数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
优化算法
$ }7 I" [* [- H% n  U. O* L5 D
+ E9 L- K4 R4 w数学建模问题总共分为四类：
7 J! P3 R$ d* D$ f1 e1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
4 M/ F0 V: O0 e, `
一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
) ], Q$ D6 \. ^+ _$ R% |/ n
/ x! a' G$ x  B3 I3 B, m7 {7 w基本PSO算法

! O0 l, N# h1 Q8 j: J2 \- ^% R/ }D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

# V3 C6 b# H* u) x7 t" D- j- T
二、模拟退火算法（SA）
; w- ?4 |+ u) E* A! V! c
模拟退火过程：
+ U( B# g5 R& v1 H! S  a& x设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
& Y5 ^# ?; K4 Q7 s6 u/ u! l4 X. r降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

+ c4 P3 ]" a- k! j8 \三、遗传算法
, @! p9 k4 F! q3 s
产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
8 y5 ~1 P7 w* X: s; m* t根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
* Y7 J" C( N% K3 ]# ~4 F0 O
四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
6 {+ V9 B3 G4 S/ Z遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
! z2 B5 }( F6 N! \" S' z/ I停止准则

( P+ f9 C6 o! p+ l4 Z参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

8 p7 C& _3 d! N$ f* ?1 E/ O6 n四、神经网络算法

' d$ g/ Y6 i9 W4 g% Z. a1 _和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
: E, G* }7 Z9 R! B2 V. o
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
* E+ O# m/ I( X0 X6 U) m$ \% w
* H5 v# Y* j! }* M3 N又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
' x6 m8 T8 h8 N, [" R1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
$ f" M. r) i3 \% f. h* m2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

, T% W! v) t' |. y/ ^2 }; W4 V5 [将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
# l6 v+ _! \% R" _: P9 J3 M; X! Xb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
  K# p/ R+ A% G0 g& a可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
* U1 L$ T, y3 i(4)禁忌表
6 ~$ S4 n' c( `" Y* h* F禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
6 F/ @( k$ c1 i7 kA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

% u2 g; i+ O# ^) y. a) _( y. S六、蚁群算法（AS）
! n6 m. M; v2 }5 O( o
2 u5 ?* a; `% |0 C+ @( a& v

1 }4 V" q# s3 c/ k( D$ S
2 p  I+ e0 N( i' X% \9 p. k
7 ]7 `1 Q# F0 ?5 X+ D
' O$ P) n& A" w  a4 K

* E/ P: W! ]1 n( h$ b7 p  A1 _1 w3 B