数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
优化算法

' Y+ ?/ g$ f: N* ~( y数学建模问题总共分为四类：
" E+ g4 B6 H& [1 u8 U$ t1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）
$ o2 r8 m$ D3 R8 G
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
( q9 V* p6 W. m- P0 w
基本PSO算法
9 v5 w/ p  \- L& ]
D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
8 }  z. C2 x  T; ~- A粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
/ `  k2 E( `6 ^2 X3 P# ]5 w* F

二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
8 X# J, N# \# D* F0 i降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

: H' S; ^+ f0 c0 [1 ~$ F! w1 p三、遗传算法
2 `' K, P7 U% v. T
产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
+ F$ c, H6 B0 U; R' A) B4 k根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

四、算法步骤
6 z0 Z6 @/ S( }4 k, p初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
6 K$ x3 G9 w; d7 r9 C适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
2 P; A+ g; G) M+ D* ?( @' O8 i停止准则

: B9 p+ F7 a# m$ H& v5 _参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
" ?. N6 w' g) W/ p3 p
四、神经网络算法

7 r' A4 z; w: j- N* O' I和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

# v" s; y" T% I; C2 v: p五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

; h3 z3 o+ ?4 a7 j, h又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
* a. g4 W9 R  G6 @5 M; T, ]优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
" A; p8 }4 A( |! q2、局部开发能力强，收敛速度很快。
' ?" M5 c1 j" `$ k0 W+ a+ d缺点：
) k) O( t# d# n1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
! y3 m& B/ b# h+ W# D5 b# M4 U9 Y. d2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
- N4 _# b! d, p" z" _9 \
! E" n1 A# k' c$ c# G$ L将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
6 }% h# E" d$ m+ x: q* i0 d移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
$ ?, S3 n* n# A0 y: S从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
. A. v' |0 U! Z$ e) J# p禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
/ ?5 x- V; K  B' Z# l" D
- ]! w- L& a6 j! _7 @1 r六、蚁群算法（AS）



0 x" C  q' e+ p3 @$ V7 v8 l' V5 \

7 C! D9 ~% c5 t* W" |  o

" z9 @: K$ o8 b3 Y6 e8 \1 v
8 F# G* _" g4 p

7 `) n5 O7 i  g0 _