2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导

& O1 k- y! D  v# {: ^8 o之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程

今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了
+ a( U6 }8 h4 ~) N: _  c3 s& p$ U
* t# ]1 @. P* B3 U0 ~, i# J

询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了
. N' }/ r9 r6 M  G9 `; {! P( g. {6 U
经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。

) h1 j5 j  Q: I- a0 \但是！
: T. U- |. ~9 B) p+ G
& o$ _; ~/ D6 l7 x3 o9 Q数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。
8 s- M( Y; |3 e3 X  [! _" B/ U
再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

! k3 I7 @6 Q( _) G* Q, M这里统一对大家的问题做一个回答：

$ u3 B3 f; G- P1 f* b/ F$ W+ B本题适用差分解法吗？

7 [) o2 e9 e$ V) t8 i& a求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。

0 b; j2 `0 j% W2 z" }$ B, f$ m0 }差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。
/ S6 w4 ^+ M: T. B" H
, K3 z8 G; z8 `; |2 X; L6 o有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。

本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设

# L9 T% a% D4 `1 J& y" d) z5 z5 U9 l本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。
9 h0 Z( @7 x0 D
% {/ ~% {* Z; x, o既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。
* U6 M% M  K- Q4 J; r
- Q2 y2 V- Z9 m' _+ e5 }3 A% S当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。
. t/ p1 ~% y4 G! i$ i, j
是否适用于多层壁热传导？
) P) a7 h- m8 ~( @# n+ k
评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

* O2 ^7 B8 `$ K. r, Q  c5 A8 p: }- K其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~
: V5 s' R& @9 q8 v) i4 v+ N
/ @# f2 M0 _. Y答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。

% s" A) ]) e7 l' L思路1：
( }: @9 K4 Y" j
, @7 S1 w* ^9 J4 Q- w) X你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。
9 m. O( H/ x  n/ W+ t4 E9 Q
因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。

* T+ P8 o6 Y: K4 t% B这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。
: x: ~+ T7 _$ ?+ ?* _
思路2：
$ G8 D# L+ T$ i2 t8 _' D
$ o$ _+ s& H" R/ m, C6 a, q我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

9 B" A3 Q2 h$ L' p这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。
2 Q6 ?6 ~2 x, _
这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。
4 ?: @- d; @: V
: F6 |1 c4 m( P3 e: J) o. {关于边界条件
9 G* A6 G+ A% f
构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。
, F8 [4 e" u& V; p* y- u& O
而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。

之前文章中给出的算例包含的边界条件是：

) V4 F, l8 |4 C' s: A6 Xu(x,0)

' Q# r! E4 s! W- m7 eu(0,t) 和 u(1,t)
' }" h) u  n# t- J$ s
+ j' Q3 x" {% ?. ]4 o在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有
- g* }9 c7 c4 B2 c  C
首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个
  S. \% O( J4 t. h4 v
/ R8 }0 u$ h6 H  k  v8 x% v# n但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。

比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
+ ~7 A. }- U! }2 }
这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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, n( O* R) R% z* Q, d$ y! K
: k% D. ~- `' R/ L" m
4 N2 O! F* {' `5 p! _