数学建模

佛自业障

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
/ z% [# Y: C3 U; {+ M4 z几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
1 s1 q$ B3 r" {" d" y9 I3. 按模型的应用领域分：
% g* F0 a8 e* w+ e人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
5 C0 |7 O) Z3 O6 p4 C( i- ?" G4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
0 ~/ Y- j# |$ L/ n2 ]# u5. 按对模型结构的了解程度分： ：
# h: w& Q8 A) P7 Q9 D有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
( b7 v! e; h+ n8 m- y, Y国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
- H& W& D+ X8 V数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
  I6 C2 }; y% r9 H# Z2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
  ]2 D% {: ]4 e  }比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
; D3 M3 N' f  _; u& V2 x. c' \通常使用 Matlab 作为工具
* c  r$ R# u& t( q' x* }" ]5 K9 P$ O! N3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
+ P/ z1 {  S7 E7 o% b: a% k( _: E法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
: {6 k- L* S& R$ s2 u% g4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
3 c6 m$ N+ i. M. J. x% \论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
: p) G8 E9 F6 B4 q) a' j5 `5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
& U. b2 z0 Q4 I# }& J/ w% Q2 P这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
$ q4 x' ~1 l, W. c8 J% L当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
/ z9 \0 s# F/ a* }/ n3 ?0 U8 P一些高级语言作为编程工具
& f$ u: b+ R  r3 B8 、一些连续离散化方法
6 u( S( }0 n' D% C1 D很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
# O6 @, p4 W8 \! X- P& J- b10 、图象处理算法
! _8 P' a; t; q% ?; S/ V赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
5 s( B0 ]& q; l3 a的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
" Z% y2 X7 N! ?  u6 j1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
" @- X* o5 y% y个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
& v- [! q% t% W$ x②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
0 d8 c( Z2 E4 U+ c7 j其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
( i! m+ D, c. q8 F, m+ |1 t9 E4 w( C求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
5 o: x2 h8 a* \  ?  l4 h5 H& _* y②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
6 V, ^2 w$ m. {; Y2 b: _' V4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
! K- R  H- ]/ ~一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
5 r) Y3 u1 u1 g% f4 @概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
# [; u/ |( R2 m* v% F（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
5 @% p, k3 o- H, g4 ^数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
8 @* o) N3 F1 k) k5 R3 m1 \预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
! ]  ^; U: u: c3 b# E) L7 W7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
& O- _. q- x  y6 G6 ^* ]: _8 i办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
; z8 F" A5 S. Q$ g' g; _8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
# ?) @1 h2 A5 z2 Q9 o. p$ y7 R$ p9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
! F1 E9 X% k9 {拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
+ q8 G5 R2 R. i, K" a7 M+ c在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
& \' `0 Z2 ?5 k8 |评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
4 d8 z4 [, T: Y1 }. E11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
8 K* R0 p+ t  T7 M. g5 P# ]优化问题，对各省发展状况进行评判
/ ], N) d% R4 J' p- T13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
" k& v- s" e1 M" U: U# A秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
# g3 P8 ^2 T- u- h5 y法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
1 D1 X; Z9 V/ Z6 M% c/ {14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
# D3 {7 t5 @- U3 R  T1 ~" V& T其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
3 i1 n, `( p( f; i  u) ?7 @& z评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
; V: k5 A, k# c# z& h; L# x1 l2 R15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
- _4 b$ o  j7 Q$ |( ?8 d/ `$ f可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
1 s/ O5 O- L3 H0 Q, a来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
+ X# e% E- T9 Y9 x7 I. C( r该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
8 A7 z1 m  r1 r6 T协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
1 v# G! [) P2 M: E% G素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
8 W* r& m  A% K8 [( K4 R此外还有灵敏度分析，稳定性分析
9 b3 B: n4 V/ S17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
/ R/ d, f3 ?( R( n: g' w模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
: S+ {' C; ~# v, f. h3 E& U18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
# c# a, r0 L* f+ g- A非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
$ F  L9 v" X* q* h# v智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
7 u7 V9 y) }- ~: n算法、神经网络、粒子群等
6 @, ~( i/ \; S. m: W: u  k其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
( I% S, H! V+ @9 t8 w19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
4 S3 b" k5 E/ ~6 y' y即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
5 M3 N( o# a  _8 [, P, }7 u, y3 z般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
9 p$ |- u# n4 ^21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
! Y$ W( x3 [$ P8 i: I$ c支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
! ]) L% m& v8 u# P, H5 v) B射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
6 X+ o$ t* T3 r$ S8 G2 z) O- B1、聚类分析、
2、因子分析
- Q; |  D  d/ Q  |0 \" J3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
7 I( s0 M1 }6 Y4、判别分析
0 |2 P$ a% W" p5、典型相关分析
6、对应分析
, Q7 }9 _6 T- o) v/ T7、多维标度法（一般）
6 I5 O# R" t  X7 [) E; E8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
5 _! `5 p/ V7 a' ]主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
- e9 h5 S# |% G4 `  c$ X* Q5、其他聚类
& d# _! J# F9 i1 G- p3 Z' Z& Y0 w6、贝叶斯判别（较好）
% h+ Y. r  U$ Y" R7、费舍尔判别（较好）
- F6 h, }  x6 T9 E8、模糊识别
# C% i% A* e! ?/ [# E4 ~25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
- m, Q+ _+ H  R8 y) E* o0 m1 t4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
, P7 y: V/ S+ M  q+ E/ l5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
! ~0 `* ?6 {( A6 p/ Q一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
. o. I5 K' ?9 d$ y" z* S6 J6、标准化回归分析
6 |. _( R) I9 v1 N若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
+ T7 S$ Z6 u& h0 l7 O计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
3 C) {3 `7 m5 q26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
. |6 X0 g7 K3 F1 `% V+ g- n( A率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
% l  H$ t) l/ r% r- Y  M' f
; i5 _1 }8 T' g
* w, e5 j5 }5 L  a8 n3 p. @9 l