数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划
. Y9 u! v+ ~% B9 K3 E: v1 \
线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
( f; t  ]9 b/ L9 E1 简介

1.1求解目标规划的思路

! X3 B3 m. p& o6 g" ?5 x1 ~8 z  e（1）加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
（2）优先等级法
- }1 W8 O4 @2 [& J1 }6 n8 o' I将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
（3）有效解法
! L8 H) H+ k' v: ^9 H寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。

9 R/ U* W0 \0 J1 a1.2建立目标规划的条件

3 \: Q8 h* T. A7 a' t/ d1 d（1）正、负偏差变量。
（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
6 V$ c1 X* n/ S) W; Q- |8 W（3）优先因子（优先等级）与权系数。

1.3 目标规划的目标函数

& C* ?1 n4 H5 P3 g( [7 x目标规划的目标函数基本三种形式为
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时

& S% [. }/ Q4 u# H（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时

) j0 W  C! b$ I/ s, L) E/ s（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时
# n% |9 ]0 A3 w( _) A

1.4 目标规划的模型应用
9 P0 J" Q  f' }% ?* I
6 f! X2 M% a- h: {8 \1 o（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
; e. i; y( y5 x# q  Q3 z（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。
4 L6 n1 `7 S- \+ ~3 Q
2 目标规划的一般数学模型
8 X( r( A: i! s/ ]
设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下

! r$ Z& y+ X% g1 x# {
可用序贯算法求解目标规划。
  S- s+ m+ {0 J2 H4 B2 s
" d5 z0 ^1 ^. ^1 ]1 q) e* }5 G  v3 数据包网络分析（DEA）

3.1适用范围

( \. G. E6 S# l' }DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。

! c2 t6 W% {- r, d, ^5 i3 R% d3.2 数据包络分析的C2R模型

5 F3 |- P6 `" c/ e: u4 C设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
定义决策单元j的效率评价指数为
评价决策单元效率j00的数学模型为


对于C2R模型，有如下定义：
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。
' B* y! _8 H1 f: B! K
' b( P7 u3 I. Z1 Y  y