数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
优化算法
3 }! @# ?3 H6 T* A) p; A7 s/ e
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
7 M# _2 ^8 x# j' A# ^
% x9 t9 p0 |/ n! }一、粒子群算法（PSO）
5 V8 T4 F. p5 B7 P; B+ d
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
! x, ?& ^5 }% o0 l$ n- ]: {8 OPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

& ~6 ]: r5 t$ Z! ?* u+ m基本PSO算法
+ ~! h# u8 Z0 m# w' J% S) f
D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
5 n; k$ R+ k. W# a, K# O* O$ k粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
4 ~* P" D  m# z6 p4 p6 R- n$ }& p: E9 s群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
  _: n; J* T5 m0 f" A& X: W2 Z
! I" D0 O  s, D
) d* r) v; w5 }# e8 y二、模拟退火算法（SA）

  K2 T5 u- R/ V: [模拟退火过程：
- L* K: M: s, n设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
) h. W' S9 y3 e热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
, _( Q2 Q9 a6 m5 F降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
1 P1 i4 s/ H5 m; q+ G. B
三、遗传算法

2 I' X+ u) a$ D2 k2 l/ P产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
" |2 t* {+ C: d根据适应值的好坏不断选择和繁殖
+ b4 y$ @# V: _5 ?0 P6 a% A若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
0 v0 l+ C' N' E2 ~+ k9 I. R- ?% a" r
四、算法步骤
/ z- z4 Z* i, u9 `/ `5 t: ?2 c: {初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
( c5 _8 _# U! H0 k& t& q遗传运算，交叉和变异
; U& }3 S4 y0 A$ a0 s, H8 V% g* A/ k选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法

* L1 E0 P1 p! `+ W. `和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
* P/ l- z$ E& w7 \
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
0 R+ _1 J% U: S* n缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
) Q- h% }  y) v: L2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
$ U' [& P' F% Sa、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
7 s+ d: f5 _% p3 N9 n可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
, n4 M( a+ G: V3 O移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
% D$ _3 p' J1 T从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
" W! Q8 K; O3 x* T. ](5)渴望水平函数
/ f: I6 m3 v' t! B# ^4 B& xA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

/ z* S  p/ o, i+ \六、蚁群算法（AS）
4 _& j' [. V3 A. y9 n/ m# {


* G. _1 ^2 n5 O2 t$ U& {
% i% i/ @5 {7 t# U1 y" V. o! @

3 }9 W" }$ \+ y) \' b4 Z4 h& q
, W( }8 d% o0 J8 m( j


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