2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导
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之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程

1 e) }4 F* Z* S9 U6 o# [, |* O今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了

' A; h  ]7 T5 G; a! Z/ }, t! [

- a8 S+ M9 M- k8 q" F5 Y6 f  G# D询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了
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经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。
. l9 N1 i3 E& s0 f  V
但是！
, l, \( e+ D1 X
/ P5 T; _! n9 g+ [0 @7 l数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。
8 v9 \) g8 y: k3 e# V4 p; Z
% L% c0 X* v  k+ d8 x) ^. C再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

, K' E9 @; Z& B) ]5 y6 w5 _2 T这里统一对大家的问题做一个回答：

本题适用差分解法吗？

( u+ |; |  T: K, z( G! L3 y1 T求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。
1 m" I! W: i; c6 L. U
差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。

; n/ n8 o$ a6 Q% Y8 }本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设
/ @9 `6 T  j5 d6 A$ _% {- y
0 ~; t* H6 {- ~' M- r8 j* [; _本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。

$ \( i' c" E" Z' v3 L" z既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。
3 R" l$ ?1 R; ]5 [4 a! g* m7 ?/ u+ K4 d+ |
0 l0 A) B& T! ?当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。
, O* O: x2 `9 h5 J. ]: p, B
5 y5 w6 _# ~3 E4 V是否适用于多层壁热传导？

评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

5 I: Y& j# i$ g$ e2 a, |9 d其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~

答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。

思路1：
2 P% J& R5 q. F1 Y# t' Z1 H3 z
你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。
. w0 c4 z# l% h6 p5 D! B- j
因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。

. }) V9 l; p' C5 q6 @这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。

思路2：
% h7 h( T( c" s3 k7 h( ?& |
: W4 B1 ?. h- e* S% k7 B& b& X) o+ Z我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

  Q' K+ e$ V+ {& v, `, ~9 X这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。
4 a& g* a" N, g0 P6 \
) v, T6 ^2 B+ h0 s/ \这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。
( z4 U" w0 H& C
关于边界条件

构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。
& ]1 J5 N% G  |$ V' O) x: m. o
$ e( r! A2 T, V而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。

2 q. Y$ U: R  ~6 Z4 [之前文章中给出的算例包含的边界条件是：
* o. B' _0 W3 w( f; @: y
3 S) m: O. ]  C* e8 x( Fu(x,0)

& K3 m$ T" i9 V! |u(0,t) 和 u(1,t)
7 o8 M. K+ D* x/ I3 w+ T
在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有

首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个

! }5 ?) c6 o# c( M但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。

比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
' R8 `% G( k/ w5 n" ]- _
这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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