数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
1 A( B# w  |7 P8 S3 a优化算法
0 ^, l4 G3 B" N( k
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）
& _8 c! U2 k' ^, w5 `4 A* v
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
" P; K" w, @$ d* e
基本PSO算法
$ Q6 p. l% i2 k1 J
: m% p- I6 w; U. SD维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
! F* s& O- I* M粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
! E: }$ u3 G( `! f  S
; h' B! `$ k) h" o3 M6 `6 |5 ~
二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
" Z- e. [: ~6 h/ S) D降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
8 j' r- g& w3 k5 z
三、遗传算法

5 v2 z8 h; t: D( U9 S产生一个初始种群
" ?: C9 p5 W  ?7 d根据问题的目标函数构造适值函数
/ ]; @. M$ w& e: G根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

. G* o5 `  Z. f* k; P7 f四、算法步骤
初始种群
' _% a9 _' y( @$ }) V1 q编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
3 G& _! }2 p6 ?) n; L% t1 L! H适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
+ Y+ m( D% W/ x( r停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
4 J0 i* Y6 }+ T
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

) ~" P; m6 @3 d: H又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
8 W; L7 v7 ~/ H1 q1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
4 y3 P$ y$ M, {( I! P" Z缺点：
; D0 u; f$ s; e3 t' T7 f1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
% k0 X0 V  G2 o- U2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

! p$ K$ k, W& l+ u3 K1 B将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
0 N! R& I& k9 e( R9 k(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
, C8 ~2 f& p6 C+ J3 O# B; S3 J(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
! m+ e9 J+ q- i& j6 a3 R/ i(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
' ~' B# F; |; w% d# ]; O' e
2 Y4 e' s9 a; P5 A+ F六、蚁群算法（AS）

! ]- C1 O% \9 a. G8 I5 P2 H
3 z0 j! Z8 e- o, _/ Q; ]' s) o
- q( h, [0 _4 P% A' d1 c


8 f; O2 H" t) {% k& `8 D4 H1 K1 a
/ b& }' ^: Y  B( {3 k3 N; Q' c


( C6 h/ P  R3 P1 a8 C$ i; m
- M4 Q( ~7 e+ P. N3 C