数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划

线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
+ w) \, {. T1 s1 简介

1.1求解目标规划的思路
  u. Q  s4 i' y( g- T
（1）加权系数法
- g) N( k9 w/ A- h0 o( [为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
6 x$ t# Z4 Q$ ^/ B$ {. C" d, H( f（2）优先等级法
将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
（3）有效解法
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
3 @+ H' v4 z5 ^) S9 M
1.2建立目标规划的条件
9 z8 e$ M2 ~( s2 `& Q
! @$ m# z$ K1 a: d# a( X7 x（1）正、负偏差变量。
（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
（3）优先因子（优先等级）与权系数。

1.3 目标规划的目标函数

3 ~. ?) h) Q1 G! ?/ ]: }0 N' Z9 n& I# f目标规划的目标函数基本三种形式为
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
* \" }' R% I7 H- `$ O' a8 O
（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
1 G; c2 r3 v: W9 z
（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时

9 L! F; V% k- t; m& c! `
) e0 t3 n1 i; e1.4 目标规划的模型应用

（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。

2 目标规划的一般数学模型
7 V* W+ l2 J( y5 L/ [
设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下


2 l0 l! C# R& W3 v4 ]/ q& f& w! K. A可用序贯算法求解目标规划。
5 j6 Q2 M9 P. a4 P6 v
3 数据包网络分析（DEA）

3.1适用范围

1 J0 b- k8 S) {* E7 v$ a# KDEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。
4 K$ q  D2 H6 _7 p' |
4 q4 \; T/ l/ B) X6 m) n0 G+ K3.2 数据包络分析的C2R模型
, E6 `9 Z; ^2 u6 d5 s
* i0 s! {$ ?+ c% F8 N设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
4 I( B$ l' l  x  j" W5 f4 V$ R向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
定义决策单元j的效率评价指数为
评价决策单元效率j00的数学模型为
: Y! n! w8 V2 T" {' d
# G8 \1 q# z! _$ a5 r' i
: ^- `+ ?' |+ U' I8 P0 Z( N对于C2R模型，有如下定义：
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
$ S, C0 G/ d8 `（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。
5 E1 J# @2 x; {8 K4 U
3 v. n9 `" g; w

  j9 A  \( O0 j4 ]
$ I6 v, f& ]$ r1 a* {* ~; Z
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