数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
优化算法
# B/ q, W, ]% g& `6 K
4 u- M7 P1 ~" e0 U$ H9 T  a数学建模问题总共分为四类：
4 b7 D% U* j  s, k' d; l" P3 H1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
8 c/ R/ z# A/ a0 c5 a
一、粒子群算法（PSO）
9 D, i( Z3 o+ f' `  E
2 @" b6 b: |/ I5 p2 c! E算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
- U/ r; b0 _* b8 L# i# P: UPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
; }. N- Y! T! Z. W7 z0 `
基本PSO算法
& Y" g! g- J& M( J& C  o& s
1 q. E0 u( J/ r/ D! @- ?/ [D维空间中，有m个粒子；
5 O$ B  M8 U- U; ^6 @粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
5 @! @, U0 ?; d' V1 v+ f7 C. I粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

3 [" s/ _/ |9 @% I. f
二、模拟退火算法（SA）
! n& G. b: N1 |% m" t
模拟退火过程：
& ^, `% v3 ]' e% O) k7 ^设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法
% u& f8 b" N3 @/ r0 z7 e  C
产生一个初始种群
, x3 K( V& E/ y3 S. d" k根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
7 ^6 V" b+ K, d
四、算法步骤
  p3 `( M7 y# F5 R4 M. k初始种群
" y" _/ m, D' [( g! X; r: h编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
; [' n5 @/ h+ Y+ d) d, F8 |3 u4 r适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
2 y* h$ J) L' O: v3 m: w. L* V遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
3 f9 I0 y) u9 H; x! y- u; ^! h: Z停止准则
! M; f* e* E! {$ b5 k
参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
# \9 M% K* e- b3 a3 e$ K
四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
4 P1 c3 [+ ^5 c) n- M- A
! R+ L. n! N* ?五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
! Y  Q# G3 s. j* \4 M" }9 K  K* C
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
) h3 {* z" u, ?% |9 ?* k' }1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
1 a# r, m' O2 T- a! q2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
: x  x4 T' W3 B  ~' g2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
  z# d: c9 @3 r
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
7 y; _: K: i  n. }- [: j! {b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
5 `4 E# Y( n( Q5 m- c1 o* x(3)移动邻域
" x) N" k, W6 c移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
, O* i0 `  M! |) X& X7 _(4)禁忌表
8 X% ~- W' I- L, }禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
% S8 a7 q& h3 x" V4 KA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
) {" Q, ^7 ]$ u% A) E* f7 B
. V3 ~+ U& f) V4 h0 D六、蚁群算法（AS）

2 h1 i0 Q; t6 T$ Q) T
! m# C5 h: T  O4 h* _; p




/ C- B2 M* s  E# K% i, k

0 v( a6 _1 v; T6 {
8 u( h: y4 l% |+ B- V! b
6 f6 r+ ]. R0 J  r4 S! {