数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
% m4 z& _9 u7 f4 M0 M5 l' [" P
* }' m9 Y8 f1 y7 m7 Z* g' w 1、建模步骤
5 v* q6 h% c- Y0 E8 R* }


模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
' f+ \5 |0 l1 l8 {
模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

7 _/ j5 X- \( K  ]2、数学建模问题

; s) m9 A  c$ ~* h  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
5 T% Y  Q2 ?/ I
（1）数据处理问题
. r% n; l3 U, O: E
' q* ?5 l1 V7 T7 p9 w•①插值拟合
* A& a5 F) p0 X+ T
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
+ [5 D2 ?# E: k: C
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
% ]+ b1 E7 L4 O9 `/ K# l- o$ h
) p* ~$ H$ b. p% K- J•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
3 I! U6 c+ }, }4 ]( R% ~
, }' _3 x4 \) G•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

- d" M: [' W2 x. r7 G•主要用于数据的截取或者特征选择

- T# ~0 _7 T  r2 E: |: i' G& `! e1 i

# {* c. j, R* j  ~- b* v（2）关联与因果

•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

•②Superman或kendall等级相关分析
# [- v$ O: _$ `% `
•③Person相关（样本点的个数比较多）

$ ]1 l" T5 z! [1 s# l" \8 ^$ f3 V•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

1 t4 W) o; s+ J4 _2 Z- ?4 F•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）



（3） 分类与判别
, S, g" {6 g( z
•①距离聚类（系统聚类）常用

% p/ N& J) O6 _4 \5 y5 a. x1 p3 J! S•②关联性聚类（常用）

•③层次聚类

•④密度聚类

& B: ~4 w& N9 _8 d5 ^' B•⑤其他聚类

•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
# s! Q- }, f2 n. @( r- H
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

+ _8 ]9 a' r- a) F+ N5 F' R1 T•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）

& O# F1 I% `" a9 g



! T5 ^# j  F) b2 M) J2 E/ [, k7 D（4）评价与决策

•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
) d1 Z- g3 R: ?' ]0 R* _
2 W' c% z) n* s7 O9 |" Z' c6 @) M•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
5 }) `0 {- G" L4 o& E+ R2 q
•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

7 O1 X; y. L/ f8 n* W•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

5 y* O/ ]. U# g+ W. ?% K' P8 d' @•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
1 p& A! y. U. b4 X/ ?
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
! j% F! C. s5 {, T( ~
  G9 f. z" v/ T) D* G6 n4 K: W4 `8 N•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
' M, F, j) x$ Q' r  M( M! r
- n. S& T7 i* o- y% k•⑨方差分析、协方差分析等
/ G8 s. K6 E4 W: d/ |: |& K
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
0 D: B1 |; I4 E
) `& x; [7 \4 o, v7 ]; p  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
  d# k7 t" x, B2 B6 |
9 R5 ^! S: q/ r! {
  d/ g1 X7 }( W1 `/ a! M
- D, b, c" [0 M4 X; h  t

（5）预测与预报
+ m5 J0 i: M* g7 k


. A3 H- S; s1 w) V1 k9 l/ R•主要有五种：
3 t. o: ?1 D9 j- K8 R1 Y/ A
( S. h1 w/ q/ \0 A4 ~•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
; _& F3 P# U* r& L  m+ X& S! |
, s$ F9 a/ m: x4 V7 [8 ]# i, }, D6 W' G•大样本的内部预测-逻辑回归
* W$ G+ H4 B+ M3 Z  z, l# I: T
. t' k) m% I# s! e! V; Q9 V& A# F•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
' L# Y7 x& T7 `3 ^* `1 X. q' ]
•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
' H" Q& g" ~; W3 J, i4 V9 u' e
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
( x& J% W: d. s& W' T! R
. a! f' W. t. ^: [8 R
; I% x4 H3 D* |3 S# G4 w
  W- N& n* ]& J6 ^& \  r: s•①灰色预测模型（★）
: n1 B/ G& {6 l- c* m
•  满足两个条件可用：
0 o& V' [9 S% Q& j0 h
•  a数据样本点个数少，6-15个

•  b数据呈现指数或曲线的形式
) N0 a5 z1 U7 ?" w( m
•②微分方程预测（备用）

- z4 N# y3 p( @# S• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
+ ~/ S0 V3 ?" X0 T6 O
3 x) c# P6 N' u" }6 S, y! K
6 I, o3 ]# _8 H! V
•③回归分析预测（★）
1 F8 H9 a9 C' V0 O- z
•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
" L; {( g' _7 k8 ]
•  样本点的个数有要求：

8 e5 V' s$ n& a3 |  f•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
) n3 l& f) ?6 J" L. M4 b# G
' J8 s5 T2 T% B6 z) g& J; H& l•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
3 C$ ^: `. p: M! @
/ [! b1 |* r4 l  R* _. s•  c因变量要符合正态分布
0 V3 y4 i0 Y7 g, \

8 z) F1 `1 X6 d9 i* j
- i0 k: @; p% t. }•④马尔科夫预测（备用）
" Z) m6 ]% t3 Y) f. J: ?0 F
  Y, I! |/ u" O+ U; B. S! q* J•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
6 v& X8 C$ E+ ^6 D, ]) p; ^: U2 d+ q
  M; X: y% O- z0 \* m" O, _2 t

•⑤时间序列预测（★）
1 N* K4 N  \4 Q! U
, a; Y4 J- a, ^# j- v% S•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

$ ]2 b; M1 ~3 I, D9 m! E9 |•⑥小波分析预测

4 x% }) C2 Q5 [% ^2 l: z•⑦神经网络预测

8 Z2 e5 {: c8 n8 h/ `, Y! w2 W9 f, f•⑧混沌序列预测
  V1 o  X# m7 b& A3 j# M& p/ W

1 L1 G5 B8 {) u& j
（6）优化与控制

# q) d2 x9 D2 A) }6 u( X4 S! Z9 X•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
* V8 K0 b( _! q: ]/ i
•②非线性规划与智能优化算法

* [- Z1 }( n( A2 S7 ?! V" i•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

•④动态规划

•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
, y& c3 q. M: Y9 f
' e, h, F& n9 E2 X$ t•⑥排队论与计算机仿真
% Z9 f/ ^- ]) M3 |$ Q
•⑦模糊规划（范围约束）

•⑧灰色规划（难）


, G" A8 @6 D& o# T( v3 J) P: z
9 }$ `1 x: t" R
( `' v9 }" F2 Z# [: a, f