数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
$ ~: d; y# o9 B( y( i
1、建模步骤

0 N  e; A0 ~  B* j0 J( n+ M

模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
; r, }3 O0 C" ^( V# l; w
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

2 w2 z" ^6 J) P7 U5 g6 e0 [模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
# @) j" U; Z; b( h
5 p( N6 ~& f6 G7 ?& X: {, s- d2、数学建模问题

  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

9 d1 S1 Y8 `# \: T- W（1）数据处理问题
8 Z  U$ i6 {8 K# U  m$ ~
•①插值拟合
/ x9 \+ F9 n% L' J2 n  ^
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
4 B6 u. n6 O3 B) L
" N# T9 E( c- U2 Z  w6 E/ k* L•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

; N9 v7 p. j' x- V$ r•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

. j: G' T, o8 c" i  Q/ A•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

# x: H  D9 g7 ?7 A  ~•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

•主要用于数据的截取或者特征选择
7 n2 D" a. ?; |* }! G) A1 v$ w


( |7 A6 _3 n, E& g（2）关联与因果

7 [  g; k$ t! A•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

' \5 v8 X! v9 {: O' ]•②Superman或kendall等级相关分析
; a0 [8 l# K  t
•③Person相关（样本点的个数比较多）
; \, {$ X+ {& c, Q0 y( M+ h) Q, [
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
# K% W" T! A( }6 @. g
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）


& M$ P/ F( w. n
& r& ]6 [8 }7 ?" O1 @6 t（3） 分类与判别

•①距离聚类（系统聚类）常用
" ~$ D1 k5 f. M0 f/ B* R& P
•②关联性聚类（常用）
; A7 _6 Q. y9 I6 b" q( S6 R
•③层次聚类

* A1 t; R( r! m. f+ l/ M•④密度聚类

( j6 d( n3 c+ u( {•⑤其他聚类
8 _# a$ @4 n' f" ?& m2 X
: B( Z4 L/ ]* H% w1 X0 Q6 G•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
$ V# _7 {% Q; p. `3 }0 g# o5 Q9 j
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）


8 ]* b7 K* D" X4 \9 M1 k- O' V9 o* [
2 F3 B9 }5 k; u1 W5 J+ Y7 Y

（4）评价与决策
+ W# @9 R, J4 [$ c
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

  W, \; Z9 n9 n/ g& s0 L4 A6 T- b% L•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
8 q$ F7 v- b. |- t4 F
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

$ w1 `  }% k* a6 J# `. Q•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

( O; r+ t- A( d' X•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
% z" @$ K+ n; R% p  @5 H0 m
+ }$ D2 w4 d9 v  A* c& L# C+ X" n! z•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
* M( t( x( X! ^3 C! f( ]( ?/ |
•⑨方差分析、协方差分析等
, b' M- _' ]: Y  f- S
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
4 d' g0 q' u9 B% R' }" _
  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
. c7 h& N6 S9 ~

$ }7 M( D( W) a

' m: C! J8 z8 V3 k- `0 [1 A
4 `9 B' l4 q5 C2 Q5 _, w6 a6 [# f（5）预测与预报


" U$ K( U2 D) X
•主要有五种：
3 r& r$ \  ]! |9 P) V8 S( F
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
, R9 l& e1 t5 d& c/ Y2 X' K
: p' o/ R. g1 }) ~! w4 f•大样本的内部预测-逻辑回归

2 x, c) V- W6 @6 }•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

  f4 |7 v' \5 D) N  u% k! ]•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
# _+ @/ y) ~3 Z/ ^9 z( ]4 C. ^' f3 ^
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
/ |' P2 k& I2 m2 I) r- K; Q3 Z
4 S9 [/ K" [" y) d$ y

•①灰色预测模型（★）
7 g: g- ^, ^: Q" C( z
•  满足两个条件可用：
4 E6 u, r* L, O) y% Q, S
•  a数据样本点个数少，6-15个
+ o" ?/ k1 I) l
•  b数据呈现指数或曲线的形式
$ I8 m/ a6 q8 G8 {5 r
4 }* C  ^* X5 ]8 ?/ a' @•②微分方程预测（备用）

- ~$ N* k( \1 j; w5 Q! r" ~• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
) `& R- n% j: t' a: i' r
7 S8 o/ }3 _  S/ ?. g$ J' G

6 F* r7 a$ ]0 [: e9 C% N8 ~1 g•③回归分析预测（★）

•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

•  样本点的个数有要求：
$ @: b: p9 d  g9 c0 q& r
•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
: Q! M9 I4 L: o/ Y
$ f* ~  n3 ]+ ?$ Q# E* _•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

•  c因变量要符合正态分布
1 p( K$ i4 d$ S
0 t2 u8 ?' `! [* @5 d3 E- X" k' ?

0 C; w3 L' S, }•④马尔科夫预测（备用）
( b7 t0 E$ K0 N6 p( j* j. U8 i8 y
•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
4 X- v/ ]) c; ^- X: r9 Z- D


# i! F0 @. @% u# e; [3 `•⑤时间序列预测（★）
4 F7 A; k' I) L: m7 X
: K6 @' E! n8 v  z  E; @•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
* v4 }' f- `# b( r
+ b& m# @$ W; c6 T. x•⑥小波分析预测
" _; y) D; `# f0 ^* Q4 Z6 D: r  y
4 i# Z: T& P2 ?" [•⑦神经网络预测
( \! _" o9 `: z0 E4 ]5 O
5 e- {: a( q4 Q$ [1 O* A•⑧混沌序列预测
4 y' B6 K8 ]) ?. K9 i
7 c' [7 f. S, y( C" b

+ c" L# V  @6 D（6）优化与控制
; f# C$ i+ ]; i% d( B3 P
* J5 M4 v  F9 [  q$ y% p•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
3 F- f3 c: O* j
•②非线性规划与智能优化算法
/ g8 Q  V5 E9 W* I( J# ~+ s: K
•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

5 z" V) I. l8 l- ]! k5 `& E  e•④动态规划

•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

•⑥排队论与计算机仿真

# |+ J) P4 H! O% D3 F+ E•⑦模糊规划（范围约束）

3 E/ n( J6 y5 [# [% e  z•⑧灰色规划（难）

' t* H# U; r* \) p
. r' o* d4 V, l8 p6 X' s( y

6 W0 v+ s. U: M1 Y" ~0 B