输,则需要的一系列的成本计算,最终建模求得成本表达式。
$ G7 z3 D1 `) ^- S% [$ _c) 之后进行建模分析。* p* |: J# P1 E' _- q( l, ?2 f+ N
d) 结论分析:只有当计算出的成本显著低于淡化海水的成文时,才考虑其可行性!
! W; D4 `* D0 U; W7 ?# v重点在于建模时,要充分考虑不可忽略的种种因素:如冰山融化、燃料、租凭费用等。
7 X2 E9 [2 ]2 H' B总结:
' ^1 M4 |4 C" ^; b2 I: V3 S1. 存储问题:存在某种实际矛盾,不知如何安排。需要寻找平衡最优点!3 ]! |! Y* C, `% L& Y: B7 d9 m
2. 森林救火:与存储问题一样,都是解决某种存在矛盾。4 K/ T7 U* L; e/ u6 J* [1 N5 M7 P
3. 最优价格:一样,求解最优问题,重在前提假设要合理。/ h9 @9 h4 M V' n
4. 消费者均衡:考虑推广优化。
& T0 C/ i9 y" ]& a5. 冰山运输:考虑不可忽略的多种因素损失。
8 z# T5 s2 H+ f3 t' F8 j. m- W0 y! B: H# f
5 M1 R8 O. [+ B; k3 v' x' f x; ]0 q# H- _1 g
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