数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
' A5 m- q( Z8 `8 O2 ?. S
1、建模步骤


3 n( ]( v( [! l: W% a& D4 p
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

# ~) \5 C, u! [! \" ^5 U模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
6 T  m( O; b' M) C+ A/ q$ A
% r3 K0 e' Q5 [3 a8 ^) q6 b+ w模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

) u3 y+ R; T" R1 v0 k0 Q2、数学建模问题

$ d7 Y' `  C! A  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

% [2 }9 B* }- |* \0 ]+ o（1）数据处理问题
3 M9 j# g  E: q
2 m" V% h1 E# P5 q/ v•①插值拟合
* p2 |+ |  M- `" ?/ _3 ]3 J+ y: q
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

% E- F  i" \8 m$ O•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
# k$ o1 ]: l1 `# O2 H4 W! N2 p# B
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
9 \8 f, e' p+ K% Z" h! c
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

1 W3 [  d& Y' Y! e( G% n1 l- f3 I•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

6 y, `2 I6 ^4 b9 F( G4 ~! _•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
) l/ C2 `  S: K( M) p
5 ~) S2 t. ^) m) ]: B•主要用于数据的截取或者特征选择

; P; x" ?7 h3 {) ~

7 S) H- Z' H' @* o0 h: h（2）关联与因果

•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
3 l( m, _& X( R. B- c4 v1 ?" g2 z
2 K) `* p! W& g+ g. U: a•②Superman或kendall等级相关分析
9 s$ X& r. `0 \" N4 b/ ]( m
1 d+ B$ {% q+ m3 p, n2 A7 K- q•③Person相关（样本点的个数比较多）

•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

$ C) L* `5 [0 u+ K. Z& o2 h" i6 ~•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）



. {2 h  n- A- w（3） 分类与判别

•①距离聚类（系统聚类）常用
; H7 s# d0 _/ _# P
•②关联性聚类（常用）

0 {  Q* e- L3 }- h3 R8 {, c( `9 O6 H; Y! c4 e•③层次聚类
4 [. h* \  e, r4 }2 H% `
" f6 Q. n/ J) F) L: t•④密度聚类

•⑤其他聚类

•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

5 |( _& ]2 O+ x/ v•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
0 e$ O4 ]( P0 S* K* `) _7 K
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
+ G! }- |$ h+ v2 O$ ]; L9 J( B4 s

" q2 i! |2 H" }
* |* s& Y, _4 A/ Z5 h
/ D1 }" T1 \/ ~9 ^$ ~
, P. S0 _0 d: C0 x0 a7 g（4）评价与决策

3 y/ U6 L6 n8 {2 F4 K/ M•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

2 y. F% T: X+ Y9 z•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
: V- E8 I0 e$ o. ~! y. V
4 P$ y) e; v# C3 N+ S0 I. p* o•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
1 S4 p  y7 I: ~/ x1 y
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
$ i  b2 _1 H3 |4 m6 o, Q! O4 B/ g
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

) m, ~+ p, K' L4 j$ [: U) n•⑨方差分析、协方差分析等
$ Z% h) A* |& y6 J0 K, Z! t* K
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
  S. ?8 P( [" u! @( _+ m! F
  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
& ~0 G- o1 F  ^) x- a$ F
$ D% ~/ x7 D/ _% V+ R
- v+ w5 \( `; `1 l7 m, i9 v
9 O, q4 x4 W/ F

1 A9 w/ X( {' d+ C（5）预测与预报

) L( x+ j6 X9 N
# J* V# Y, Y$ B3 n/ |
& D8 C. m+ ]. w# x•主要有五种：
) i- q3 J! _$ E0 O( g9 n" U9 F
3 p' a$ B" B( ^* j" y( X•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归

5 `8 ^( n! M5 i0 K; O) c$ [% ^$ {•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
: |9 W; Q; P4 M: k8 j5 P
+ _0 x" y$ z& U, n0 [•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
, A; E5 ?. h9 T+ o
: s/ A5 ?; ]6 E: ?0 z: k
1 v2 r+ o$ t1 H, T% l) `
•①灰色预测模型（★）
  j# w6 n1 I4 Q5 \3 r
' R! I& y: G, {•  满足两个条件可用：
' Q/ o9 F! S4 |1 T/ e9 r, X
: C! T; j7 F9 [3 j8 T•  a数据样本点个数少，6-15个

- @) W0 J+ N% ?0 {•  b数据呈现指数或曲线的形式

& r& c1 P3 O4 c3 ?3 z•②微分方程预测（备用）
8 q0 t9 S  e" z, K* k( U7 Y! d/ z
• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
" h5 k2 y! m: m

5 G0 N$ @3 a; d9 d3 ~# i. u1 {2 n
2 c0 V; A9 ?! W5 Z- Q' r6 e% H•③回归分析预测（★）
, g  Z0 o1 y. N& @  ^2 y9 p
# ?5 O7 |; y0 e, b0 A•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
4 U" z' }* T4 P* k4 }% c& S
•  样本点的个数有要求：
" C: |# @4 {, L
0 F+ P; q) S8 U3 c5 V•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

•  c因变量要符合正态分布


& g0 g+ R. ]" Z( ?" ^
•④马尔科夫预测（备用）
# W9 E) @8 L, i, w
0 z2 w& C# ~* `- C3 e1 S, E•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率



•⑤时间序列预测（★）

•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
3 X" E9 _& u- v0 g6 Y
9 J+ D! [4 A  v; A, l•⑥小波分析预测

•⑦神经网络预测

. h7 v2 K4 d  J$ h. Z( t$ j•⑧混沌序列预测
% S3 K# B* j# b, Q5 D

# K3 n6 H) X9 c0 ?# w
（6）优化与控制

•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

* L4 N& ?" l' O' i4 j  U•②非线性规划与智能优化算法
3 F( F5 p9 y" S+ j4 p
•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
: ]* {; ?) T. E7 F0 Y5 c
, P9 z0 u4 M! d1 o1 Q- E•④动态规划

2 s" H* @0 X3 q# d" M•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
+ @" {* I% i" J" H4 W( C
•⑥排队论与计算机仿真
3 L7 s/ P! ]& B. q: z' @1 L
1 S$ J9 S8 }: C! |- X* w•⑦模糊规划（范围约束）
' U' s, F! x1 ~: |, y
  l0 h2 j$ h* y: |) r•⑧灰色规划（难）


$ `4 r0 T+ T) j7 q; E
3 Y- w' @& A) |" f
$ J" [; P& x7 H  p& M" {; w  E4 l