数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
& |* u% t+ n7 i% L4 d* {数学建模问题总共分为四类：
" e9 L2 ?' l( i! Q2 M1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

5 e( D6 c6 z# o1 {一、粒子群算法（PSO）
& S/ H2 H) z! f7 D5 G
$ m- l9 {5 Y2 ^3 t' y& r& h算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
/ E4 x1 h6 v; H8 K0 APSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法

( }& E$ W, h" t1 H4 O) KD维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
) Z7 m( B5 \/ O# `- U粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
1 [  y2 b  T9 N群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

* L' R# U$ j/ ?$ i6 j9 G
二、模拟退火算法（SA）

- ?% f; K/ M9 Q& s- T2 N模拟退火过程：
5 @8 Q3 Y) }) }+ ]设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
1 e+ {2 l+ d/ m! G降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

+ [1 d8 _  R. P5 f* |三、遗传算法

5 H/ ]3 E/ u: b5 t产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
7 i0 [# y- o1 h" u  _若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

. e( [' n- u2 C  B& a四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
  I+ ^1 |, c% G适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

( P1 `0 F* B- R  l, K. v+ d! K4 ~( `! j四、神经网络算法

; ^% e1 ?. B3 j% X  X- |& m, u% v和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

7 q- j9 c* S/ ]! {7 v五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

8 Q) h7 v2 S! |) ~0 K又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
' l+ D' h2 C1 Y/ ~( z3 h优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
8 ]( w1 R% f: X/ G2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1 T" J5 Q0 e  L. E, u1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
3 \- E3 {( B& a: A, V" M+ {1 P
4 e4 k' X6 {- K' q. }将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
# u) ~' [, c( {/ Vb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
+ m# N$ U0 I2 B' W可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
$ w, t" Z/ ^- g* g, q9 M0 i移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
; j  Q) `7 I  R& L3 W4 ?2 ?, Y(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

  q' P) A0 K+ s, k2 v8 i8 J六、蚁群算法（AS）

- C& x5 ?5 f) S, m5 l
/ m& u# {1 u/ {3 G% J& P2 y2 y参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
; T: L3 \6 i3 L( }! w% K---------------------
8 |6 [7 s! l4 x3 L; A8 K作者：_朝闻道_
来源：CSDN
4 `% ?' ]+ y0 D& e# U. H5 h
+ G) Q) J. I5 f/ C


" a9 I! Y9 c# U  @( b+ z