数学建模————统计问题之仿真（四）

杨利霞

数学建模————统计问题之仿真（四）
. v2 ~! y4 b" o! [# U+ v, {  仿真，顾名思义，就是利用计算机模拟研究对象，对于那些用数学公式或者规则描述的系统，计算机可以将其通过数值模拟出来，还能实现可视化。就好比我们看的小说一样，创造一个世界，需要有初始的人或物质，再加上法则（规则），那么这个世界就会逐步成型，仿真也是如此，我们需要给这个模拟世界一个初始的状态（包含应有的数据），然后告诉他运转的规则。



       真实的系统往往存在着很多不确定因素 ，比如：要模拟某条道路的交通，我们就得知道路上的行车的情况，除了基本的交通规则之外，我们需要的是车辆的模拟。一般来说，我们都会给车流量一个分布，这样我们就相当于有了一个车辆生成器，然后通过行车规则，就可以完整的模拟出整条道路的交通。
       不过，大多数时候我们都只是设定几个交通状况指标，然后仿真不同时间的情况，就可以实现交通状况的数值模拟。当然，有时候为了论文（观赏）效果，还可以将整条道路分成很多个小块，当车经过时就让小块发亮，这样就可以看到整个交通的运行情况，这种方法我们叫做元胞自动机。
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7 v' V: M$ ^! [, K  q
        既然是模拟系统，那么就需要一个系统的推进方式，我们依此可以将仿真分为时间步长法和事件步长法。时间步长法即将每经过一定时间步长就仿真一次活动，然后推进下去，而事件步长法即每发生一件事情就推进一次，当然这个步长也可以看做是每两个事件之间的时间。

+ p6 g) k2 j4 d5 i5 N4 r: P       上面介绍的仿真方法都讲究推进，也就是说是动态的 ，除此之外还有静态仿真。静态仿真比较有名的是蒙特卡洛模拟，下面给大家展示一道百度校招笔试题：
3 |  @) _* \- i: r- M       在平面上有一组间距为d的平行线，将一根长度为l(l<d)的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任意一根相交的概率，用高等数学(微积分、概率的方法)求解，基于布丰投针的结论，任选一种编程语言(C/C++, matlab, Python, Java)，写出模拟投针实验(程序中允许把一个理想的π作为常量使用)，求解圆周率。
' o4 }7 h8 R- E3 a( f& [! N' M( w注：前面的高等数学部分可以求解，已证明这个概率=2l / πd，另外针中点到相邻平行线的距离x≤l/2sinφ，l是针的长度，φ是针与平行线的夹角。

       现在我们知道了规则，那就是x≤l/2sinφ，为了模拟各种情况，我们现在需要做的就是对未知量x和未知夹角φ进行随机模拟，然后计算符合规则的概率，最后依次计算圆周率。


3 O9 L+ M/ r6 h% Y

1 X7 u' `6 ]+ c/ Pclc;clear;close all;
d = 2;%设定平行线之间的距离
l = 1;%设定针的长度
$ v/ ?* o! _1 f( P7 q0 pn = 1000;%设定投针个数
beta = 0 : 0.002 : pi;
plot(beta, l/2*sin(beta), 'k-')%绘出l/2*sin(φ)曲线
axis([0, pi, 0, d/2])%横坐标范围设在0~pi,纵坐标范围设在0~d/2
% t$ H1 x) F& Ptitle('蒲丰投针实验')
6 e. J) |. r+ ]) D5 @! d4 `hold on
beta = rand(1, n) * pi;%随机生成n个角度（0~180度）
x = (d/2) * rand(1, n);%在平行线中线以下生成n个针中心
$ U3 j. [( i- p9 `$ [. bm = 0;
8 K8 R" ~! [* {0 Efor i = 1 : n
5 g! L7 `. _7 K7 k2 S8 g% N6 ?    if x(i) <= l/2 * sin(beta(i))
        m = m + 1;%符合条件就增计数
3 [( @  i" w  K# z3 ~6 _' t/ Y& q4 G" ]        plot(beta(i), x(i), '.r')%将符合条件的针以红点形式画在图中
' O+ }. ~4 o! P/ R& K4 ^+ i6 c        pause(0.00001)
, |, {3 X2 d2 c. v4 R# H. P* y& v9 M    else
6 c. v) _: `: _, T. d        plot(beta(i),x(i),'.b')%将不符合条件的针以蓝点形式画在图中
( A5 x" ~) V6 v' K9 l' t6 i       pause(0.00001)
) G! R: e$ b8 f5 Z1 t    end
end
p = m/n;%计算概率
* E9 J) [/ l* \/ H9 U  r/ u1 Epai = 2*l / (d*p);%计算圆周率
disp(['圆周率为：',num2str(pai)])
7 h' K' O% ?6 s8 `! L% t) h  I' H. K% U( C


结果如下：

; X5 e# {' s; o$ A, j4 L0 r
( t/ C$ I, X" t4 ^' {/ d1 T
' h9 P5 X; t1 ~% c