数学建模学习笔记（5个静态优化实例分析学习）

佛自业障

数学建模学习笔记（5个静态优化实例分析学习）
& u, _0 _" j% P3 W/ u0 X% K  s静态优化模型（微分法建模，求导得目标函数最优解）


4 d. [1 n- [( P: Q$ y$ j' C; e      
1 @& X5 A8 P; G/ K( D8 p9 V2 }5 L现实世界中普遍存在着优化问题；静态优化模型指求解问题的最优解；重点是如何根据目的确定恰当的目标函数；一般使用微分法。
# x, Z3 M1 O; H& n) D+ m1.    存储模型：存在某种矛盾，寻找平衡最优点！
a)      问题描述：配件厂为装配生产若干中产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时因积压资金要付存储费，该场生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
b)     问题存在：今已知某产品的日需求量为100件，生产准备费5000元，存储费为每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期）？每次产量多少，使总费用最少。
4 k+ c" U( u4 @3 q: F* Ac)      要求：不止回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备飞、存储费之间的关系！
( p: [) p2 Z6 dd)     问题分析：
首先，对于我们来说，应该先找到问题所在，即造成当前无法做决定的原因是什么？
这道题的原因为：
周期短，产量小：存储费少，但准备费多。
; H$ `) E* Z; H: ^周期长，产量大：准备飞少，但存储费多。
2 h0 A' z. L; w/ q8 b9 xe)      分析求解：
                     i.           模型假设
                   ii.           目标函数：每天费用的平均值最小
3 d$ W* l1 h, R& t3 q                  iii.           模型建立：离散问题连续化
                  iv.           模型求解：得出目标函数，求解当周期T为多少时，可以获得最优解，可以使用matlab等软件进行求解！
' o9 f: Y/ L2 q% A                   v.           模型分析：说出T的变化讲引起目标函数如何进行变化！
2 `( L2 a: `7 N( G/ l) Nf)       进一步建模：如允许缺货时又需要怎样进行建模？
6 q! ]6 _* E7 ~# c7 x( e2.    森林救火
( F& B2 l) V$ j8 ?9 x0 Ka)      问题描述：森林失火后，要确定派出消防队员的数量
b)     矛盾：
                     i.           队员多，森林损失小，但救援费用大；
* \; c8 ~" M2 |+ ]                   ii.           队员少，森林损失大，但球员费用小。
7 h  o' O# v% r综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。
c)      问题分析：
9 d  b/ C* _( a9 W                     i.           合理假设：火的蔓延方式等；
                   ii.           模型建立了，列出总费用的函数模型；
+ b  |: N: X7 J. Q0 P0 H) a% \                  iii.           利用数学软件进行模型求解；
                  iv.           进行解释。
4 M" }# n( {3 d/ @) n% n. t4 w1 m 与存储模型十分像，都是求解存在某种矛盾情况下的最优解。
3.    最优价格
7 H- _* w, C# S( H$ w: O/ h% s9 da)      问题描述：根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大。
% b8 t, M6 Y; g2 n5 o6 k% _# jb)     问题假设：产量等于销量：x；收入与销量成正比；销量依于价格p是减函数；等
7 _* j' V3 }4 c9 W6 R( K; D1 C: e- Dc)      建模与求解
8 \- K$ T& W1 D# o7 z  @d)     如果进一步分析，可以少一些之前的假设，进行另外的一些分析建模。
) y  X5 F5 r) W- b. D  J. \' D. A2 j9 c7 K4.    消费者均衡：
9 O+ Y1 b& Y6 k' c% Qa)      问题描述：消费者对甲乙两种产品的偏爱程度用无差别的曲线族表示，问他如何分配一定数量的前，购买这两种商品，以达到最大的满意度？
一样是最优化的问题，不多做解释了，，，
b)     可以进行的优化：考虑如何推广到m（>2）种商品的情况！
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5.    冰山运输
2 ~4 z7 X# `* \% ja)      问题描述：某地区缺水，淡化海水的成本为每立方米0.1英镑；专家建议从9600千米远德南极用拖船运送冰山，取代淡化海水，试从经济的角度研究冰山运输的可行性。
. e1 f$ I9 s+ l2 M6 Z- E( @- Nb)     建模准备：加入进行运输，则需要的一系列的成本计算，最终建模求得成本表达式。
c)      之后进行建模分析。
6 V+ D& i* L- k6 vd)     结论分析：只有当计算出的成本显著低于淡化海水的成文时，才考虑其可行性！
  [! g5 n5 |( x6 \1 ^重点在于建模时，要充分考虑不可忽略的种种因素：如冰山融化、燃料、租凭费用等。
总结：
1.    存储问题：存在某种实际矛盾，不知如何安排。需要寻找平衡最优点！
2.    森林救火：与存储问题一样，都是解决某种存在矛盾。
8 x3 w- o- Z* w* \- ^% }, q( t8 r3.    最优价格：一样，求解最优问题，重在前提假设要合理。
4.    消费者均衡：考虑推广优化。
5.    冰山运输：考虑不可忽略的多种因素损失。

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