数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
& d0 E4 i  b9 k* I. L* F% z+ u优化算法

数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

* ]) H4 l$ x) `1 }5 w  U! n一、粒子群算法（PSO）
* X8 k% P, W8 F3 M8 i" B) A( s" D
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
) F8 b  ~% X% s1 j/ Z1 C+ CPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
1 {0 z) D0 y! D* [" i$ y$ B7 B. K& G- |
基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
  U# N0 x' `) d2 O% m+ V粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
. G% l* m$ Z1 c# e8 H* p! f6 ^粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
$ h1 Y7 R$ o3 `/ ?$ D群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


二、模拟退火算法（SA）
( y3 F% |/ T1 C( |+ ~/ @
* w7 a) U4 m- c& F  Z- h; x模拟退火过程：
2 j, s; _4 z! U9 r9 o# E) a% i1 y设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

" }% M, ?/ Q7 F% f三、遗传算法

5 C3 s8 g) q' v4 y产生一个初始种群
3 i: X8 N  ]8 @1 Y6 D' L+ ?. q6 a& E根据问题的目标函数构造适值函数
. a& [8 \* j8 U: \* h- y8 B' a( T根据适应值的好坏不断选择和繁殖
! L. E! P' _% x! q若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

四、算法步骤
  L& H* F. T. m. r初始种群
$ }, P' ]0 Y! R# `. |编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
" h+ [& S% R; S2 g, @: B停止准则

5 ~: f6 P0 m/ _# K/ g. O* M, M: G5 d参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
5 L' J! \0 I, b: q1 R
. r: i& P1 ?& T& c% a2 d2 \' R& i四、神经网络算法
1 b& L  B3 r9 a+ m2 ?1 r' z
$ d+ ^' K" J3 [0 k, Z9 A3 s: U; I和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

5 i; K: t' W" H) U! _2 [又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
+ i7 H  ^3 B6 t& g: O' i7 U; V优点：
) k* m: ~9 x: S$ a) e1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
% Q; o$ F; |' }; s/ B3 N- i& `
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
/ p! P% h4 Q! |& Oa、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
" _1 M( ~4 @% p; d/ l3 [b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
1 l- l7 B5 t7 T# {/ C, U2 O% I(2)初始解的获取
  m* p* N$ L, c9 s可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
# M1 _" a2 P) K: @. @(3)移动邻域
/ w# }4 o3 d/ P, e, D移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
8 S& e; A9 L" b0 F9 R6 n从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
+ _+ }4 X+ \7 v! t/ p" i3 t1 v" n  t(4)禁忌表
: M/ y2 _' x2 _, Z禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
  N2 _# w/ s1 o
六、蚁群算法（AS）



/ }- j( D3 `# j" r
; h9 M1 y" `) B4 k6 ~2 O; @6 F
, s0 e: ^8 P! k( I2 Q: Z


- m9 }- W1 n; i: N3 s: u* Y9 C8 \# h  `

# T2 h/ R5 {- r+ w9 E0 |