数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划
# K4 H' o- c% u  f6 V2 |
线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
1 简介
( `7 M, Q% p. @; c4 V' y
. h5 \8 d  d' k4 B0 W5 M1.1求解目标规划的思路
, ^+ y/ u8 N( F
1 W% k6 G$ y7 l- b# R（1）加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
; V+ Y- g9 |, r9 K; o. D% t（2）优先等级法
将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
（3）有效解法
$ W& ~# X9 L! z( E) R/ B寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
8 x8 h% a9 @8 c9 ?( W& F
& ]/ L$ F' B4 }: \! U( @, [1.2建立目标规划的条件

& H" y' z- ~+ e* x, U1 }  V（1）正、负偏差变量。
! X( F$ \( o( a4 `% \& K- v（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
' l, b  \5 L0 |& K. L1 Z' I! Q（3）优先因子（优先等级）与权系数。
1 x; `  M  j7 r/ f2 C' a
1.3 目标规划的目标函数

6 a1 }5 {2 ^* E目标规划的目标函数基本三种形式为
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
* M: v! c) ?7 ]
6 `4 B6 G' t; Y  Y) C. K6 \（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
. K6 D  I. z% c, E- L( u: g. U
（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时


1.4 目标规划的模型应用

（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
$ u. S' P  n" `+ ]) W（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。

4 Q0 Q0 P1 J; q2 A( t0 g" i( M2 目标规划的一般数学模型

: P5 y* I  f9 Z: b) H+ [4 @# ~$ x设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下


0 ~' K- v# }2 n! T+ ~8 V* Z( |可用序贯算法求解目标规划。

7 T; W: @( I+ X; j2 H7 P3 数据包网络分析（DEA）
, K2 d  M0 V$ q" g
& K$ w* R% E  A' Q. @( r/ q, m3 j3.1适用范围
: [0 _4 I! X; `
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。
0 e, p. O+ N" f, L% O# v  ?9 q- a' I
3.2 数据包络分析的C2R模型

设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
1 K5 @" G: b( I$ @* h( t' n定义决策单元j的效率评价指数为
$ [2 G% `2 y+ G6 v% r) _评价决策单元效率j00的数学模型为


/ i! Y% r/ ^, ^, @8 w* E对于C2R模型，有如下定义：
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。


  x2 G, H* \" J$ x% B
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