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数学建模学习笔记(5个静态优化实例分析学习)
" k1 T5 h5 k- x3 H静态优化模型(微分法建模,求导得目标函数最优解)
4 v( _4 f8 {, C+ v2 Q: C8 H- @+ q: |
5 m' Z' E) _. g; P' s% m
( Y' |5 a6 @) c9 V: \现实世界中普遍存在着优化问题;静态优化模型指求解问题的最优解;重点是如何根据目的确定恰当的目标函数;一般使用微分法。" t7 V9 }5 `/ n" \7 R( @2 `* U
1. 存储模型:存在某种矛盾,寻找平衡最优点!
2 K- s1 B/ w* {/ b+ l3 d; ha) 问题描述:配件厂为装配生产若干中产品,轮换产品时因更换设备要付生产准备费,产量大于需求时因积压资金要付存储费,该场生产能力非常大,即所需数量可在很短时间内产出。
* E; [' N0 b6 J& Z7 G% l) {- ]b) 问题存在:今已知某产品的日需求量为100件,生产准备费5000元,存储费为每日每件1元。试安排该产品的生产计划,即多少天生产一次(生产周期)?每次产量多少,使总费用最少。/ e0 ~$ r1 e% B4 C, d; L$ [: {0 c
c) 要求:不止回答问题,而且要建立生产周期、产量与需求量、准备飞、存储费之间的关系!
& H5 I9 x L, E" Q H: _$ ed) 问题分析:
" G8 J7 l8 f9 m首先,对于我们来说,应该先找到问题所在,即造成当前无法做决定的原因是什么?
0 }$ k: q' B8 W. v: ~$ C1 O这道题的原因为:
, h; T0 W" ` q1 P' [3 G- R周期短,产量小:存储费少,但准备费多。
( e8 f0 ~4 o9 e1 x% H周期长,产量大:准备飞少,但存储费多。
" a/ Z0 [5 b E1 Fe) 分析求解:
- u1 k# F4 M9 D6 y7 a i. 模型假设
) M( i \7 [8 x8 [6 {# M, V* n ii. 目标函数:每天费用的平均值最小! B- [0 r& f3 \
iii. 模型建立:离散问题连续化
1 I5 Q' [" t" g1 e3 _. A iv. 模型求解:得出目标函数,求解当周期T为多少时,可以获得最优解,可以使用matlab等软件进行求解!& }% c) r9 Z( ^: s2 {
v. 模型分析:说出T的变化讲引起目标函数如何进行变化!' e. I! y8 W1 X3 K3 |: _- l
f) 进一步建模:如允许缺货时又需要怎样进行建模?, g3 \2 D! B7 Z; s, L% w2 R% S
2. 森林救火" N- v6 O* f8 d+ K _
a) 问题描述:森林失火后,要确定派出消防队员的数量4 ?0 f& u/ }- R5 G$ B
b) 矛盾:7 S+ _4 w- Z [- z
i. 队员多,森林损失小,但救援费用大;
/ \' _# B7 h8 R% k& a. s7 W; Y# x$ E ii. 队员少,森林损失大,但球员费用小。/ q7 c4 a# d& n$ q) z! }8 M+ B
综合考虑损失费和救援费,确定队员数量。" v7 y; y1 \3 j, b' ~. y6 ^4 n
c) 问题分析:$ q$ M5 G' @3 @$ t3 k
i. 合理假设:火的蔓延方式等;
; F6 T2 X& g) O5 H8 w4 r* | X ii. 模型建立了,列出总费用的函数模型;9 e1 H6 n0 {4 b, L( K! S2 J) t
iii. 利用数学软件进行模型求解;" z/ b. M( G' I$ O* z2 L
iv. 进行解释。
% X/ X P0 N0 G9 h; q 与存储模型十分像,都是求解存在某种矛盾情况下的最优解。
6 F, G. X5 X) \, F5 {' R" v1 h3. 最优价格+ x$ @. y& m2 k, z1 t3 @, H
a) 问题描述:根据产品成本和市场需求,在产销平衡条件下确定商品价格,使利润最大。0 ~, t# N8 L+ G: e/ X% b
b) 问题假设:产量等于销量:x;收入与销量成正比;销量依于价格p是减函数;等
& H. q" d& A1 a9 ^6 M. K0 J0 Ec) 建模与求解
! t; k- }& Q$ Z/ D- Yd) 如果进一步分析,可以少一些之前的假设,进行另外的一些分析建模。, P" ?, `7 k2 a5 l, T ~
4. 消费者均衡:
) E6 K8 _6 e ]& sa) 问题描述:消费者对甲乙两种产品的偏爱程度用无差别的曲线族表示,问他如何分配一定数量的前,购买这两种商品,以达到最大的满意度?
* t: E0 Q8 Q- ~. e, b) U, F1 |一样是最优化的问题,不多做解释了,,,
" t" m' W" x& O% g" r+ c# db) 可以进行的优化:考虑如何推广到m(>2)种商品的情况!8 ^0 _' k) {. p
: {9 d4 L7 y2 o0 G" \( r$ J. m' l: V @5. 冰山运输
1 N* W# a/ P3 P4 L, p) q5 za) 问题描述:某地区缺水,淡化海水的成本为每立方米0.1英镑;专家建议从9600千米远德南极用拖船运送冰山,取代淡化海水,试从经济的角度研究冰山运输的可行性。
- n9 q' h4 T, k1 Kb) 建模准备:加入进行运输,则需要的一系列的成本计算,最终建模求得成本表达式。
# i% O/ w, X9 s3 y4 xc) 之后进行建模分析。6 m" ?/ m! \0 y) S2 C
d) 结论分析:只有当计算出的成本显著低于淡化海水的成文时,才考虑其可行性!
, t) z: ?( O! [: g' z重点在于建模时,要充分考虑不可忽略的种种因素:如冰山融化、燃料、租凭费用等。
3 F u7 B: H5 q& S3 S% H! p8 e) n总结:- q; b( o7 _; l) Q! y
1. 存储问题:存在某种实际矛盾,不知如何安排。需要寻找平衡最优点!
0 B/ ~8 O; X: s5 b0 S$ d& Q2. 森林救火:与存储问题一样,都是解决某种存在矛盾。0 g9 f6 o* t, S+ Q3 k
3. 最优价格:一样,求解最优问题,重在前提假设要合理。5 S1 ^1 Y( T' y, f+ R
4. 消费者均衡:考虑推广优化。
; s& e. I! x) L- f% Y2 e5. 冰山运输:考虑不可忽略的多种因素损失。" X$ {3 ?: z+ q
! @1 j/ m2 j4 D# Q$ p3 t
+ e. l. ~( R+ f. j( O
$ C% K+ X- }1 [* ~, F( V3 A( t: f* \# y) ?
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