2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导
1 N; u4 J- V9 e5 T
之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程
0 T' G- `& |$ d* H" f* d* H
今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了

, `0 P: B! |8 @' Y3 L7 k

- B( T: d, [0 j询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了

经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。

但是！
6 |- u8 y" D! |/ S  M3 Y
数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。
0 r" Q% D9 b! e5 F: r
再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

( z0 Y$ L$ B) a$ v+ b5 w, ^+ ?这里统一对大家的问题做一个回答：
* t- v$ }, l$ N8 O* L" G4 A; ]
7 U* I" F/ Y4 J本题适用差分解法吗？
) Q" ^8 x) E2 f' P# f% v; F, J
求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。
+ U" y! G  \& M' {" ^
差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

5 G  `2 W7 ~8 C0 w8 q* m有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。

本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设
; O: B5 A% G: D! |! W
本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。

8 D& J0 w; q  l# R既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。
( G' S6 Z) f9 C- @
; ~( q( I+ \1 g: H当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。
: B( y/ U2 |: h7 R) h/ _& e
是否适用于多层壁热传导？

- |+ O2 Y" r' f1 |评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~

  y- X2 z1 _, N: Q2 _6 X答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。
& g9 i+ o) H8 |9 }
思路1：
; x) D9 {- E- L! D* L4 N7 A
你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。
2 x# T4 y1 w  J
因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。

4 x9 O9 {  Q2 B0 m9 @这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。

思路2：
" e% f4 a2 ]' O8 \7 c, X
) H9 u# N( `& u- J& y3 C我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。
# Q, Q: i# T3 F' q" c  _0 P% j
这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。
6 U$ {! U" F. C$ t
& f; r* C: @3 d( O! B$ \, B这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。
& H/ s/ a+ f. g( S0 H0 c
关于边界条件

/ g" C* F0 `. l6 ~构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。
' g9 @! G0 i0 ?
而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。
9 x1 l0 b% ^3 y  d
" h9 h) @8 r4 i! W' a6 z* [( _) f之前文章中给出的算例包含的边界条件是：
# v7 q- E. P1 U8 K# q
u(x,0)

4 X, u1 F  s& F  h6 su(0,t) 和 u(1,t)

6 a& I% L) `" S) ]在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有

3 H; M/ x  i. y8 c/ l8 K8 z+ \9 f: J. Y首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个
9 L0 b- x0 }) I* [6 ~
但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。

4 A* @4 x) l& W* A) N比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt

% O% R$ D$ }4 ~' X# J$ }: z- C- }这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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