数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

1、建模步骤
' Z+ t  c% L- \
1 J+ E: h% o8 _) w# e. H4 J9 r3 ~

模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

1 s2 K# Z& e* r0 F! W* |! Y模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
* J9 J; L- R* `. o$ }; Y& C: p
7 m5 @7 O! u/ [* Z  d模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

2、数学建模问题

  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

（1）数据处理问题
# N9 I& ^( \  Q5 ]* {. m* X
•①插值拟合

•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
% \: W* r5 ]2 n4 V
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

% R' N7 T7 k7 z4 A+ D•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

1 t+ e2 k+ V2 W( h) }" N- n  x•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

; x6 ]: }7 I6 s+ o- A•主要用于数据的截取或者特征选择



* R8 z1 ]6 r% L  g2 b' D% H9 R: a. ^（2）关联与因果

•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
. C" M4 w9 s( U  O
/ U. s0 `: ~' k6 H. P* s% p* @; q3 x•②Superman或kendall等级相关分析

3 ]5 E9 |2 k2 ^, N# N•③Person相关（样本点的个数比较多）
: z. `: w- a# ]. [
# b5 J  J0 b4 \! l. L- ^1 k4 M1 s0 ?7 n•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

7 I8 ^6 ~$ X7 r! e1 D% E9 b•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
/ H7 H& x1 ]  M  D


（3） 分类与判别
1 N3 c3 i  E6 t* k
•①距离聚类（系统聚类）常用

•②关联性聚类（常用）
3 z6 T0 q  ]$ a3 v1 O
# c2 s5 g. S& p0 U0 b( _. k! [! T•③层次聚类
3 B* ^. R) l# R7 r# n
6 E  ?- F; X) \! t+ p& M•④密度聚类

•⑤其他聚类

•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
7 |  f8 m$ r- L8 p$ c. M
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
# ?( U$ |5 N. r4 D0 G( X
/ ^8 @; g+ u7 W1 o% H% q( ], E•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
: k2 ?  u/ j! Z* J, [; m% d+ i* f
/ i8 q0 M5 a3 {


, F6 L! F7 M! D* L5 t% T5 o5 g
, ~9 x- v5 q6 J+ _5 x/ X（4）评价与决策

•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
; r4 U8 f0 B* E/ o
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
) z- o0 X  t3 X8 ]! F. q
, u7 g! a- P/ h•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
" q- [$ e+ K4 ~- ]3 @
+ S$ C: Q" y3 H6 y5 F6 H! ~( e; o•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

: d- r, U7 U1 F" b  p% u; D•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

/ f% B5 ?5 S: T- P3 [•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

8 ^" b5 F8 ~( A+ W+ B4 Z•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
% @1 _6 J% e0 O$ u' e
% j! W" p) E4 ?" g•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
& t( a/ T+ r1 m7 \
! G  S# M$ V, h5 y•⑨方差分析、协方差分析等

•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
$ W1 \9 o1 e4 L! m% `( a6 D
  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题

- e3 `4 z9 J- |; o0 @; E



, o( y  w% N  n- Q7 U（5）预测与预报
) k( N9 h8 D; d/ F6 j' u1 a0 p  j
/ i0 w* U6 u8 }: I

! h, _& b" L6 d6 P•主要有五种：
, A4 r* K7 ?" e( [& Z
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归
; F$ `# h$ Y9 _+ y/ G. u
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
! J5 K5 B4 q8 D, t
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络



•①灰色预测模型（★）

9 {+ M, C+ h# y: N$ Y9 T•  满足两个条件可用：
1 i+ ]" Q1 y- I% Y+ ?
•  a数据样本点个数少，6-15个

•  b数据呈现指数或曲线的形式

  \( Q, Z. \' {/ {/ y0 ~& _•②微分方程预测（备用）
' {2 T9 @8 D9 a4 s. a
$ F' i3 m! u( @& [# Y• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。

$ h. H! Q" `; u9 ^* D, ?) ~, X

. J3 k, `( T, e) p+ h7 T•③回归分析预测（★）

8 z9 G3 Q0 s7 d4 F•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
0 c, x" J3 K7 N# I
: ~, J2 {- w; w7 a7 \2 E3 s•  样本点的个数有要求：

) v0 \; X  P5 C: M3 T! B# f•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

•  c因变量要符合正态分布



7 k" U2 ~2 R7 R5 n* O•④马尔科夫预测（备用）
) K2 ]0 o" J% H3 c2 f0 D
•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
& s* K3 W/ ^: ~8 t- e

2 r6 G" J  }& t' o: Y. G+ \, F3 S" Q
* D3 u* \5 f  e% A•⑤时间序列预测（★）
3 L/ d* N+ K* B( t% N/ n: _, h
•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

5 |3 }5 D" s; q) X- R9 I4 j: P•⑥小波分析预测

•⑦神经网络预测

•⑧混沌序列预测

1 r. c0 l% O& U: T& a8 h
) k& D# x: ~- b+ n$ T
- ]5 \, ]3 C5 I（6）优化与控制
' L. U% ?/ c* d. c
7 t: ?2 k5 E9 S+ n8 x•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

8 R' G$ L: n$ G3 g9 |! O3 V2 d/ Z( `+ S•②非线性规划与智能优化算法

•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
  u3 u1 o& P, r
•④动态规划
" w4 h. s" G* ?7 B  T
, ~* M. K( E8 r•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

- i8 u5 P/ {0 \4 j, ^5 W; a•⑥排队论与计算机仿真

•⑦模糊规划（范围约束）
# B4 u6 V' Y" k. @. R% K: j) [
•⑧灰色规划（难）
0 E1 ~8 l$ h1 R8 Y3 B7 y
0 I) k: w8 l4 D2 ~7 ]  {
1 p1 B) Y* P1 Q) u