数学建模

佛自业障

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
& N  I; i( E3 }) |  p几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
1 ^* h2 L: y& k; I) {/ ?" B型、马氏链模型等。
# H+ q1 j2 p' D+ Z2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
- V  s+ C  S5 s; Q" d# z2 @& A- X人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
9 }  J  b! R/ }: S/ \. v4. 按建模的目的分： ：
# J3 {5 `! ]  b0 s, L3 T+ z# T预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
/ q* g$ g! c! M8 t" L0 q6 m往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
, z8 P$ O, L$ O+ x% z$ r比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
) b% t4 j5 {% b6. 按比赛命题方向分：
8 E1 c& a* C. L( V7 q* j国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
0 n+ n6 E' e# U0 s4 z运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
% w0 |! N( r- D/ J数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
; i* ]. f, P/ _7 g9 O6 V通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
# R# x! r8 }$ x建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
! }+ i8 ?& Y1 G( |论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
8 n5 v, v% R% p6 a# g- H5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
1 W% m/ m; P9 S/ w& `. [6 S2 K这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
2 c8 E! M: Q( G0 \& `# X5 p7 、网格算法和穷举法
3 y# a8 n3 r0 r. p( R, J当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
) h/ z) a- {2 t一些高级语言作为编程工具
' ^: y$ O  ]: E$ I9 D8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
+ p3 ~7 ?! X9 f$ P3 }7 E/ `  H3 j如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
6 |3 U$ v! p6 V3 t2 N; k% r10 、图象处理算法
0 t7 B& S4 [" D3 z" c& V/ X赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
- p. y8 [7 l3 W' t) m的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
2 S/ _7 K1 V) U3 n, h: i* ~行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
3 S: M- b1 ?; z; S8 `: \7 d, m个条件可用：
- [' B  V4 O9 u( R) x4 @( k- v①数据样本点个数 6 个以上
, u; f* S- I' ?& n. I3 F6 o  j②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
+ w5 S+ {7 |6 x% K; H( r2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
  ?+ |. J- B; k. X微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
7 c8 C* G  G- ?. _6 `; {( j3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
# \9 S2 Y- S0 ~" b: v化； 样本点的个数有要求：
, p" B! n4 \$ y/ Y, [7 A2 S①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
- l+ G- Y* R# P& M# o+ g②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
" d2 [  F$ g3 |" {互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
- E9 p4 W9 S# [; x" B9 O3 W; f概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
, m) j& o$ m/ f2 a# K! q2 u" m. d. D（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
$ N1 J( N7 _; x) h3 J' H# {数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
' ~' g/ v  o) J8 o预测波动数据的函数。
2 [" `+ _' O% n4 ?& K# G7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
7 Y* R/ _  z# H% J3 _/ w适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
# O4 r9 H6 _5 C6 K0 M9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
5 G2 x, p" ~* _* s$ ]4 w) n! O拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
1 M  V+ ]: ?" l+ E在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
. @% N2 b$ A# [" g: Z6 O逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
" H2 q( x! ^( X  f+ {! ^12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
7 |& X1 h2 k& u! I13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
: r: ~- t$ \# z7 Y9 z9 @秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
3 ~& U! g& R# B% h9 L) Z解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
6 N' l6 P5 |  A; h' R; b的最差值。
( }4 @! a5 r/ F4 n15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
& i- H) B7 X' ^% b( K3 W可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
% B, t0 a1 E" I4 l3 t- D来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
' Q7 d& L7 i2 m16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
6 w+ z3 p3 L' d% m6 p' |1 `+ @+ V方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
! n. M! j7 G; h$ y; ~: S+ c* a量有无影响，差异量的多少
6 y, j1 g$ C% u) O! w+ N协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
4 ?& b) {. A2 P' K/ Z0 N8 d此外还有灵敏度分析，稳定性分析
) [% k0 R$ u: T17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
( i0 U8 g: ]6 D4 i2 W' Z" s' b优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
6 H- S/ u# Z3 b非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
* a2 G& V' Q5 u6 D+ @5 y7 [智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
( N0 g. A9 W1 l算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
3 u" I' |6 s' i0 L- F0 I9 Q+ n离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
- P( m; K* ~4 g  Q; [) @即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
8 C+ b+ s3 I9 W8 b, c- C, G21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
' `9 y% [- B) C! y% ^: H: F: W7 }% [23、 、 多元分析
% z4 m0 o! K6 q. Y1、聚类分析、
5 m! g+ B" `  R7 a; o2、因子分析
% U# U: \- V& a5 e- P3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
. s$ `! [: ?; X& n各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
& k. K+ }6 t& f8 W4 x; M; g从而达到降维的目的。
7 i# Z9 t- {3 {* i' i  U4、判别分析
1 C- h! a& l+ l3 F# s3 `, @* I5 m5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
/ _, ~7 |1 u* l7 s! j" C# T24 、分类与判别
6 w1 s" C4 t: ^- E6 h) v主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
; ~; T8 K7 F. {  Q& B2 t% s4、密度聚类
" O! ^. s- `# f5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
4 v; @) J& j  M) A( r5 s% B8、模糊识别
" |# j0 y# U2 |; V25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
! |( H! m3 `8 d$ a8 P! E2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
9 q, J  `  Y1 O2 ]3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
' u9 |, S; E# I# F( O+ S5、典型相关分析
7 L# g7 ~) p% Q7 q( |% |" t4 u（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
% l' n" @! g6 A* h! @一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
- _: Y' l6 F6 d+ E/ e  G% ~7、生存分析（事件史分析）（较好）
8 t+ F  d# ?. Q0 X数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
! I8 _5 y# l9 d0 _; }计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
7 `! E1 ?! o8 K5 {9、优势分析
! t: B$ Z1 h4 j, Q26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
3 N) J0 m6 V* X7 I- w率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
: S1 q& z! Q, c: z$ h) A( c4 `
) e0 f! C& D$ s& a6 J

1 G! b- X8 z) o8 N+ v