经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
% C3 B" v- T6 [! d) r! X1 o' c7 C解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
8 `6 l. R1 H) [
其中 f(1) = f(2) = 1 (对)


7 `# X8 a% k) |3 I; }8 a  B# v
2 e  e4 O9 T- n4 k8 B, k8 E: M从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：

6 b: o' U) v- i3 h; p  O3 ?7 ^第n新出生的兔子 f(newN)
# w7 E+ A$ n  K第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
# i, B, f) ?) _# A7 c即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
: J- a# z/ q  x3 ~( S
7 H( I4 r7 F4 M= f(newN) + f(n-1)

$ R' Y* N9 S4 d/ m% r1 E

在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
* F- j/ d" T+ W
  S% n; V) h% n2 ]而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2

则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2
1 U9 q3 \0 L9 M& m
9 ^$ ]  {. z: Y' T4 X: {  B$ ]0 I化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)

即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)
' D4 D) C+ B& k% n- a6 Z9 |, W. n% Q) U

; `. I' T; P+ J' O5 G6 ~
所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
5 W7 _9 A9 p, @
f(n) = 1 (n=1,2)

f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)
) q5 S! Q% Z0 |' M+ s$ |
接着编程为递归函数即可解决问题。
3 s- O1 A- L: n! g$ L+ U

9 F& H7 d) B0 S7 @! p
4 y: O" S2 A4 u6 X9 j7 |
) B  _2 D7 C" X2 O& \3 f7 d