数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
8 H- \  ?, h4 t$ p1 i; N
  k( y7 O+ l) w6 W7 D: q4 G 1、建模步骤

/ V5 V* o$ c* f9 z& v( M4 h
! v3 w- I: s! k: j/ H
& x+ l$ j/ s5 y1 Z# u  H7 ~模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
4 w% {0 f% Q4 j* T
. b. o& r+ S+ k2 M模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

; R( I7 y) p; t/ _1 C, V5 X模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

& ?3 e7 k6 o7 x4 Y3 x/ ?3 M8 c2、数学建模问题
3 j+ r, y9 d2 F) k* D0 }) ~% \9 q* t
4 }( b' |: s  J4 G8 [  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
7 [4 r+ A% f( M  P
（1）数据处理问题
; x. n. e& ^+ v
•①插值拟合
1 d5 w4 e6 T. F8 L/ n
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
( X2 V( V# j% {+ @: ?0 P
+ Z: p9 w# L2 z% Z. s( q•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
4 h/ Z4 B( @4 U1 D) P) S
3 {  a! i. F4 \1 D0 A# v•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

8 S+ G8 r! w: {; n9 z- K3 X$ e•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

, w' P% m' c* Z  M; G•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
1 U8 v& \2 o/ H0 G2 P5 V
•主要用于数据的截取或者特征选择
1 Y* }2 r' y' h! W( M
. z/ q" S3 I* e# P' g

6 G3 ^- i- }3 ]5 z- [4 U0 B（2）关联与因果
* h" K3 d" y/ u
•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

) J1 l, t. [. O. ?2 x2 m•②Superman或kendall等级相关分析
, C' K; T, c- M7 s- c6 R" j5 N
* _5 Q" T( d# W1 W•③Person相关（样本点的个数比较多）

$ H+ K  H9 D- o! a•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
: g5 Z: R' \3 x1 \3 O

( s) c, }- z9 B9 q, I( v. N
（3） 分类与判别
8 q8 j1 d$ I" I9 u+ F
•①距离聚类（系统聚类）常用
3 }+ Y$ @0 C! C# U
•②关联性聚类（常用）

" O( ]) ^3 C# Y7 ~•③层次聚类

•④密度聚类
7 }; d4 J2 F! X: b* N0 r- _( s
9 r+ h- [6 N3 E: ^4 B6 ?* g  ?5 ?•⑤其他聚类

•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

* o7 P3 T8 h$ F8 [8 _# O! l•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
3 l; W* t. G- x/ Z" b3 F; |; D- ~: F


3 B" w. g5 b, {; Y! y! O  @
; _) ]# I4 j* \7 ^. V
3 \" `+ y6 @% M. x7 e" o（4）评价与决策

•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

8 q. \0 L$ i6 G. |* ?•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
+ _; Y) u% W: Q+ z, x! v1 U' M
/ j' l8 }6 V6 F  G( @/ [•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
/ w3 J! G; y4 J& _; Z# D/ N2 r
! _2 A- z# K! S3 F' \0 V•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

' o- E, {# ]9 N; Y# j•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

' i7 E# s; U8 ~4 A1 J) [2 I  N9 u6 ?•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
% ]' a8 c, K' N# G1 G6 @+ `
7 v9 {- m- e5 g" l•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

% i- \* h/ Q; F( A' ~•⑨方差分析、协方差分析等

•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
% B. t" H7 Z& Y, E2 m
  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题

2 `0 y6 u( Q- o% [8 ~
# U) V3 V, O* e9 k6 K5 G
4 ]; x) ?  R/ q! Y) q- _
- c* v6 k& t! u9 k+ G& z( G' ^
（5）预测与预报
  w8 t. ^# O1 f4 M! A5 {' Z: a( F


2 b( T0 ]( v3 T$ |# S, @•主要有五种：
2 J1 C% M' J3 m( D- q! L. h
! c% p$ H. n4 z% ?% i5 K0 b•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归

1 }+ B2 V3 ^1 h. F5 p5 y•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

+ Q& G$ Y5 T7 l1 E' s, ?+ \. ]/ \; D•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

& B2 l$ R  f% s+ `' D& E•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
& j! X  Z+ a. k6 Z* R" Y

# t& n) L7 ?% T+ h- E2 l8 p
•①灰色预测模型（★）

•  满足两个条件可用：

) K8 i/ [1 S1 X. B2 X•  a数据样本点个数少，6-15个

, x& Q, ?, V& \/ @1 o4 y" c; c; B1 u•  b数据呈现指数或曲线的形式
8 H5 ^6 h$ |4 r. o' S6 y! W
•②微分方程预测（备用）
% M9 w8 v" \8 a  F6 k3 V* u$ J7 S
6 y- g- X. ^" X• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。


. S" k$ b# g; f- M8 E" l3 K  o
. i/ b) v! N; G. A( s•③回归分析预测（★）
9 o, |2 Y2 C: g9 ]% p! w
•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
. Y. O( b/ S' v( Y5 b
•  样本点的个数有要求：

- m' D0 z: B: H7 c8 k•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
  v; `3 A/ e/ D% s! k2 B% Q9 l
•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
! |+ D3 J0 a% N6 v
•  c因变量要符合正态分布

: u  B# M( |* ^% d( O8 [& @  ?
) M7 m, {) ]8 b' g2 d9 z2 M- a
+ M0 w( }- t: g+ }•④马尔科夫预测（备用）

•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
/ k0 w- a+ V& l! C
8 O, |  X/ A$ U# }9 `. u2 g5 ~

•⑤时间序列预测（★）

, g4 P+ K" y" k/ s: ?" G•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

+ T( k# z8 L0 N3 U•⑥小波分析预测
! u( Z) j3 v; R! l
5 s8 r' p6 e$ E6 g•⑦神经网络预测

# G$ X/ y. a% U9 x  w  S•⑧混沌序列预测
: _% P: U, w1 e9 u* l' G" f% u


（6）优化与控制

•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

" ~" U& q5 B. v; x; e  D9 [•②非线性规划与智能优化算法

8 U. L& a( H/ T6 H+ Z2 D- P( I- \1 [•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
+ D6 G* }  c7 `) g  G8 N2 V
! ^5 V  c7 c4 T& @, g•④动态规划

8 R; w: `! e& k" m. a2 r•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

! r: O+ a9 z9 l# x•⑥排队论与计算机仿真

. H+ a. b. T, T' ~; }5 D1 F6 k; D+ X•⑦模糊规划（范围约束）
/ i& X2 `3 J+ V) U
•⑧灰色规划（难）
" B" H$ {; A) @6 [4 v" g7 j; A

$ X+ n' j  R* D( a/ x- {