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数学建模学习笔记(5个静态优化实例分析学习)
& u, _0 _" j% P3 W/ u0 X% K s静态优化模型(微分法建模,求导得目标函数最优解). ^! w& L% o" c! m, @& x
, y. P9 F* {8 R. h8 E% j# d
4 d. [1 n- [( P: Q$ y$ j' C; e
1 @& X5 A8 P; G/ K( D8 p9 V2 }5 L现实世界中普遍存在着优化问题;静态优化模型指求解问题的最优解;重点是如何根据目的确定恰当的目标函数;一般使用微分法。
# x, Z3 M1 O; H& n) D+ m1. 存储模型:存在某种矛盾,寻找平衡最优点!7 y+ n# p/ y* U \& a7 T0 z9 {; G
a) 问题描述:配件厂为装配生产若干中产品,轮换产品时因更换设备要付生产准备费,产量大于需求时因积压资金要付存储费,该场生产能力非常大,即所需数量可在很短时间内产出。, Z. O' L7 c& b8 P" K
b) 问题存在:今已知某产品的日需求量为100件,生产准备费5000元,存储费为每日每件1元。试安排该产品的生产计划,即多少天生产一次(生产周期)?每次产量多少,使总费用最少。
4 k+ c" U( u4 @3 q: F* Ac) 要求:不止回答问题,而且要建立生产周期、产量与需求量、准备飞、存储费之间的关系!
( p: [) p2 Z6 dd) 问题分析:# A6 \2 }: k9 z: w/ Y/ m9 c$ M
首先,对于我们来说,应该先找到问题所在,即造成当前无法做决定的原因是什么?0 D, g7 C5 L; e, j
这道题的原因为:5 B; | s) z/ X/ y+ Q' g" m9 e
周期短,产量小:存储费少,但准备费多。
; H$ `) E* Z; H: ^周期长,产量大:准备飞少,但存储费多。
2 h0 A' z. L; w/ q8 b9 xe) 分析求解:' A/ I. p6 U- a9 |5 E t0 d
i. 模型假设% H) r7 y8 ?' C2 w$ P6 z7 ?9 F
ii. 目标函数:每天费用的平均值最小
3 d$ W* l1 h, R& t3 q iii. 模型建立:离散问题连续化; M* a* n* B7 u- f2 S" q7 L U
iv. 模型求解:得出目标函数,求解当周期T为多少时,可以获得最优解,可以使用matlab等软件进行求解!
' o9 f: Y/ L2 q% A v. 模型分析:说出T的变化讲引起目标函数如何进行变化!
2 `( L2 a: `7 N( G/ l) Nf) 进一步建模:如允许缺货时又需要怎样进行建模?
6 q! ]6 _* E7 ~# c7 x( e2. 森林救火
( F& B2 l) V$ j8 ?9 x0 Ka) 问题描述:森林失火后,要确定派出消防队员的数量 `2 _% h) p1 B& V
b) 矛盾:2 S$ [6 x3 P# p
i. 队员多,森林损失小,但救援费用大;
* \; c8 ~" M2 |+ ] ii. 队员少,森林损失大,但球员费用小。
7 h o' O# v% r综合考虑损失费和救援费,确定队员数量。1 k1 }1 N9 s. ?# p
c) 问题分析:
9 d b/ C* _( a9 W i. 合理假设:火的蔓延方式等;6 s; r; a1 \. J' N4 \8 S
ii. 模型建立了,列出总费用的函数模型;
+ b |: N: X7 J. Q0 P0 H) a% \ iii. 利用数学软件进行模型求解;- g. _# z5 J3 z f3 p& c
iv. 进行解释。
4 M" }# n( {3 d/ @) n% n. t4 w1 m 与存储模型十分像,都是求解存在某种矛盾情况下的最优解。 y9 P9 G3 x. f: V8 r
3. 最优价格
7 H- _* w, C# S( H$ w: O/ h% s9 da) 问题描述:根据产品成本和市场需求,在产销平衡条件下确定商品价格,使利润最大。
% b8 t, M6 Y; g2 n5 o6 k% _# jb) 问题假设:产量等于销量:x;收入与销量成正比;销量依于价格p是减函数;等
7 _* j' V3 }4 c9 W6 R( K; D1 C: e- Dc) 建模与求解
8 \- K$ T& W1 D# o7 z @d) 如果进一步分析,可以少一些之前的假设,进行另外的一些分析建模。
) y X5 F5 r) W- b. D J. \' D. A2 j9 c7 K4. 消费者均衡:
9 O+ Y1 b& Y6 k' c% Qa) 问题描述:消费者对甲乙两种产品的偏爱程度用无差别的曲线族表示,问他如何分配一定数量的前,购买这两种商品,以达到最大的满意度?& E) l1 [! `% W0 k- i
一样是最优化的问题,不多做解释了,,,5 t, R4 g) j& o3 Z8 F6 P
b) 可以进行的优化:考虑如何推广到m(>2)种商品的情况!
$ M3 r7 P9 ]3 s ? 9 k. K7 b! F; O5 c& @
5. 冰山运输
2 ~4 z7 X# `* \% ja) 问题描述:某地区缺水,淡化海水的成本为每立方米0.1英镑;专家建议从9600千米远德南极用拖船运送冰山,取代淡化海水,试从经济的角度研究冰山运输的可行性。
. e1 f$ I9 s+ l2 M6 Z- E( @- Nb) 建模准备:加入进行运输,则需要的一系列的成本计算,最终建模求得成本表达式。 `: l! v! t3 e9 G/ u3 r0 c- Q
c) 之后进行建模分析。
6 V+ D& i* L- k6 vd) 结论分析:只有当计算出的成本显著低于淡化海水的成文时,才考虑其可行性!
[! g5 n5 |( x6 \1 ^重点在于建模时,要充分考虑不可忽略的种种因素:如冰山融化、燃料、租凭费用等。0 x. W" n" ]9 b& |7 b) R! c
总结:- e( {& V5 s3 h
1. 存储问题:存在某种实际矛盾,不知如何安排。需要寻找平衡最优点!" B1 B$ p R9 U- d' ]
2. 森林救火:与存储问题一样,都是解决某种存在矛盾。
8 x3 w- o- Z* w* \- ^% }, q( t8 r3. 最优价格:一样,求解最优问题,重在前提假设要合理。. G/ b/ @ u4 F7 R& A# X
4. 消费者均衡:考虑推广优化。) F! d; N1 a% w& I8 u t
5. 冰山运输:考虑不可忽略的多种因素损失。+ ^* ~6 K8 j: o6 r& O' I
$ m- s3 Z& f+ G9 L% _; [ Y7 k
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