经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
0 Q+ x6 k& \) B+ }# M
: H* J# N) ]2 z, \4 O其中 f(1) = f(2) = 1 (对)

% a* U# h/ B  d" i4 C
$ J8 ^3 V9 @/ D) q0 t' \
% o1 v. m- v5 x/ z. M3 w; f从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：

第n新出生的兔子 f(newN)
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)

& q# u4 R& @" H) R, P( d= f(newN) + f(n-1)
- u4 }9 W1 ~. E! k% P9 @; p5 r9 u
, q- a3 d4 W; x4 \
3 v9 l: o  B' d; a# Q# L
6 u1 t% r6 h* r0 W$ R2 w: L8 P8 ~在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
/ y- F' I! d) `
而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
7 F& E" g# K8 |8 @
则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2
+ d+ v3 r; h4 K, C" K
化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)
$ F) G2 j# u8 Q
2 L1 l5 Z& o4 T/ f3 u& ]即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)
' Q! E! G! P9 P$ F9 k! B


所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
. k, H5 p: K2 F& c& K6 |
f(n) = 1 (n=1,2)

f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)

接着编程为递归函数即可解决问题。



4 l. ~! X) K$ O