数学建模————统计问题之仿真（四）

杨利霞

数学建模————统计问题之仿真（四）
  仿真，顾名思义，就是利用计算机模拟研究对象，对于那些用数学公式或者规则描述的系统，计算机可以将其通过数值模拟出来，还能实现可视化。就好比我们看的小说一样，创造一个世界，需要有初始的人或物质，再加上法则（规则），那么这个世界就会逐步成型，仿真也是如此，我们需要给这个模拟世界一个初始的状态（包含应有的数据），然后告诉他运转的规则。

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2 v9 i. ^) F# u  ?       真实的系统往往存在着很多不确定因素 ，比如：要模拟某条道路的交通，我们就得知道路上的行车的情况，除了基本的交通规则之外，我们需要的是车辆的模拟。一般来说，我们都会给车流量一个分布，这样我们就相当于有了一个车辆生成器，然后通过行车规则，就可以完整的模拟出整条道路的交通。
       不过，大多数时候我们都只是设定几个交通状况指标，然后仿真不同时间的情况，就可以实现交通状况的数值模拟。当然，有时候为了论文（观赏）效果，还可以将整条道路分成很多个小块，当车经过时就让小块发亮，这样就可以看到整个交通的运行情况，这种方法我们叫做元胞自动机。
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& O$ f6 q# m& E# ?& o; ^6 |7 N        既然是模拟系统，那么就需要一个系统的推进方式，我们依此可以将仿真分为时间步长法和事件步长法。时间步长法即将每经过一定时间步长就仿真一次活动，然后推进下去，而事件步长法即每发生一件事情就推进一次，当然这个步长也可以看做是每两个事件之间的时间。
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       上面介绍的仿真方法都讲究推进，也就是说是动态的 ，除此之外还有静态仿真。静态仿真比较有名的是蒙特卡洛模拟，下面给大家展示一道百度校招笔试题：
       在平面上有一组间距为d的平行线，将一根长度为l(l<d)的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任意一根相交的概率，用高等数学(微积分、概率的方法)求解，基于布丰投针的结论，任选一种编程语言(C/C++, matlab, Python, Java)，写出模拟投针实验(程序中允许把一个理想的π作为常量使用)，求解圆周率。
注：前面的高等数学部分可以求解，已证明这个概率=2l / πd，另外针中点到相邻平行线的距离x≤l/2sinφ，l是针的长度，φ是针与平行线的夹角。
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1 C& r+ A8 `  K) Z1 @; D       现在我们知道了规则，那就是x≤l/2sinφ，为了模拟各种情况，我们现在需要做的就是对未知量x和未知夹角φ进行随机模拟，然后计算符合规则的概率，最后依次计算圆周率。
! w( M2 @  K2 h0 f: G+ u( c
( b2 Y0 v1 V3 O

+ T9 ]3 A7 V* E
8 w! l+ V# N! z$ ~; g0 ]clc;clear;close all;
d = 2;%设定平行线之间的距离
l = 1;%设定针的长度
n = 1000;%设定投针个数
beta = 0 : 0.002 : pi;
plot(beta, l/2*sin(beta), 'k-')%绘出l/2*sin(φ)曲线
2 N) Q5 [$ u' haxis([0, pi, 0, d/2])%横坐标范围设在0~pi,纵坐标范围设在0~d/2
: ^( H9 T8 v# J# o( t6 h1 `& W$ j7 `title('蒲丰投针实验')
$ f1 q, Z# @1 @2 k# q$ Jhold on
; f% x2 s' u" l6 u, m! Ebeta = rand(1, n) * pi;%随机生成n个角度（0~180度）
% b. a9 x  n* x- Yx = (d/2) * rand(1, n);%在平行线中线以下生成n个针中心
7 s9 k) h* U" z) ?9 V/ jm = 0;
! u) {; x  R# X% y$ hfor i = 1 : n
    if x(i) <= l/2 * sin(beta(i))
        m = m + 1;%符合条件就增计数
. `5 Z7 w  i0 ?" e9 r8 G0 y+ T        plot(beta(i), x(i), '.r')%将符合条件的针以红点形式画在图中
        pause(0.00001)
    else
        plot(beta(i),x(i),'.b')%将不符合条件的针以蓝点形式画在图中
       pause(0.00001)
! _6 _& c1 L5 \1 L2 Z4 q. ?    end
% r5 B; u) U6 @0 b, I; jend
p = m/n;%计算概率
; T0 l/ N3 O$ Rpai = 2*l / (d*p);%计算圆周率
disp(['圆周率为：',num2str(pai)])


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结果如下：
3 s! A9 k* d% m6 P2 v) ?; y1 i7 M' l



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