2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导
: ?$ E3 K+ P  Z( b$ T
( i# B% H1 e5 \$ n7 m4 \5 S5 U6 N之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程
' l3 V' P. _. \: r
& K, ]% r; h* ]/ j! V今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了
) r6 ^0 _- e. X7 y; [


2 q) T* }" t# i+ O) D  E( C& Q询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了

经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。
. b3 Z! V( C1 @: Q" r. D
但是！

- J- \& g, ^: z% _数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。

% S+ X% a+ S/ e8 R  r再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

7 d# ~7 O( F, L% ?6 i. D" h6 g0 y这里统一对大家的问题做一个回答：

% g* Z" T) R9 X. e6 z$ b# X( a, P% G( M本题适用差分解法吗？

" [. M( `( |* O2 H4 e求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。

0 Q# d9 j% m- F7 {差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。

本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设
& y1 R; n2 }% h% f
7 W" L' h1 B( }  w, Z5 W: z本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。
, b- j& Z" Y" |& f3 ^+ M* G
既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。

9 F3 t0 |) g7 R$ f$ h# a当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

4 G" w3 z6 U+ h7 d  Q+ ^. B9 O是否适用于多层壁热传导？

评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

' s: `0 i! h9 i* n$ Y) W% o$ W+ A9 X* V其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~

( B: @" U" p! X: N& D4 t答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。

思路1：

7 O! `5 R* `2 H. P8 X( Y你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。

+ V$ q; H2 t6 f6 S( B9 s因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。
3 v6 f0 u- [4 ?9 E
这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。
3 Q& i3 q7 x: T; m
思路2：
, q' `1 H6 W- z( O) u% T
我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。
: Q; a( G$ ~0 i4 y# c0 u5 c+ Z
; s& i# t" G' x4 c1 V) c这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。
5 \8 G( n) i9 ^/ ?6 J; a
这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。

关于边界条件

构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。
: N' f; T' O& g: w0 A" h4 u
而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。

" ?5 M# k5 [/ z  \; W# _" s/ V之前文章中给出的算例包含的边界条件是：

2 v3 w4 G& e+ P; j5 ?0 o$ Yu(x,0)
, `" U8 ?6 ?' n; I' F! X: n# x; m2 S
/ h0 f( y. U8 L; _& Mu(0,t) 和 u(1,t)

在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有

首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个

. ?) u* ~# g' j, ?; z但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。

比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
- x+ T  m7 W. u9 g8 V0 q
这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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+ i* M( c! F/ p5 f5 q7 W/ |

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