2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导

( o* X; T; i# A* q' ]% Z之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程

- r( j- g9 R* x5 v) z( j9 w今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了
/ o8 x7 p5 U( l9 a


: d0 Z7 P" T1 A' @' H询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了
0 r* n- s6 ?# |( W: M0 q0 Y
经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。

! }2 h1 J1 Y9 x5 ]) K# R4 l5 ?但是！

数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。
8 z, H5 u  H+ T1 u  m9 |
再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

) d6 T! \7 m# t% Y, h) E5 \0 U3 f7 Z这里统一对大家的问题做一个回答：

. a, M! {) ~/ G& m4 m+ z, I本题适用差分解法吗？
( j3 O+ O! Y6 {' }/ Y; w; S
求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。

差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。
% s1 P+ L, s9 ^" v8 E) y
' M+ x7 x; j; R& ~# Y7 C有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。
# Q' z/ r  a% d8 S& ?4 v/ U3 C1 Q3 g
本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设
5 r- r0 Y1 ^# J1 T4 P& L
本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。

! u4 f4 U) {& X7 _4 ~3 U$ z既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。
1 V' r0 g2 v2 G0 n7 H* o- n- s- k
当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。
! P4 j+ Q8 t# P. K
是否适用于多层壁热传导？
6 f0 ?+ r8 P% L% A$ h3 R
评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~
6 z- t/ y! G& r7 \. ]
答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。
  n3 F# k; C/ R5 O) z* u
思路1：

你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。

因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。
7 h: W+ K+ R/ ]  ~
( n" R6 {+ `! F+ }8 n这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。

* c: e  l% V. J" m8 B: ^7 B思路2：
" v( f/ S/ K$ t) U
我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。
; c% p  w" \( L2 y
0 f+ F7 t1 q0 c- a. p3 ?这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。

这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。

% T: }. e: x( b% I4 P& E关于边界条件

构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。
- n1 y) i4 U8 `9 s) T0 B- H
而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。
8 ?, `, m; `% X
; h& D$ N2 W4 [. a  P( ?/ N5 H之前文章中给出的算例包含的边界条件是：
' A( m) y8 A# ~4 C
$ o# T# Z, V9 Q# @7 ^' w, Pu(x,0)
8 s* S7 J) A  x6 K9 A
7 `/ |$ @! e: zu(0,t) 和 u(1,t)

在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有

首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个

5 M& A* N( t" Q$ B5 ?; k" V但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。

比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
* Q! H! b) E+ f( Y% h$ _8 y3 H
这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
$ r* k* X4 j& c! M/ s---------------------



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