数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
% w5 ?. q4 j# G$ A0 Q+ X& l优化算法
0 o0 r/ f( _; _2 K  w' g( v
数学建模问题总共分为四类：
' \$ a7 d; T( Y3 V: J. W1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）
8 f! a( ?( C1 @
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
3 p; x; d1 ~* @7 r' m4 nPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
* @; U  k8 s( I
( B1 i  c) L1 l. n& o基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
* R6 V+ y6 ~  N粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
( G7 [* i- S9 O群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
( K- e1 U% D$ ^/ @& w, R6 O  \9 A  a7 a

: {+ v' `; K% z7 Q  {二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
/ ~6 Y% }* S: I6 Z! ~  L2 l$ [热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
* q5 t9 x- L/ w7 o% \2 F2 A
三、遗传算法
( j, I" I. D' o2 F* \
产生一个初始种群
' D7 T' ?  c' [& P  x0 `& ]: ~根据问题的目标函数构造适值函数
0 v* {. y- r/ L8 c根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

6 K/ P9 I0 v+ l6 q  d+ q& R四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
; ]+ c7 T7 y! h# |选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
* Y' s* [( C% `0 W: }3 i停止准则

0 A. F4 o4 V: W0 l' i( `, o参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

4 j# \4 i. l( ]) p& l6 Z四、神经网络算法
6 j/ `' m1 {5 D% [
! x7 z" P% W& W4 p5 _2 k! s和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
8 Y" F+ i6 Z- G
# c% j8 t! z+ b五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
3 Y4 M* H  N$ Q$ }( _
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
* E  b0 r( r. N1 U, d1 x  R8 z优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
3 r7 b+ H# G3 H6 ^" `1 y1 h
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
' P. x: Z. n1 W% mb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
  Z! b! C8 h. V7 t) S移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
* m% H- n: l( A# R: w6 J. r: W8 T(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
- p+ C) \1 S# p. |& H* F( L. E(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）
! }5 R6 K: E6 ~4 h& X: n( e6 Y
; c/ F) D2 ]. l6 C2 o

- a1 s. w! ?7 ^% u* {" Z
  H7 j4 i$ I7 Q! v: e& U$ q

; g8 i9 ]# J) G2 i
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