数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
, ?9 _! d- l* z( e
1、建模步骤
2 E/ m  T2 y( s9 X+ M: o


模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

+ J4 {0 r. u7 x6 o3 _" H模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

/ Y" k+ x7 A% f2、数学建模问题

  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
( q  L3 v  c9 X
; n- r# o* G$ |+ |% y- {% F% L  {- ~" q+ i（1）数据处理问题
" T' }6 a# h7 o+ C. _  ^
& J# `& J9 ~* x9 w( z$ G•①插值拟合
1 \- J/ w2 D9 E5 i
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
% U+ B& x3 m2 _$ F( A7 g
: q! L7 y2 X$ N; o4 @6 \•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
7 j, \, ^* q! M) Y
  o1 b, b( A/ p) Q2 R•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
2 h6 t5 g+ P9 Q+ J  Y3 h
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

+ g; B$ ]+ @8 {8 @•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

+ R  I. ~6 i$ R•主要用于数据的截取或者特征选择


( N& n- }5 ?" D
4 z$ h  W& q  A) H5 F* {* i9 _（2）关联与因果

•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
: C* e* v2 R/ c
•②Superman或kendall等级相关分析

•③Person相关（样本点的个数比较多）
0 N0 R$ Z4 l) s1 l: y& n1 s
6 M7 q) R9 v- D# F+ f( r& p•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
1 V: o! }; V: B! w! G7 \: A: h# G
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
% }& H) o9 y0 m! d5 u
8 ^/ I, ~1 ?0 ^6 F

（3） 分类与判别
) D! Y. F" t8 W( s: c
6 t3 D: A0 u, q9 D7 X0 c; s. N•①距离聚类（系统聚类）常用

" S+ E9 O  e  o' U  L( K6 N( m•②关联性聚类（常用）

- ~: |& C$ `  Y  s& v& C- k$ }•③层次聚类

2 X9 g, q% A2 z$ U•④密度聚类
1 N8 ~1 g, |2 j' C
•⑤其他聚类

•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
; a; F* V  B* Z: `5 {  z
! U% G1 P: E+ K; i$ S8 L* {2 ~•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
3 X3 }1 I( g1 n( M& w# `( u6 d
' S2 w9 q- u8 M! C. c$ C$ t•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）



: E+ X# x/ V- K- v% m

（4）评价与决策

) z/ ^# g: c* D•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
5 t; F# v9 _: i* D3 ~1 p4 n
•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
) H. C- K/ Q) t7 @* k
•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

! @6 D. W7 P: F% G: J" h•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
3 m! Q1 m$ k, S$ p2 I
4 |* _+ m) K! ~/ ?•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

3 H) A4 k1 Y+ a2 Q; n3 g•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
& F' V! I8 ]4 K6 X' N2 Q# M2 O$ H! D
•⑨方差分析、协方差分析等
0 c. ~, D: I9 K
! x; L6 \* A& p1 v: j6 m/ x•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
4 V/ M0 ]5 v& X. X
  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题

9 R3 }+ u% g& v$ c- G# v# ~+ F

+ e* V/ A2 N+ k" H* `

$ X4 x3 o* J2 C+ S0 ~（5）预测与预报
7 h9 z# G& ?1 X

) X) v: K* n) ^* ^$ y  Z# O9 a) S
% C+ C% k: }" b# q& j( }•主要有五种：
, x. K" H' }/ s; ~& m0 u* p. ?  r
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
4 ?5 \; k9 X0 ~/ ?
8 Z* H$ g/ d8 b8 n! [; i•大样本的内部预测-逻辑回归

3 H7 x* c: m: G( z# Y•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
7 Y/ h3 }) w7 ]* u' x3 K
•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络



•①灰色预测模型（★）

& J( s* j! x* i# F•  满足两个条件可用：
% G# t. Q3 D5 h
, s7 _& J! ~9 ]8 n) ^2 E+ S•  a数据样本点个数少，6-15个

5 v( X( V9 ~7 q0 n/ S4 _8 t•  b数据呈现指数或曲线的形式
# o& z$ |" b  q- l: m# j5 k6 h  C3 @
. @4 _) \* ?1 t+ I6 o9 j4 e6 d6 A•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。

7 _$ Q0 Z# P2 q$ o; F+ @3 _

•③回归分析预测（★）

•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
! j7 _) O7 N4 i$ m/ P
) V* h  J* Y+ M•  样本点的个数有要求：
3 ?( y! q9 V& N9 `
) R4 x" [* r' C* x•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

/ d3 q8 Z' N4 P7 z2 D1 D•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
, i# W/ z  @2 t3 f
+ P( \4 E0 C' T% X1 h' ]•  c因变量要符合正态分布
! r* n+ ^" q; I) s: Z. j% V
. u# d1 j$ r: i9 [" C' ~
& F3 L: F0 Z+ E' g0 _
•④马尔科夫预测（备用）
, c2 T) v$ C, o2 |# d
•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率

5 ?  s2 Y! I2 t' i! a7 B
7 m$ E7 C( v5 w4 ~
: ]( W% J7 a' K1 J4 d0 B+ e•⑤时间序列预测（★）
1 m5 a% C5 Z' H! C6 Q% f8 J+ _$ Y2 ?
•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
' Z1 \5 Y( V; [' W8 J# ]/ B& ]% {: S
•⑥小波分析预测

- A3 g8 @) t4 t3 B) j* }2 A8 a•⑦神经网络预测

•⑧混沌序列预测


& A9 T( X$ b( V0 N) U
$ F8 \7 \0 Y+ F2 \（6）优化与控制
0 N8 g8 Y3 p% g: |9 H* m) C
* [4 I1 A( G- ~- O•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
. f$ k$ w  g) ~( h" Z! l
•②非线性规划与智能优化算法
. W" f. v: c9 }' \+ h( N- I6 u
•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

•④动态规划

% e, c2 P1 v, z0 h6 M0 Z! X•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
% Q' ]. S/ o) p7 I) G3 y
•⑥排队论与计算机仿真
  ?7 _0 L! q7 R" h" X. @$ }
( ?/ \% X5 r/ U3 g8 [•⑦模糊规划（范围约束）

/ _/ b2 E! l+ f* {' }) M•⑧灰色规划（难）




; e$ R7 [; j2 `1 }7 C5 D& ?- N