数学建模————统计问题之仿真（四）

杨利霞

数学建模————统计问题之仿真（四）
  仿真，顾名思义，就是利用计算机模拟研究对象，对于那些用数学公式或者规则描述的系统，计算机可以将其通过数值模拟出来，还能实现可视化。就好比我们看的小说一样，创造一个世界，需要有初始的人或物质，再加上法则（规则），那么这个世界就会逐步成型，仿真也是如此，我们需要给这个模拟世界一个初始的状态（包含应有的数据），然后告诉他运转的规则。


9 D4 b  b4 w4 L( b4 t. Q1 |
       真实的系统往往存在着很多不确定因素 ，比如：要模拟某条道路的交通，我们就得知道路上的行车的情况，除了基本的交通规则之外，我们需要的是车辆的模拟。一般来说，我们都会给车流量一个分布，这样我们就相当于有了一个车辆生成器，然后通过行车规则，就可以完整的模拟出整条道路的交通。
       不过，大多数时候我们都只是设定几个交通状况指标，然后仿真不同时间的情况，就可以实现交通状况的数值模拟。当然，有时候为了论文（观赏）效果，还可以将整条道路分成很多个小块，当车经过时就让小块发亮，这样就可以看到整个交通的运行情况，这种方法我们叫做元胞自动机。
& C. J' r3 x. |) V# o. w

" \9 a/ h7 z+ b5 p" w        既然是模拟系统，那么就需要一个系统的推进方式，我们依此可以将仿真分为时间步长法和事件步长法。时间步长法即将每经过一定时间步长就仿真一次活动，然后推进下去，而事件步长法即每发生一件事情就推进一次，当然这个步长也可以看做是每两个事件之间的时间。

) a8 J# `- u, O       上面介绍的仿真方法都讲究推进，也就是说是动态的 ，除此之外还有静态仿真。静态仿真比较有名的是蒙特卡洛模拟，下面给大家展示一道百度校招笔试题：
! p: Z, n& `: ?" i) ?3 k* I       在平面上有一组间距为d的平行线，将一根长度为l(l<d)的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任意一根相交的概率，用高等数学(微积分、概率的方法)求解，基于布丰投针的结论，任选一种编程语言(C/C++, matlab, Python, Java)，写出模拟投针实验(程序中允许把一个理想的π作为常量使用)，求解圆周率。
注：前面的高等数学部分可以求解，已证明这个概率=2l / πd，另外针中点到相邻平行线的距离x≤l/2sinφ，l是针的长度，φ是针与平行线的夹角。
  j, l& n; ^! g( O  c) O8 x
       现在我们知道了规则，那就是x≤l/2sinφ，为了模拟各种情况，我们现在需要做的就是对未知量x和未知夹角φ进行随机模拟，然后计算符合规则的概率，最后依次计算圆周率。

: }4 k# O& K5 \! c- T# p; ]5 ~4 p- f
' @* y& D. z" W  {8 C

: k% W5 }  }# Xclc;clear;close all;
d = 2;%设定平行线之间的距离
4 H1 ?' ?0 _. k5 I' R# Z* Vl = 1;%设定针的长度
n = 1000;%设定投针个数
  e0 k* }1 W# Ubeta = 0 : 0.002 : pi;
5 j) [4 s7 K+ N2 U# X$ aplot(beta, l/2*sin(beta), 'k-')%绘出l/2*sin(φ)曲线
& R( V; a/ p0 {0 |! f) s8 j) Uaxis([0, pi, 0, d/2])%横坐标范围设在0~pi,纵坐标范围设在0~d/2
8 u% b: q. o1 ^2 O5 ]1 Y2 U6 u: Etitle('蒲丰投针实验')
5 g" y% W; I# @( J+ [! i: Ehold on
beta = rand(1, n) * pi;%随机生成n个角度（0~180度）
. _2 I6 r% j, fx = (d/2) * rand(1, n);%在平行线中线以下生成n个针中心
m = 0;
9 y4 [! S7 c5 i! V5 Q3 G5 jfor i = 1 : n
    if x(i) <= l/2 * sin(beta(i))
# i+ x( X- b) Y) k        m = m + 1;%符合条件就增计数
& N) j4 Y  y" ]1 S% c8 s4 Q5 Q        plot(beta(i), x(i), '.r')%将符合条件的针以红点形式画在图中
+ F/ I+ ]3 x  j+ V        pause(0.00001)
    else
- ~  \: X# k9 N; o9 L  c% @0 _        plot(beta(i),x(i),'.b')%将不符合条件的针以蓝点形式画在图中
" S: X8 Y; s( t& p4 j( x- x       pause(0.00001)
    end
end
# h% u& U5 i5 K/ X: Dp = m/n;%计算概率
pai = 2*l / (d*p);%计算圆周率
+ z+ ]/ s$ l  ~: J5 pdisp(['圆周率为：',num2str(pai)])



结果如下：



8 L2 y# p4 }& K1 D7 B
' ]9 P1 h7 d; n! G: C1 T0 y- t
  Y; J8 @) C# N; d2 `

& G' l5 }: h( f/ L, L- d! T