2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导
' C/ w5 V1 e/ j( H7 C
之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程

今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了
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# I2 o: f0 P9 x7 V( l3 |
询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了

经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。
7 A( L4 ]  W& F8 ^$ z% H8 b/ C
/ x. [- p' ^8 k6 |; \. a/ m/ o# N但是！
9 x4 K- N, T  ^6 }" R8 g: C
数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。

再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

这里统一对大家的问题做一个回答：
) O, p, ]- ~8 k8 P0 ^
本题适用差分解法吗？

  V# T3 W8 [) k0 C求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。

差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。

本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设

本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。
9 c. n& ?' X% _7 [/ [7 q
既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。
. p8 V% p; X9 N  w" g/ b4 h% ~
当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

6 e: G" T5 \9 T0 L/ ]是否适用于多层壁热传导？

评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？
; H( q' r. r5 _1 ~
5 j! z3 v" K! J* Y( r9 J其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~
- B! J8 M! K4 c. `3 o# |
7 X" w' l& I6 B! D' p  s) j( X答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。

" G+ E6 A. D% i思路1：
; x; Y8 I* I; p# G9 W0 t- C3 D; J
你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。

因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。

$ M/ J  D% i/ W, T这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。
/ o% v: I6 ^- u* V$ z% _
思路2：
  ?, b8 G# p/ S/ y- w
$ P7 K" V8 {: N我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

2 B6 C  V6 a4 B) [$ S0 C: b/ S  M& d这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。

这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。

关于边界条件

构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。
: j7 X4 W6 u. `" w: [6 J& S7 O
而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。

之前文章中给出的算例包含的边界条件是：

: f. d# y* n. Pu(x,0)
; ]$ J$ P2 v8 P7 x' }
u(0,t) 和 u(1,t)

在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有
- F! m* g7 O. `5 q" M% z0 |+ F" X
首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个

但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。

比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
, G  p% h1 N* b) t* k
这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
) [1 S2 \4 n7 J! C---------------------


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