数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
7 m+ ]/ Q# T5 L; [6 e% a' a4 x数学建模问题总共分为四类：
# W4 ?( t0 }7 X- @1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
2 w3 G# ~. I" Z+ k4 l/ f
% z* ~! ?' Y( ^7 Z2 b0 c! ?3 p. ]一、粒子群算法（PSO）
) ?: a9 a" }; y. F7 I8 [1 \) q1 J
8 Z  f. Z0 p/ c* U, |$ s算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
$ L. k6 S3 ~( z2 O+ ^粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
4 @8 G6 H6 w8 B# v; `. U, R6 Z( I

二、模拟退火算法（SA）

3 h, K9 W% V0 o+ ]模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
: R2 R7 t# H3 B5 i, o" a$ s$ d热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
# k  w, a3 k8 `降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法
) G  _* j. \+ p! }* W9 o$ E
产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
! T% n1 ^  s/ {% `; E+ W
) |2 \. Z! ]. R$ Q四、算法步骤
* o0 S9 r  O1 G5 a1 Q& a1 |. Y初始种群
+ |  S4 @6 t5 k, F- \1 D; e编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
% X: U' N# A" D, c
参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
' x- B: A9 o/ g
四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
5 V8 u2 f6 }& f, |8 x# h
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
, d; O& e# }8 h5 }7 y1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
4 d. v  P9 F0 f9 k7 L& m2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
. O; J0 W% D) _% n& @: C, }+ i
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
4 o2 [$ U, t, o; j, {a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
1 E2 @9 @+ l2 J1 x2 }' s- g- S  C2 ^$ C移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
* i* h6 Y5 w2 X% h# r" l  ^" w/ O从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
$ D4 i, U5 e8 w( d; x% u# m- g禁忌表的作用：防止搜索出现循环
1 C+ Y/ e# t7 s/ F' s3 c, t(5)渴望水平函数
' m" s1 D- _. s7 Q( w2 [# iA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
2 a) {6 q4 f) {: M1 A" H6 O- G
% F, m% K$ \# k2 D$ h六、蚁群算法（AS）
' a* M$ j' \/ V; O) U
& B  y5 S, j  Q" Y. D# w0 h. I
; N3 S1 c& H1 f8 V参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
9 Z2 W2 B* A) c% R7 N% g, F---------------------
作者：_朝闻道_
7 [" v+ ^% K8 J, V: i  M来源：CSDN



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4 N1 a% E$ d# n/ n* O9 d* @# @3 ^. Z