数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
& m9 A2 }- }, h数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

& O: F$ M% e1 q9 [& Q& V8 p一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
% B5 h3 y2 @4 `6 a% OPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
0 {' `+ [/ v3 i7 W
基本PSO算法
1 h; V' {. p+ |( ?0 v; U& [# i
6 t8 d3 Z; I( E. q. VD维空间中，有m个粒子；
; K2 o1 n7 p: X7 Z6 X粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
  p6 N+ d0 W: x粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
  p3 [+ @/ j0 X0 d/ `群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

3 f2 Z  O. h* g& i' d+ Z8 H& E
# o5 |' Q2 m) M+ v; T/ |8 d1 A二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
: Y3 k* b6 _5 B) t# V8 I设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
; V3 R7 A- g% d* c: E2 i( @热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
0 e" w+ N9 _* N降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
& E  `5 _4 r# q9 \! G- c: Z. `
三、遗传算法
: M) D7 L* ~: x# U5 z
3 R; p  t& J; S, e; H4 V3 R产生一个初始种群
' k  R2 X. v6 ?: ~& V1 v根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
9 l* s3 K) L$ c- w! _$ F& K2 |若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

* U% S; j/ k7 q1 R. K: ^4 Z四、算法步骤
- f: I& c$ ~2 H9 b初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
7 D  S$ N3 M# u; Y遗传运算，交叉和变异
8 ~  d3 ~# V( z6 `2 @( Z2 V选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
/ o0 ^# ?8 k0 k6 W4 O2 H; N停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法
! c. D# [9 |, `9 O5 |/ S8 u
) z) ?# Q8 Q/ M! ^; R和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

& g9 A) d$ H1 P/ U五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

6 u# Y! b% N  W' S, _' q又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
1 i% {! |1 b( Q优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2 e4 W2 `7 b1 W, W2 y2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
4 D  e; c0 T" H2 o! o1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
0 x( a! e+ q% f* a/ o  i/ e2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

' X2 L* x5 W7 E: `0 E! f& h+ J, X2 F将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
! m) d- T& c4 x. q+ OA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
; _) z% ~0 A1 T5 R- V
六、蚁群算法（AS）

# v7 y& i) a2 I
参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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, P7 x  Q& ]0 Q$ f( X  y2 G: N6 U作者：_朝闻道_
来源：CSDN
" j9 Y# u% R* e# U
# f5 `/ b' u, S9 W# |+ W  {


) Y; g1 Z  A. a! Q( r: o' Q3 y