数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）
7 ~" ?6 [' \* _" J. r+ L
  i, m/ A! X% S算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
& o3 ~) T) T* {
" e4 n1 s! M# s3 Q8 a+ d  B8 H基本PSO算法
) _* h' Y1 {1 n" @3 T7 V* ]
D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
) I( G( M( r) ~- ], G6 T粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
! n1 O( A. o( X; M- M& D( B( ?  w粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
& K+ X$ O  F6 [  v  w" F/ X  e群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

& Y1 B* ?6 d% g; m( M; U
二、模拟退火算法（SA）
* p* U0 G: u( m* v' d; f4 ]
模拟退火过程：
- s: w4 L6 X( b2 K& o设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
4 l. \( Q% D. [2 @8 k  ~0 [降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法

. f/ z" d' f3 O% x产生一个初始种群
, a, k2 |7 _! o8 l/ o* s根据问题的目标函数构造适值函数
% q) ]- f8 O9 D! p  s/ ?根据适应值的好坏不断选择和繁殖
  ]/ X9 \2 v  i' [若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
2 n  t( P2 w" G* u6 q0 }
9 w) G+ w; F( \! G: K四、算法步骤
6 t, j3 ~9 S" C6 G. F6 z% I3 f初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
% b/ U3 u1 B, l9 t9 F适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
2 q. U4 F8 i) O( Z( v( x遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
/ u7 W! g$ Z, p* n3 q
参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
$ G: i, C  X9 f( z) p
四、神经网络算法
" b/ i* U. [- D6 }
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
0 @8 k, _, ?. y  J3 L, H+ t1 }* u8 e
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
/ y" \  K. l; S  p; u优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
( L) W% O& ~/ w" c! |! k8 w2 b缺点：
# L* a+ U7 X6 F- H" B$ L1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
* I# Y) _4 \3 e6 B. T2 p+ J3 r8 W  Ga、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
+ n- g8 P( c9 ?8 x0 b& d7 x/ P(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
& L$ n* u1 w% n& s) _  R# o+ v0 [移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
4 y7 j! N0 e2 I2 P4 _禁忌表的作用：防止搜索出现循环
7 ]: V4 F7 d" m) W9 L(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

; ?& s7 J1 ^2 C% J( O8 D六、蚁群算法（AS）
% }3 W0 x2 \' ~' k7 H7 w* C

+ O7 _  x2 W( c1 R! k0 i! _! z参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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! E2 l5 x4 e, T" ?. ?/ j$ A作者：_朝闻道_
来源：CSDN
& C! Q1 ~# R7 S8 n2 w


% F  f1 ^% Q" q4 c) a( \. o
. q0 f; C' H8 I! |' |/ c8 N. }6 h