数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
2 b4 m  ], I1 w4 `; R+ \优化算法
  X  |5 u5 Q% G: _5 [! S
' [) J6 e( M/ O4 O( I7 |数学建模问题总共分为四类：
0 T! I9 e: x! o: @* y1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

/ n2 e3 r; D- e2 o+ p9 u一、粒子群算法（PSO）

& c: a3 Y2 c1 ]4 f* o! g* [; m算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
9 _. Y' T; w7 }% T( C' b
) d5 F: X: t& M  g! y基本PSO算法
+ I: @; Q5 A1 ~$ p
( A% [% Y* e/ ^. _" {+ @D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
4 A# Q' ~0 Y; P! o粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
: c; Y1 B- Q. j( M( p( t群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

! M; f& ~$ }, |3 A. T# f* y
二、模拟退火算法（SA）
6 ?( H* F3 q# P+ X' J
6 a7 o$ [# [8 J( B模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
& q* L( [) V5 F( {2 Q降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

$ `& e* E# p  L三、遗传算法

产生一个初始种群
, K* G) u8 G! P( v% S+ r: E; ~, ~根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
( }1 z" H; }/ v: K若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
8 P: z6 G! r3 s1 n( P6 h2 |
四、算法步骤
初始种群
8 c* S* p/ c0 u: A1 n编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
2 n8 J: x7 W5 \. k/ p遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
  z8 z% d6 h0 _; j( }  q8 V/ f停止准则

! G8 s8 S4 I" p0 j参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

  _8 B, B% ?( X0 Z- S9 m: \四、神经网络算法
' u$ D) @4 m0 _0 t
  k- J$ C2 _1 x" d和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
, g5 h: U' h& a2 v
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
6 ^: O1 O0 l4 k- e; X# u
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
! R8 P& n1 c* p1 F3 K( E缺点：
7 D; X  E% Y, f- n/ {' @1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
4 ~1 F5 D& T* Y, @
8 _# y  T% \- H# V3 @5 [将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
) ~) i* C/ H; V/ |$ m/ F# ]a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
# m% Y8 n9 G/ N(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
  Y/ }2 ~7 b& y! u移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
6 E8 i, t# c0 {: C' s+ Q(4)禁忌表
- L5 t0 \2 a! J+ ^$ j! m- d禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
: s; M" H8 B0 c# \* k* r) nA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）

$ `& m% n3 m( f1 S  U0 P


& D3 s# f* |2 ]% Z


" D; `3 |. `) I; K$ N
2 m# o6 m& F3 C! D8 F) Z


# k$ F. ~- t% p" ]- U! Q