数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

! d; f; f3 c7 Z, t. D$ m: E) C 1、建模步骤
- [$ s3 `1 d& f" b9 x

/ _! R7 M8 w) D4 S3 f
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

. {7 M7 e& }, I- G( l* W/ I模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
" `% D% T4 b' f, @
模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
' |& q# D% O# [  ^2 c0 @( t  r2 G
2、数学建模问题

5 d4 v* X1 m: D, _. q- W  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

（1）数据处理问题

•①插值拟合
3 i! B  ?1 J0 Y! C5 q7 n7 t% {
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
/ r) X5 C8 i/ i, r; C
9 ~1 q% y, V, C6 J( b/ ]  p•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
4 ], }% R" j& J. C: ~" P, S1 p
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
' r8 h( f9 s+ ]
( \0 W4 a$ r9 j•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

•主要用于数据的截取或者特征选择
0 T  `1 N6 ~0 i& `' h! m- c
3 |- J9 z1 ~/ L% A

2 }% a. l$ \; ^: t" n  e( ?（2）关联与因果
  u0 V7 s! k' ~
" C# C1 O: |5 q& T5 g•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

•②Superman或kendall等级相关分析
8 Y' ]% b# p/ N/ U
•③Person相关（样本点的个数比较多）

# P  y8 g3 |9 g7 U* [- p2 F•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
) x9 v4 \5 w$ L. C5 b; d$ X
5 \9 z& v( J8 \( i5 ], X" }•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
% L- u  J; h0 f4 T" x5 D

; Z+ s  E$ [- h( a% B* {6 J/ {
（3） 分类与判别
( d6 W" ^) B5 |- ~6 V: k
•①距离聚类（系统聚类）常用
: s* O$ y' ]- \, s6 e
; |2 J( r& ^, X6 r( e•②关联性聚类（常用）
3 H; w) Q; |, O% B, `
1 @9 c: j2 g; D- [$ P, M•③层次聚类
, _8 D+ B9 C; [6 W( @( l; i% `
•④密度聚类

•⑤其他聚类

' M6 X" F8 d* F; T8 W* q& m•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
7 l$ W( z6 ^' l8 ~- c' ^* r0 o& @
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
7 c( @2 o* l4 q2 J
, {4 {3 g  E+ i  H# i0 g•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
; k6 x7 T9 l' M, W6 y! }  G
: |  d) U& O( `2 g0 w/ M. r


  g! S" I9 r* l9 p
& T  L7 ]' S: p/ c) v" z. R, W$ D（4）评价与决策
2 U% c- i9 Y$ c$ c- b
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

, {5 U- N/ M* e8 V6 P# d5 Q5 _•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
) Z( w6 i6 l* F% u) A
9 [% H6 F; [. K3 W' j: g•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
2 U3 s. S' @7 b' @$ P9 |. r
1 F% g, B+ A! I* Z! g& [$ @; `; {( c$ j•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
" z, L# w/ F8 F8 W$ J1 z7 d( \$ Q
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
, n# L  B4 g, m/ }$ z% z
. z/ h! U6 [4 l•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
$ d' c+ L" g: D8 Q! F' [
/ L" y4 F; |1 Q•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
* i1 n. C7 w7 t. v
•⑨方差分析、协方差分析等
( x( @) H& C4 U& m$ ^& H+ v% V
/ i) q, y" r5 ~! l4 j# z•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

4 A$ Z$ ~! l, [" @7 {0 z  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题

: R& Q3 x0 H$ ]/ {" h

9 ?( a1 B5 c* e! X- _/ P! v7 ?% U
$ H+ [  U2 _: U
（5）预测与预报
% v$ O- Z; U8 {( c2 C6 l2 y& F2 D

) M3 @# W5 m" N2 T% x
•主要有五种：

+ \8 d  h& a% f6 z- ~; h& b* T•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
% x$ j" W* x& \) W
•大样本的内部预测-逻辑回归

. r1 r4 P8 K# j  G- v•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
9 C$ C  m8 E1 h0 H% T! q/ `1 I
•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络

/ P! c) m$ U, `: d# c

•①灰色预测模型（★）
8 r2 }; \( P2 W7 S
•  满足两个条件可用：
; m4 r2 i, c0 Q2 m+ X
" B, Y2 ~" h/ u•  a数据样本点个数少，6-15个
- O' T, ?9 C- n! ?
•  b数据呈现指数或曲线的形式
: n  I. x$ q1 P! ~8 r  C1 @
•②微分方程预测（备用）

6 Q8 z% V$ e2 w. u• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
2 \9 g/ y0 o  N! w9 K# F" K% i3 ]5 H


•③回归分析预测（★）

•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
3 t7 k" m9 Y2 @* f6 K4 x" d% }
8 l$ q! S8 T8 I•  样本点的个数有要求：
) o4 K4 c$ C' p7 j# r
•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

3 [3 C6 u* U: ~* i•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

+ V/ V, ]- V$ i  {; B! R•  c因变量要符合正态分布


1 }, L" S! \: H
) }0 J$ W" x9 d1 ]9 q8 i/ |•④马尔科夫预测（备用）

* y, x7 ~8 k6 H8 }•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
% e0 m. [1 s. t
; Q5 O. h$ T# X8 h* [
/ L# _- P) a, `
•⑤时间序列预测（★）

  \  _6 T6 f) A  S+ _! V•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

•⑥小波分析预测
% z# n8 c7 x) z+ K# |
•⑦神经网络预测
/ U' @% T1 A* ?4 E9 Q- t- }
•⑧混沌序列预测


1 `! Y, H7 g% [% G% D
$ N8 Y5 D/ f" N. w5 C" {1 {（6）优化与控制
7 U) c, F/ t2 B2 s% g$ }1 X
  ]+ x; R$ Q- I3 A: T•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

•②非线性规划与智能优化算法

0 n/ u  a) C5 q  B  R•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
: Z" [" p& D4 l& r( [
•④动态规划
8 U2 F4 Y& U& Y- y: H0 t
! c  D' _% {4 o, E9 p- L  B+ b6 X•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
, R# N! d. F8 A9 y! [5 ]
•⑥排队论与计算机仿真

% `3 ]& M# i- f7 x2 g& D•⑦模糊规划（范围约束）

•⑧灰色规划（难）
& Z5 v* M1 o, b" S5 ]# |
# g5 G( B5 `5 I( `$ w
; Q% I) d$ q8 m; Y

' H+ g' [% w1 S. ^7 J