数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
优化算法
) y8 I8 V4 g! S; t& Y# y) y
数学建模问题总共分为四类：
+ |5 H5 V* e0 {* [: T1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
9 c: C& {  b! d/ i8 ?
' [7 e& z4 m6 B+ H. ?, y一、粒子群算法（PSO）
" T' B2 k( h2 P
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法
9 [: |% Z' o8 }2 W) l
0 L# d6 J7 w" B2 s) s: N. mD维空间中，有m个粒子；
; e: u6 C  Y1 r9 f$ V! z粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
) L$ E7 T/ b! d5 `3 e6 l设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
9 j0 g9 c7 k/ ]$ k/ b2 N0 E5 q降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

4 y. Y! b. U8 m. u, t- z% }三、遗传算法

产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
$ S$ W/ ]6 x4 Y若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
% X( H, H/ Y' Q$ S; r) e" Q
5 w# H% M6 K; d7 }! ?; N0 P四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
# K9 X% T/ [  o( m6 F( K遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

$ s: X3 a. y" V) k' y) e1 F) P参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

' g. ~5 j7 p. n四、神经网络算法
1 {, i7 |0 v' u+ O& O1 B; B  r
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

, a" K+ R* d- y4 W* W. u5 H! X五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
4 ~6 J. U  C5 x; e1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
1 ~. x3 Z. ?' \4 U2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
* T* o% g+ u1 a/ ?5 U+ c1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
& q' ?5 J0 _6 d/ e, i8 V0 w  ?
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
* a4 N: x) A2 q, ?6 ea、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
- J; O' P/ l  M& @) i(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
- p9 h% E; y0 V$ P! A# W移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
4 L4 K5 K! D& n+ C2 O1 v% U1 A从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
( n/ ~& J/ H- C9 k禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

( q5 V" {5 w" F9 h- Y六、蚁群算法（AS）
6 `3 i3 D4 m% R1 O/ U
) V. j8 K/ Z% w* s, r
2 Y7 y6 z7 ^6 A% c1 T! ~

0 V3 z8 H) ]# b; N/ p
  B6 u# s4 H% W) ^; _, X

0 ^9 i" e+ d/ x

/ k0 W+ Q7 B& J/ {
6 m) A$ ~! G% y2 c  e- K