数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划

线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
1 简介

1.1求解目标规划的思路

- j2 y0 [! t7 ^+ e8 Z4 c8 \（1）加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
（2）优先等级法
0 F) n2 [7 l/ W) B5 @3 `, O) Q1 i将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
（3）有效解法
% V1 X2 b+ l& y- Q% N4 O寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
" l6 U" ?2 u* Q" m  K4 D3 g
; p9 ]- m, ^& ?: b1 d- F1.2建立目标规划的条件

（1）正、负偏差变量。
5 M9 S" W1 t+ S& r  f8 s. ^1 m（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
7 z/ N  W9 }0 {( u+ `（3）优先因子（优先等级）与权系数。

  O: f3 {# b6 _, n& }1.3 目标规划的目标函数
2 Z' O# j% P/ T& X
1 _9 O( e3 N$ q- r0 E6 Q目标规划的目标函数基本三种形式为
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
/ y: R: W1 p; h. r
（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
4 {5 h$ w0 B# @1 t$ c6 @) x# k+ B1 L
% @3 X' \; O! p- W（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时

" N& f4 B) }! \. r5 f1 ~) B
1 o3 _1 E8 p5 T1 c1.4 目标规划的模型应用
2 u, G+ t" k5 z& t/ Y! e- A
（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
/ \& k: Q) F/ [9 F6 K6 l（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。
& j, U9 [! U% j& [1 W) P* D5 y
2 目标规划的一般数学模型

1 S. A! R! @, d设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下

3 }9 s) y1 m" W) h7 A7 \- b) x1 T, W
可用序贯算法求解目标规划。

3 数据包网络分析（DEA）
$ r6 a' O* w3 L) v! T
7 F! V' L& Q  r" M0 Q) Q5 e3.1适用范围

1 v( J3 z0 n1 R  b& o! U' {DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。
: ^4 k: x+ M+ J9 Z0 S
% P1 @9 ?) \& N$ t5 x2 g3.2 数据包络分析的C2R模型
* M  {/ F& R  k) Z* T. d4 X, A
设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
* j+ W4 W3 C  M) C' C# f定义决策单元j的效率评价指数为
评价决策单元效率j00的数学模型为


: M2 G+ k# Y2 Q7 F  ^/ l对于C2R模型，有如下定义：
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
. e) ^- N1 m6 N9 S' L3 n9 K- S7 O（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。



0 V9 j: P- ^7 Y; O1 Q
& b/ ?  g# Q5 N7 F' A

' O! n2 Q* w. P