数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划

线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
! E% Q6 K) K* {: v- P( G$ c1 简介

1.1求解目标规划的思路
1 `: ^" C2 G4 Y
0 D. [! _# l# D5 c. }* p% r( d* |（1）加权系数法
1 n9 l3 n& s1 P: C- z为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
（2）优先等级法
! O2 @& L) B9 x  z  l- G0 X2 f1 ?' X将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
（3）有效解法
# x8 `9 ?- P8 [& m1 ]; Y寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
, J) ?- }2 Z) k' A/ d
' l/ W- G% C: i4 N2 w; ^6 u! g, n1.2建立目标规划的条件

（1）正、负偏差变量。
（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
0 S2 \; H* J7 \- a' ?  m（3）优先因子（优先等级）与权系数。

1.3 目标规划的目标函数

目标规划的目标函数基本三种形式为
1 r0 c. z7 j4 w  y（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
. |0 f2 w' Q% \
4 \, Q6 X+ ~4 u5 P& _: h& b（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时

' v* o7 ?6 c7 h/ T5 k1 l& F. E0 G（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时
, G$ Y" n# p* p; v' b, j; u5 q
( M' ~, T! y, u5 k: n) i  u
1.4 目标规划的模型应用

; o- @1 r3 H$ S6 u（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。
; P' K7 s: U9 R! @
2 目标规划的一般数学模型
: p: `, e* `- N1 K
: m" v, u) K1 i! S: w: Y设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下

8 t" z' a, A( {( G, U- _* S/ a
) g2 u$ T0 J/ I可用序贯算法求解目标规划。
8 o8 u* r* V2 F, ~0 c) a
$ X  s" S, ~  n5 Y# R7 G" t5 [- n3 数据包网络分析（DEA）
- G1 ]$ X0 I. }; {: J4 ^( \0 E
, F: H9 H- e$ C2 H5 v- V7 R+ l" p3.1适用范围
, [1 P# f$ O6 Y
  h( `2 v+ h0 b: Q5 r, m' LDEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。
* o9 f; Z) B) _. C' g
3.2 数据包络分析的C2R模型
; l9 t! v, L* z. ]9 q6 `
设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
1 q8 y; E6 i& {; `# S向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
/ o# M/ N( d2 ]5 y0 U" G定义决策单元j的效率评价指数为
4 p5 G3 Q+ C1 \6 [评价决策单元效率j00的数学模型为
. O& v; H' ]; _0 T7 Z- J
/ G5 E# \7 W' C) ?/ K7 U
对于C2R模型，有如下定义：
& E# }" u8 H' N' l& c: ~（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
- Y" u6 l, {. s2 Y4 U（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。


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