数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
/ a/ m, ~/ H6 I* g. R8 Q1 r优化算法

数学建模问题总共分为四类：
/ z( M3 \2 S1 y. |7 _6 S- h6 i1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）

8 r- t( @# [4 Q- L算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
. k) w; Y" r: ]  r0 x7 L& E5 _PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
3 C: S' T4 i# Z# s6 j
6 M  k+ x2 |" x% f! K9 Z6 f基本PSO算法
4 ]* B* B% i* c' J. C8 v+ F
D维空间中，有m个粒子；
4 C; U" V7 ]" j粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
1 d% S1 V7 G1 w7 F- X0 j群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


二、模拟退火算法（SA）
' e) w' j3 a% @( V$ z# \6 t. [
7 s, j) c" h$ S+ g6 V$ w( y模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
4 a: x( B( N0 P: l+ i4 ^  Z热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
- P; p1 m3 @, l5 P# s降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法

产生一个初始种群
5 {( ?. n$ I, S0 {& h根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
. ]8 f, k9 S2 Y. O  V+ ~! q7 ?
四、算法步骤
初始种群
. s( y* }( H- `4 ]; ?& Z编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
5 V  `$ n/ T4 Y$ c* I选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

8 ^, h- A3 i) a, |0 P4 {四、神经网络算法
- E& Q  P6 Z3 h; a
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
$ h9 L! J9 C% @* o
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
. Z; ~( _% ^5 w; n' T9 C8 ]. a缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
' S# i; U, a' [. V% p: [0 A
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
1 g: ~, e0 W( P& V(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
; {( W( f9 ^: f/ k3 d2 H(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
# r2 U5 I) Q0 \2 ?7 A$ t; g' D从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
4 p# Q& Y6 n$ d4 ~1 l: K9 d! `(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
+ ~) T( ?; X8 ~& m- I9 v  e2 N% L# H
8 \! W9 O& _  v" o$ O) B六、蚁群算法（AS）
' S1 p; @  S- p; |
( Q  {  F' _6 A% @0 x& Y+ S+ U
5 f: h0 H- q: r6 k0 ?* d

" x. x/ b5 I4 g4 I' n& k: |

5 R" c7 q0 y+ ^& ^0 |4 W



" x0 p- @. Z6 p8 \+ R$ ]1 }( I* Q9 n
, d/ G5 M6 n( |' s' J) R+ ?# j