2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导
' _" c$ u7 Z& m  [7 f/ g
之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程

今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了


7 B7 h$ b7 Z( i
) U! I6 I, V  \6 i( K询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了

经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。

但是！
5 ^; Q$ u! O" C) c" o
4 F: A& H0 Y- `0 j# z( g3 O4 T  F数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。
2 o3 J/ j* x, h. m8 t6 V
再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

  |8 v+ V: f$ u# e$ C8 G/ n这里统一对大家的问题做一个回答：
$ J5 A6 Y8 i' m6 v3 w$ u2 r
本题适用差分解法吗？
: J) V- [, B1 g# S
求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。
" {5 A: C/ P" o$ U! {" L7 Q
" a, n, i) x2 u0 I. N差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

5 q8 F( _6 J/ w! ^% h有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。
9 Q2 f9 t, z( r" e8 j2 x# ?9 `# r3 r
% F. M( C: ?" j; X( x本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设

本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。

既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。

当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

是否适用于多层壁热传导？
/ i& o4 C# M( T7 O6 f& E
评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~

答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。
7 h5 k2 [/ _' B' k9 U7 {5 @5 B
( n, B9 y) C% d2 y7 p& D& E  ?! q思路1：

. P+ F/ z( a! X你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。

因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。

这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。

思路2：

9 E! n, Q# a3 @" _我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。
1 `( _5 K! R# h+ ~7 u6 X. I
7 M# U1 K+ o1 c9 E7 L7 B- W这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。

这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。
3 p' S, e7 \. h9 D! R$ w( E
关于边界条件
3 M! s: N, j2 d9 \6 w4 {, k* C5 ~. H
构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。

而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。

- R2 s% s( ]7 @1 t; f4 ]2 r4 n之前文章中给出的算例包含的边界条件是：
0 x5 H$ s  @8 X) G) }! ]4 a
u(x,0)
  q5 `2 t. m$ {! {% z+ t& [4 q
u(0,t) 和 u(1,t)
$ K+ h7 y$ J2 R: T9 W6 K+ x
2 {7 o) {, R% {* b6 C8 d在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有
" b! c. W4 H4 T9 g) N+ E5 t3 `
$ ]$ |# Y4 t5 K* p首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个

但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。
6 K$ i2 k( ^$ E- e# S
$ K4 h9 u2 R6 b" a/ v  c比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
% R8 A$ ~4 d* M$ \
2 e$ `4 s( X% G2 G这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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