数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
: Q8 n) L! W# C8 j" Q' `1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）
1 }) m& T1 S; G  j
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
6 M* h! a2 I. NPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法
. ?" m! p- ~$ P- Q8 h0 I" M
; w( a/ L# N; n6 v1 q* U7 QD维空间中，有m个粒子；
; G8 g7 F; U) p! t8 a粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
6 e$ j  k0 U( R; `* l粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
2 }  M# x0 s; k9 d群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


" F: n+ s* \! }, e二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
2 \# j  n0 ^4 L热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

7 K+ q* l/ Y$ |/ l" G& l三、遗传算法

  T' m- ^7 V9 ~6 @8 q产生一个初始种群
2 p! Y! V$ T6 L+ s; ?根据问题的目标函数构造适值函数
+ c9 |  m1 x: V) r) i4 F& Y8 e根据适应值的好坏不断选择和繁殖
1 a/ S6 G6 C$ A' ~/ O9 ]若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
8 M! r% D( L4 n, a. }+ S: i
- Q/ N- A  f& u0 z8 G1 r) X四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
# e# H; u4 V& x& b适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
/ e# O2 `) z7 k  W! f/ ~遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
6 [8 w9 z4 B" ~& D: k
. o8 d4 b+ {) v) J1 S5 W3 q9 z# ?& c参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
3 S( B$ j0 W7 Q, u5 n3 ^% w
四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

9 D4 ~9 V! ^$ M( r五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

2 j: i+ `& Z, q! L又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
0 ^2 B' `( |8 W8 o& |1 ]. ?2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
, c& b, a5 c8 X! q1 }! g. d; t3 j(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
2 D  b5 }4 _, V5 c6 G从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
( }8 ?; X2 w- S4 ~/ v(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
" ?! {9 u; z" M$ y2 J8 M9 m(5)渴望水平函数
, m# K$ L5 Q3 f5 w0 r& Y3 WA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
, w, G9 a# ^* H3 C. {, e5 j
  i# M  }& k3 D* k) b8 _1 j3 ^六、蚁群算法（AS）
6 a& [; z; v0 O4 B, W
, D# ]# s: H+ c& }  Y
( D( d) w7 t3 O参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
' i' f5 s8 [6 d1 |3 q---------------------
作者：_朝闻道_
来源：CSDN
. g4 a% X( k1 J. f. V
0 y1 K- @) p; Z" I
' h/ N& M3 N# V8 Z, Z8 I
# M8 t5 `0 Z2 p* `0 S! c. G
5 T/ N& B2 s  }/ [, @