数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划
0 B9 w6 ^# L  R. e
6 a6 c+ @6 w. {  c0 e  W线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
+ R# R7 \! `4 [% l% }& c  d- e: N1 简介

1.1求解目标规划的思路

) C7 Y( n9 _6 L1 ]1 ~" k0 i# W（1）加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
9 C: c  }- f, N: c7 A9 q（2）优先等级法
0 m. L) T9 p$ B6 ~3 w! ]# q0 j将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
2 _1 E* \% j" e: b) W（3）有效解法
, o/ ^1 D3 u, t. V9 g寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。

1.2建立目标规划的条件

（1）正、负偏差变量。
（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
; m6 u* h' T8 D* {+ B& Y（3）优先因子（优先等级）与权系数。
* [2 t; O# u3 W
1.3 目标规划的目标函数
8 v  ?6 l# l; B  c
) `' U( W# k, }# y目标规划的目标函数基本三种形式为
& e  c0 }0 W. M9 J8 c# l1 @5 y# x/ k（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
  S, [: }0 L3 p. p8 E
（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
' l- _8 X; G+ Z9 V) A$ f8 ]% Q
& P: b- b. D: W, q  I) Y（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时


; Z; N7 ]: r9 D- j2 ~5 z1.4 目标规划的模型应用
' e4 @/ K; z2 B" V
（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。

6 a- T, q* E0 t2 目标规划的一般数学模型

设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下


可用序贯算法求解目标规划。

7 \  D$ ^, D9 {: z, g! S3 数据包网络分析（DEA）

5 p. W7 P" ^, C; ?3.1适用范围

) v, J: ^- P2 {# d% ODEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。

3.2 数据包络分析的C2R模型
9 Q, h: J4 b+ M0 e, s2 H4 Z% i
. ^! l) L$ f- `! o5 N! c7 B2 ]1 I设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
) Y$ H" E4 D3 w# @1 _7 G3 w( u7 A# @6 ]向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
定义决策单元j的效率评价指数为
评价决策单元效率j00的数学模型为
( g8 E5 ], S' m
5 N9 o& i$ }" O9 y* Z" \+ s
对于C2R模型，有如下定义：
3 P) g3 r, }3 L1 b& N（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
* y: a* \; F4 T（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。
9 a/ }3 p5 j" n- l3 J! Q) ?9 B4 C/ Q
  e: v* ^6 n/ O0 o9 w8 I




, Y9 S. n! |5 p, o( a* B& J+ U