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数学建模学习笔记(5个静态优化实例分析学习). |& Y! w; s7 _/ w8 g+ {( J
静态优化模型(微分法建模,求导得目标函数最优解)
9 O" t9 X- w: c) D, h% B8 G; d
8 m6 w9 e0 Y' y7 k8 I# d7 W& L6 {# O( e1 t- k5 c
g- b/ I* B( O9 P1 i" s1 m" m
现实世界中普遍存在着优化问题;静态优化模型指求解问题的最优解;重点是如何根据目的确定恰当的目标函数;一般使用微分法。
/ N* V' v8 J0 ` r( j1. 存储模型:存在某种矛盾,寻找平衡最优点!
# C3 `2 e& ?& c. H8 B" ?" Xa) 问题描述:配件厂为装配生产若干中产品,轮换产品时因更换设备要付生产准备费,产量大于需求时因积压资金要付存储费,该场生产能力非常大,即所需数量可在很短时间内产出。
* b1 E8 h& J0 R& z' Yb) 问题存在:今已知某产品的日需求量为100件,生产准备费5000元,存储费为每日每件1元。试安排该产品的生产计划,即多少天生产一次(生产周期)?每次产量多少,使总费用最少。
; I& m: ~0 T# U( u/ n1 w+ V" rc) 要求:不止回答问题,而且要建立生产周期、产量与需求量、准备飞、存储费之间的关系!! s5 L$ h5 ]+ r
d) 问题分析:2 i( A6 P; ]7 R; ]( o
首先,对于我们来说,应该先找到问题所在,即造成当前无法做决定的原因是什么?
, a9 z) i. H. Y, j7 H# C这道题的原因为:$ R- r3 A+ E( k
周期短,产量小:存储费少,但准备费多。. \7 ~$ I' V. A( W7 d
周期长,产量大:准备飞少,但存储费多。7 E; X7 G8 Z. o& W. X0 e$ W
e) 分析求解:6 U! j# p' r9 Y% b( }
i. 模型假设
/ I, p+ v" w | ii. 目标函数:每天费用的平均值最小* D( |$ a9 c+ y8 R9 T, M/ r
iii. 模型建立:离散问题连续化
/ _& H' D; {7 N7 e iv. 模型求解:得出目标函数,求解当周期T为多少时,可以获得最优解,可以使用matlab等软件进行求解!! K6 ?; x1 v; i: y" w: D( ?: R1 d
v. 模型分析:说出T的变化讲引起目标函数如何进行变化!' C, |" y3 @6 t9 S G
f) 进一步建模:如允许缺货时又需要怎样进行建模?8 J8 Y! n) o9 a# h, {
2. 森林救火3 C4 j# u" V4 F& L6 R1 n! N: g
a) 问题描述:森林失火后,要确定派出消防队员的数量& Y! H# _5 j( U! ?7 K, x
b) 矛盾:5 s2 y4 Z$ e N7 T) ?& o
i. 队员多,森林损失小,但救援费用大;
3 d, |/ P' p# R# }( h8 y% @ ii. 队员少,森林损失大,但球员费用小。
" j3 w& ^/ ?* S0 o+ T- l: Z2 P综合考虑损失费和救援费,确定队员数量。
1 t( i. G, l5 [1 Ec) 问题分析: ^ @( _2 b. b" B2 S
i. 合理假设:火的蔓延方式等;) {) N* M: s# U, V6 C
ii. 模型建立了,列出总费用的函数模型;0 M* k# D' ^; I P, e4 b% K
iii. 利用数学软件进行模型求解;
( A* L: I1 r, v! C; ? iv. 进行解释。
2 m' l" Z3 W* h 与存储模型十分像,都是求解存在某种矛盾情况下的最优解。
& G H' R$ ~1 I1 O9 W# ~* S3. 最优价格2 R) I0 K/ \' d6 K, _/ j
a) 问题描述:根据产品成本和市场需求,在产销平衡条件下确定商品价格,使利润最大。
0 p& t% m$ v. G" F: Nb) 问题假设:产量等于销量:x;收入与销量成正比;销量依于价格p是减函数;等
% W; r4 s4 K, D- U0 Q& J' Ac) 建模与求解
( l3 N0 h% M. k/ E" C, X5 Gd) 如果进一步分析,可以少一些之前的假设,进行另外的一些分析建模。( W* `/ y' I+ H% h6 U
4. 消费者均衡:' Q9 p* V" ?! ?6 v
a) 问题描述:消费者对甲乙两种产品的偏爱程度用无差别的曲线族表示,问他如何分配一定数量的前,购买这两种商品,以达到最大的满意度?
" N1 U: o" m- ?# i一样是最优化的问题,不多做解释了,,,! V& i- m3 |; A- l8 C( T
b) 可以进行的优化:考虑如何推广到m(>2)种商品的情况!
9 n# o" v% U# V" V
0 r! ~1 o1 a! z5. 冰山运输, P3 D; g# A1 R! N3 q* g
a) 问题描述:某地区缺水,淡化海水的成本为每立方米0.1英镑;专家建议从9600千米远德南极用拖船运送冰山,取代淡化海水,试从经济的角度研究冰山运输的可行性。
- Y9 j& A3 i& w4 I" ob) 建模准备:加入进行运输,则需要的一系列的成本计算,最终建模求得成本表达式。. d: V5 O% J ?2 j5 O$ Z
c) 之后进行建模分析。# _3 O& f2 G0 K) }
d) 结论分析:只有当计算出的成本显著低于淡化海水的成文时,才考虑其可行性!
0 s2 s& y! c4 Q重点在于建模时,要充分考虑不可忽略的种种因素:如冰山融化、燃料、租凭费用等。, ^9 f7 D4 @$ ~/ R! a* ?
总结:0 T7 }; t8 t; E; Y, F0 o. z
1. 存储问题:存在某种实际矛盾,不知如何安排。需要寻找平衡最优点!& _1 V# {- l" T" V
2. 森林救火:与存储问题一样,都是解决某种存在矛盾。
9 X F7 x/ N: L. [! [3. 最优价格:一样,求解最优问题,重在前提假设要合理。; J; l* D. b6 k$ m+ t3 |2 u
4. 消费者均衡:考虑推广优化。, p5 T) F/ I& j- [9 R5 i
5. 冰山运输:考虑不可忽略的多种因素损失。6 r+ o# C* {2 [# h) f+ n6 e9 r
2 ^ l- v3 g) p3 S. b* \' W9 p/ w! R
7 G$ m4 `& w; u0 l9 L/ u$ D- G$ M6 H, Z
6 T6 U7 F x$ x% o9 `
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