数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划
6 @8 {: E0 Y' j& w& Q, L
线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
# G6 m% y% t- z" a. b% R' N- Q1 简介
1 m6 U9 {- w% R0 l$ }
1.1求解目标规划的思路

（1）加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
& m+ [% k2 g: r  Q- b; {! r* D1 R（2）优先等级法
将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
0 N  B' t) F" J/ j! @5 p$ z（3）有效解法
) l% p; `+ \3 x& M寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
6 J" ?+ N- i8 t9 f& x- V3 z
- I$ n: l3 J, y0 ^1.2建立目标规划的条件

: v; D1 L! O* Z* d* ~（1）正、负偏差变量。
- [6 W! q0 u5 `1 q. ~! J# s（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
（3）优先因子（优先等级）与权系数。
% |, H: @% [) |+ h
& I; S8 r+ a5 r) `8 Y% V1.3 目标规划的目标函数
6 ?; N; f. q6 f1 X; i
; h: u% J* V- A: M目标规划的目标函数基本三种形式为
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时

（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
1 ?- Q2 [! I0 o" X7 x
（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时
$ a7 E1 |; z. j. x7 v

0 E5 O7 ?/ k/ t& u5 G4 K1.4 目标规划的模型应用

! N" D$ p  b' g! e（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
- L# ^  f$ z2 a: p2 B- P（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。
: H2 V/ R! R2 [) m, ^
2 目标规划的一般数学模型
1 m- s8 x  Q7 D5 B! G8 h! o* L
设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下
* V6 j5 F& d, `! \8 m* e0 c

) W. [% v0 B. s+ y- `可用序贯算法求解目标规划。
6 ~! @) {7 H. m% r: Z
3 数据包网络分析（DEA）

/ A& ]7 d- l4 x1 j0 O$ D3 Q3.1适用范围
; ]$ L: m3 B* q7 L
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。

. F3 F  }9 c1 P0 r1 K8 }3.2 数据包络分析的C2R模型
5 v# w/ u/ y& o6 i" `. ]) F
9 S$ A, r! {8 `  F" R" b$ T6 X设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
4 a" E1 r1 w: r# _7 n3 r; `. q向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
  f- X) Y+ b5 m4 a定义决策单元j的效率评价指数为
2 |$ T3 l! a. T9 H评价决策单元效率j00的数学模型为


; A( j, V# H9 _1 ^对于C2R模型，有如下定义：
9 f: U7 i. z0 B$ T$ K（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
7 s6 A1 M3 J& q$ ~（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。


! f5 V, {, |. B6 R' \0 V' u
# M( C' T3 H- u' ?

; D1 w& L5 T, M9 \