2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导

/ \+ w/ w: |, {+ y$ w* Z% t) A% N之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程
- s' s. K% J' n
8 R( N/ B9 f3 _$ t% [今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了
: Y3 P6 }% j0 d4 C
% I7 \; t  L4 A

询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了

9 D) d6 |& D6 K- m, l  K经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。

0 x) h7 C8 M% t3 o. U- ?5 ^但是！
5 b& t( Z2 |! k% M7 [# a; F
: \. q: h5 p( p8 v数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。

7 h  t" |) n! }再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

这里统一对大家的问题做一个回答：

7 V2 ]( L+ I& O. F  n' k6 Y/ l/ r本题适用差分解法吗？
8 Z, q; ?* d6 {2 r, f8 a
求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。
* S9 X* P4 C& ~( v) Z, k
差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

. z/ E& Z/ y* g7 ^& z3 K  Y有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。
- d* t9 `  D% j
本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设
- p1 I' Q3 p3 r3 Q
/ a! S, F/ n9 U: ]本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。
6 B8 N! h: T3 |- S1 C8 t
( a1 v: T4 C1 m# ^, T; N( D既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。

当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

是否适用于多层壁热传导？
0 t6 O( }8 s  o7 r
评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？
% u2 X+ s$ n  I. q  q6 \( q
- R! {$ N  c5 n9 C5 g其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~

' d0 u  f0 r) `  l" g( v. o) y+ q, s答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。

) A+ V; C$ @( Q) A0 c思路1：
4 t0 A' o5 ^5 V; B0 k
你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。

因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。

这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。
$ d# f) y& Y, C* |: f+ Z
思路2：
- [) y7 Q9 a0 b' b2 x
( }, [1 A2 T# t, F& s我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。
3 L! F) J$ K' Q9 h8 P; {
2 U9 e: X; r$ h9 t& u4 N7 H这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。

3 n( f; s# q- j: C' G( t关于边界条件
' V" b" N" I% A
5 N0 O% @; E* i4 h构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。
' {# A+ M) ]: w$ \$ T
而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。
) e, u2 H1 F  p6 f
! W: }* C. g9 N之前文章中给出的算例包含的边界条件是：
+ O/ l$ R8 y) z- X5 q& F8 ^+ G( L
# `. z( e. O) i3 }$ Z9 hu(x,0)

u(0,t) 和 u(1,t)
# J# y! b8 ^2 u+ b% e; R
; Q! r; t/ R- M! a# C1 `; ~在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有
# `" O( s( i, q3 t4 F0 G) b+ B8 @
5 ]' O( Z' m2 Q1 {) z首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个

但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。
9 {1 ]4 L6 |2 Z3 u8 H  w' t! l
/ ^6 X& i- g9 J! g$ j( s比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
9 k$ Q* n7 K! s
1 h) `8 M' A& D/ G2 _! e% C( b这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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