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数学建模学习笔记(5个静态优化实例分析学习)* C; P3 w- @7 w8 Q4 |/ ]
静态优化模型(微分法建模,求导得目标函数最优解)
, W* ^& j. v8 d2 _- E" R6 N0 _0 ^8 l; T( T7 ~( ~ S
4 } U/ p8 n7 U$ M9 E9 Q
3 B2 W( z% Y4 r! j现实世界中普遍存在着优化问题;静态优化模型指求解问题的最优解;重点是如何根据目的确定恰当的目标函数;一般使用微分法。5 Y% L" D8 g/ S
1. 存储模型:存在某种矛盾,寻找平衡最优点!
+ N* x+ r; u/ \# ^; da) 问题描述:配件厂为装配生产若干中产品,轮换产品时因更换设备要付生产准备费,产量大于需求时因积压资金要付存储费,该场生产能力非常大,即所需数量可在很短时间内产出。
$ E3 N3 J4 A$ @% l8 [b) 问题存在:今已知某产品的日需求量为100件,生产准备费5000元,存储费为每日每件1元。试安排该产品的生产计划,即多少天生产一次(生产周期)?每次产量多少,使总费用最少。& P/ I& o8 b' G: }4 O: G
c) 要求:不止回答问题,而且要建立生产周期、产量与需求量、准备飞、存储费之间的关系!
3 ]3 V. P/ m- dd) 问题分析:
/ Y$ X# L# `1 A# k首先,对于我们来说,应该先找到问题所在,即造成当前无法做决定的原因是什么?
8 e {; t' F! F; F$ D4 [6 R$ i这道题的原因为:
0 S3 P: U: f( v: [周期短,产量小:存储费少,但准备费多。8 W. q) p& T+ F
周期长,产量大:准备飞少,但存储费多。- ?5 p' }3 K* ]* S
e) 分析求解:
* U" ~3 s! S; {7 e% y; `( p i. 模型假设- ~# A! b* g% H% K3 o- L' c
ii. 目标函数:每天费用的平均值最小4 }) N; x% n: n$ z. n& s3 \
iii. 模型建立:离散问题连续化
' K9 G: c1 F1 |# @/ v# p, r, b iv. 模型求解:得出目标函数,求解当周期T为多少时,可以获得最优解,可以使用matlab等软件进行求解!
7 q. c. p; Q9 y# v: L v. 模型分析:说出T的变化讲引起目标函数如何进行变化!; Y: b2 \( f' x: ~, l4 V
f) 进一步建模:如允许缺货时又需要怎样进行建模?
5 R4 h$ b4 _& X7 d+ e! O2. 森林救火
1 \5 q* W0 {% f& j2 i8 i( ga) 问题描述:森林失火后,要确定派出消防队员的数量
7 j8 M. l6 k6 e8 K' P& g" H* r8 Jb) 矛盾:
+ _9 v, A& v. D i. 队员多,森林损失小,但救援费用大;% j8 n/ j' X8 U) R( W% Q: V
ii. 队员少,森林损失大,但球员费用小。
# C# m/ n" ]! O' u综合考虑损失费和救援费,确定队员数量。2 e0 P* i! G& v. T$ q# D( g
c) 问题分析:* W2 d3 n" Z; u/ Z, i: P( W% ]
i. 合理假设:火的蔓延方式等;
- S& L( g$ P! J: J7 [2 Z' y ii. 模型建立了,列出总费用的函数模型;
$ C% I4 o- e; s( x: O3 h+ b iii. 利用数学软件进行模型求解;
$ ]( v1 p& A1 ~3 I9 z iv. 进行解释。
B' K0 [! f2 R4 ? 与存储模型十分像,都是求解存在某种矛盾情况下的最优解。3 I d. |7 R- w
3. 最优价格! R7 i2 ?9 l! S t/ k1 `# M* @6 A
a) 问题描述:根据产品成本和市场需求,在产销平衡条件下确定商品价格,使利润最大。1 W' p6 B; |, G% ^$ x! x
b) 问题假设:产量等于销量:x;收入与销量成正比;销量依于价格p是减函数;等$ M, x% z3 t5 ]
c) 建模与求解, v" G( m# Z8 q
d) 如果进一步分析,可以少一些之前的假设,进行另外的一些分析建模。 B: O" ~8 I7 A# d- f
4. 消费者均衡:
; n) s/ M1 V: Q+ r7 {! l. L! wa) 问题描述:消费者对甲乙两种产品的偏爱程度用无差别的曲线族表示,问他如何分配一定数量的前,购买这两种商品,以达到最大的满意度?* k- p4 z- ~; ~4 k
一样是最优化的问题,不多做解释了,,,
- _, q0 ?) N9 G5 nb) 可以进行的优化:考虑如何推广到m(>2)种商品的情况!2 F* H! m+ K d0 T: x: s- e
; _& K/ H" m' G4 B- G, J
5. 冰山运输
4 n; O3 f$ q2 n- Ma) 问题描述:某地区缺水,淡化海水的成本为每立方米0.1英镑;专家建议从9600千米远德南极用拖船运送冰山,取代淡化海水,试从经济的角度研究冰山运输的可行性。
6 B, z8 q4 }# ?& V9 w/ t' Z- mb) 建模准备:加入进行运输,则需要的一系列的成本计算,最终建模求得成本表达式。& K1 H1 X+ r% G( H( l1 h. a u
c) 之后进行建模分析。5 \: V4 [2 p7 ]4 g# {
d) 结论分析:只有当计算出的成本显著低于淡化海水的成文时,才考虑其可行性!
3 Q% |' F# x2 D; H$ \重点在于建模时,要充分考虑不可忽略的种种因素:如冰山融化、燃料、租凭费用等。
! k3 j- t, E) B2 T8 M& I总结:& X0 A$ U h. u m1 q( s" F/ g
1. 存储问题:存在某种实际矛盾,不知如何安排。需要寻找平衡最优点!) m* T @ t E4 [: a9 E8 g" ]
2. 森林救火:与存储问题一样,都是解决某种存在矛盾。( _) f$ o7 p+ a
3. 最优价格:一样,求解最优问题,重在前提假设要合理。4 N: o0 u) n8 q
4. 消费者均衡:考虑推广优化。) n, r3 q) X" s7 e
5. 冰山运输:考虑不可忽略的多种因素损失。; q7 _) o# ?% \0 U* O! y
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( F! c5 i/ C" K0 v7 e) v* r
' O. I' x" e, F. s; t. c' o3 n* |5 ^: o# n( K
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