数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
4 h4 g6 _) L9 m  U) u7 ^优化算法
( c. t; |: z* T5 D0 W8 u
6 S. K- f- y4 M6 m数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）
& N0 x; m& }+ h( V
! l7 ?. R$ c- D4 `& j9 }算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
# o8 O6 M) a7 l8 Y3 zPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法
  c9 F& c( o1 `* i. J0 _
D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
! c$ D( q- m. i+ [( u粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
+ R0 w1 |! Y9 Z  [3 O7 w  |5 F: @群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


二、模拟退火算法（SA）
0 Q9 B8 N2 v6 v# p
模拟退火过程：
3 p# Z! p9 o, c7 Y1 q4 x设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
9 d- r: C' V$ H6 T" T热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
; P2 q- R8 r& o8 O0 t; h
三、遗传算法
; L# w! O0 k& `3 h: M# m# S1 j* L
; g; r0 N) J2 T, G0 Z9 O& g/ c产生一个初始种群
$ Y, \5 ~; l* x, ]  O& W根据问题的目标函数构造适值函数
2 |! C9 z3 L2 B% l7 f; q根据适应值的好坏不断选择和繁殖
. V1 y( M# L1 C% i% @7 i- b若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
: O0 L: j! L; @. g5 x& w
四、算法步骤
初始种群
7 |7 k  o7 s& t& n, b编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
5 E. F4 `+ v2 T) k6 D选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

1 Y8 @% p- @& n: ^) G: M7 f四、神经网络算法

# L" l/ ~. \7 n1 R4 V和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
& Y! s# t/ d8 _1 o& U8 P
1 E* \1 {& a% c1 I; s/ z, j五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
8 j5 L6 ?% e+ }: c
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
1 a: V+ [9 t; i3 P优点：
9 u/ w5 T) X% O+ Q* w; D# G! G3 B- ~3 {1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
$ f4 ?$ F7 M; \+ Q- e& i  G6 m  w3 G2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
& T1 H# N# G2 ]4 H% m2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

6 W8 l& q6 o. e1 b8 W将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
, ^( j( t  V4 |, R: d! H4 {- k# eb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
2 U- p. E% ]4 @可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
/ i. ?# }+ V8 f. t6 G' H(3)移动邻域
: W) [$ f: G  L8 _* W2 v( k移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
1 y- K& z; A+ e' ^. d; R4 W禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
4 u3 \- ~+ h9 x. b, e  y+ KA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
4 @) t. y" N0 F. C0 c. D; y
* b" V- g% J* R2 G六、蚁群算法（AS）
& I; y4 Q" o' F3 c# n) K; c4 X. V8 L$ a

, \$ @& N: R, T0 d  ^/ u1 U* I
6 }0 f, W' ^7 l( b2 G2 V- M! s
+ H. p4 u: y) s! O

  J. K0 m: a, [3 T


. t6 y  z# M5 r/ I( Q3 \8 z

: k% K% p" k. }5 u. D, s