数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划

线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
- S6 y/ Q/ o! V+ i4 M# a1 简介

1.1求解目标规划的思路
8 K) p2 Y- C. B2 ?5 X
（1）加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
（2）优先等级法
将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
（3）有效解法
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。

1.2建立目标规划的条件

（1）正、负偏差变量。
（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
. I' D8 \4 h1 D! l1 x' S+ v& V& j（3）优先因子（优先等级）与权系数。

( g8 e' s$ p4 N7 }4 A% b! s! Z& N1.3 目标规划的目标函数

目标规划的目标函数基本三种形式为
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
. F/ x. e7 Y$ J( p( |
（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
3 f! k' a( S0 ^; Q6 ?* m8 d/ f
（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时


) K, Q2 e  v% x) }+ V% k1 {1 ^1.4 目标规划的模型应用
7 O: @/ A9 e% J5 z" R
（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。
; k7 z! M  @( ~, ~" w  y  ?2 k
2 目标规划的一般数学模型
* B, B4 ~- T! j& N  E9 R) n1 X
设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下
2 x1 h9 p6 j) g" H+ t1 ?
1 A9 V) t6 {; A! M. Y" [
可用序贯算法求解目标规划。

; {- B; h' S" z0 m+ |3 数据包网络分析（DEA）

3.1适用范围
; }# {/ V- F  t' U6 C6 h
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。

$ _4 v$ H4 ~, v  o. G; M; w3.2 数据包络分析的C2R模型
3 w4 K- w( Z! u: T' k4 i
$ y1 I4 L  ^$ h+ K7 R& x* R设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
5 V, W, f7 |5 L4 r1 C) N0 S向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
定义决策单元j的效率评价指数为
% B( d) p) u) ^评价决策单元效率j00的数学模型为


对于C2R模型，有如下定义：
. M( ?( Y4 i, E* a! h: N7 {（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。
" y" a3 Q1 T' h5 z- G* D8 D/ C


; O" h* f& Z. @" o% b, `; b$ M


( v6 ~7 P- n- ]: d: V0 M