数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
6 v! j' g5 Y! X# t( S/ }/ z. S优化算法
) l9 n6 Y- I  {$ S$ B
" c  h0 A' I8 t数学建模问题总共分为四类：
; O- _' T6 o& ~% {1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
$ `' e: y9 b: q) m; t
6 V+ H6 O& J8 L9 C, d  ]6 m, `- q一、粒子群算法（PSO）
  B; Y2 K; B# G, y2 z' a
: B$ M) Y" a! h2 X* b算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
) e; P7 d( G) M8 RPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
! c! A6 C  {6 q( K- U5 t- }! G
基本PSO算法
/ Y1 ?! ~5 J- f+ R: C, O) n
D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


8 ^, ~$ G) r4 H$ u二、模拟退火算法（SA）

1 r/ _; s0 l" B7 R模拟退火过程：
& M0 Q$ C7 {7 `( p2 Q设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
4 Y/ [6 W8 S* l, V热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
; p& \" L/ H+ _7 r. G5 a+ G降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
4 ?7 P) g  @1 Y5 ^
" @) e+ B$ f  k$ X" \三、遗传算法

产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
5 U+ ?! d$ ]% ~5 `$ ~! C: a根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

. b, d* h* V% ~四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
7 B  V8 p8 Z4 m/ J% S7 p9 U适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
1 j) }. T6 V  k7 [0 s
1 S) n4 \8 x  G! r参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
0 I* B  v/ X9 F
2 J7 `4 v2 O+ l# [四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
0 {7 N, ?( W; m) J
8 F& ^- ^$ E( d6 A) C1 s( a五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
8 U% E6 `% W+ q# X0 s% w7 L
7 v% A$ o4 Y" @% ^/ |又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
2 r6 _# p8 `" E% Y: X; \  I6 A' [+ ~# w优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
  F# i2 x9 p* b) O/ j1 ?# }1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
! e8 [' ]  C! ^7 o9 ]) o, Z2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
# x% G$ g' D) |! B% E* D
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
$ q# ~6 u- @3 w; \9 zb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
; X: B. m/ _! s( g+ M(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
* m2 s9 v  _" w5 l) S5 j: F(5)渴望水平函数
0 B% Q7 f- K7 N$ a1 R  u0 f# l( NA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）
( Q: w/ `* E$ c! s2 h4 t* P/ X5 K
5 ~- h" N: G# E& e
7 D8 Y  W7 r/ @4 [( b; J; I

$ b/ u+ F$ w+ @: U3 |0 |
3 w- q' |: O2 k5 @3 `- F
3 U, u- Z$ \8 A7 Q/ E/ p1 C
, a4 J; j) `  F6 {