数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划

/ N$ K5 U' o- F& R线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
+ `' e$ _) Z; L8 ?6 A9 b! l  q- J1 简介

6 J) J9 R% z$ w  R  B1.1求解目标规划的思路

（1）加权系数法
( Z: r' t6 c) e3 P; q5 u7 d4 }5 X% M; P为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
（2）优先等级法
: \" p4 x# S7 n+ k' g- y将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
8 g- n% e( U) [) L3 O5 b（3）有效解法
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
9 l- m$ f& l8 L5 y8 G) o* N
1.2建立目标规划的条件
$ K; {8 }; T' t! r/ U4 _+ N8 C( w
（1）正、负偏差变量。
9 v7 v7 A  t; N4 w! W4 }% A（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
（3）优先因子（优先等级）与权系数。
- V8 }, j( x6 r! d- C0 c
1.3 目标规划的目标函数
) e3 \( R: A+ x( ?, y/ r, j; e
目标规划的目标函数基本三种形式为
/ ?. G6 V% [/ i2 u+ s) C3 B（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时

（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时

  y8 L' q" E; R+ d$ ?（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时

. ?" g5 f3 f" B
2 z2 T2 J9 g! }1.4 目标规划的模型应用
* x2 u8 h$ J9 b3 e2 r: L- l+ I
# V/ e$ P9 Y& v5 y$ [3 Z' @（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。

+ _, o$ I$ {. O& D+ ^; z5 X4 a5 F2 目标规划的一般数学模型
/ B! d; o0 |. w9 j
设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下
7 V: S1 U! T/ j: l6 R: a

可用序贯算法求解目标规划。
. g% r( j/ x) m7 ^  y
3 数据包网络分析（DEA）
2 B7 }: c( c. G3 q) O' B
3.1适用范围

DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。

3 X( j2 ~, z) g7 Z, L3.2 数据包络分析的C2R模型
' A: y4 p! a: [/ I7 V( F
4 `' l0 V! o, x, c# n" k设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
, L# J& i1 h: R+ v向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
; U. t" l" J" G' Z定义决策单元j的效率评价指数为
5 S. e! v: }( _" ^评价决策单元效率j00的数学模型为
8 o' G% F1 @. p* a
9 `- r( `) b) Z8 n3 S% I
对于C2R模型，有如下定义：
5 L; s8 R! D3 U+ U（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
* _/ O; S1 j7 }3 X& }- @4 l（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。



2 a* E4 J: w9 S7 g  g9 Z


' g& f3 P, |. Y* ^! h