数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划
4 y: f% I" A( S2 K+ J
, l! k9 Z! V) q线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
; l5 Q* O6 J0 w8 G* f9 t0 E$ p4 o1 简介
3 l- K) c' u& {4 }0 K: ?1 F
2 Z% l4 I. z3 p5 Z8 f  B! D$ \1.1求解目标规划的思路
- ?1 J& z* N- L! E9 c$ q
（1）加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
6 x: P1 X5 k' J* v（2）优先等级法
将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
/ Y7 ^! y7 z& K（3）有效解法
0 z( T9 O5 v& ]寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。

' Q/ e  k: I2 S1.2建立目标规划的条件
/ j0 B  F& d- _- M7 J, _$ j4 h
（1）正、负偏差变量。
（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
5 o) {! O' D/ o7 P（3）优先因子（优先等级）与权系数。
1 }. p. u( m/ c1 o# w7 ~4 \
1.3 目标规划的目标函数

, G% P9 F/ K' V' F/ o9 ^目标规划的目标函数基本三种形式为
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时

: M* e3 s3 i; J4 q2 O' K* X（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
* X" ?2 X7 K; V) O
2 v1 p4 L9 {, u( ?: F1 {" W（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时
3 M% A, z' e8 W3 [+ K8 ~
5 ]7 v5 F: @( x- [# j. \
1.4 目标规划的模型应用
3 Q" n0 y8 I. ^+ d
（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。
, }) q- g, e' s0 [- c* ?+ v
( B2 W3 E; l7 C( D4 n3 y2 目标规划的一般数学模型

$ l1 ?; j( r' @, W; t! g设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下
$ `% H. a' K7 B% \1 x
" p0 m0 ^+ L) {7 ^* t$ X" G
& A( K1 v/ S& }4 C可用序贯算法求解目标规划。
8 ~# N# j; d( y
( \. m# `1 u9 G, G7 U+ ?3 数据包网络分析（DEA）
) R- F9 Q* f7 o  H' K- K
3 ~4 G( q; H$ s( e3.1适用范围

DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。

5 y2 S; R0 B: t" D3.2 数据包络分析的C2R模型

4 g6 |" E4 f& Y8 D3 M; V" d0 V6 ?2 o设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
* f5 [/ j* z9 \/ V* N0 [向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
定义决策单元j的效率评价指数为
评价决策单元效率j00的数学模型为


( X3 m! U2 O; K: x; n; B7 ]' e对于C2R模型，有如下定义：
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。
+ @; b9 z- A7 Z9 a, x5 L

- d( L+ {$ J8 y' s

5 Z* z2 N. D* G* e- {) O