数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
8 w7 i/ f# A8 z+ Q
, u4 V; N; ]7 P* W6 ^一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
3 r9 v8 i! V: {: ^6 q- e( nPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
- x) c& l6 Q7 a7 J, V粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
" N) D4 c9 Z4 N# M& q9 P, h群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
, x6 N8 I% P$ H* K
7 _2 T0 X8 p& v" o
二、模拟退火算法（SA）
0 h) b  Z  P" c9 ]9 Z5 }
1 S( k+ @- Q" w模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
  S8 X; W. A& A1 w5 O降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

9 B, F: ~- G& B! f  F" M9 G3 ]三、遗传算法

产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
2 Y" T" L9 E. M2 _, T$ _& _若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
1 @1 y* M6 K8 p! ~
四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
: U/ W* l8 g0 ^' [% b! \遗传运算，交叉和变异
( u: k/ G0 [6 ~- p. j. W选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
$ Q  Z4 h% e: @7 f! Y( Y. w
( b% h/ R2 `. b3 Q! N- V四、神经网络算法
: U2 \% v8 [  g* B  N8 k
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

3 W9 C0 I/ A6 P' x) a9 I9 A五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
0 U4 J5 ~" l; ~' o7 c% X- B
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
1 M8 R' k7 F& S5 h( d$ C! D2、局部开发能力强，收敛速度很快。
: t3 w0 n# p# }6 R1 F5 A缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
% ]4 D- Q4 ~6 t- b; d" k可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
9 v: J- A, C, F9 n- b5 C(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
! }  E5 S, j' _+ {1 O) e从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
7 u$ o2 T/ S" b(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
4 a3 c9 ]' N8 y9 s- @& r5 Y  ~0 Y
六、蚁群算法（AS）
4 f' @( t: D# o
& h; }) D! j, ]* b
2 R& S1 k5 K% y参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
! a0 n/ ]7 u5 R  f2 f9 d: O# V---------------------
- }% b* ~$ x. z/ H! h+ B) ]# v作者：_朝闻道_
来源：CSDN
& T/ _) k1 t) M4 z: ~# Y/ ^# E0 Q



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