数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
& {, J1 g+ t6 W& [: U( F. o
, i1 K2 c! L. H' n8 r9 I; m9 { 1、建模步骤


0 ]+ o6 k) ?$ o5 i2 |9 c% }  m
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
& r( v9 M+ i0 d, }: E1 b
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

7 J% B. ~! [- ^/ B: |2 A4 S8 S" j模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

2、数学建模问题

" Q' k+ @/ S8 p, E' r0 F" R; W  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
  ]3 C7 K! {+ I- ~* z5 V
（1）数据处理问题

6 P' X5 g5 l9 }- [•①插值拟合
7 x. G7 ]4 L1 g/ n3 t- @6 u+ I- B# p3 N
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
# A4 g8 ]" p! @" H! F: y
: _" i! B+ \0 J0 e- ?& a: i•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
$ Z3 e1 ~3 z3 n% _+ S% ~8 k
/ h2 `% a) A& F. p•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
/ `0 c9 O: j' l) K+ h. p
' c& E# p% a) Z5 N2 L4 c5 o•主要用于数据的截取或者特征选择

1 o7 \) }3 w# c' i8 r

（2）关联与因果
& f. F7 n; L8 u& N- D  ~9 i1 ?
' e1 I: n( I) N5 z( Z# f•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

•②Superman或kendall等级相关分析
6 E  M) R2 Y. v$ c7 j( \* f
" k* F* |+ _5 w, Y- }. s3 V( Q' |•③Person相关（样本点的个数比较多）
* s1 {2 Y4 G: }3 e. K0 h
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
% ^1 I; E- w' a4 ~. t7 p  F% H
( o0 ~0 X' h6 b1 U% V2 v2 U
# O1 }+ w, R, F7 `; g$ f6 d# G" Z3 _
（3） 分类与判别
, z( Y, k  `  s2 S4 B, {
$ d" |; N5 I3 T1 {+ i; H+ R# x•①距离聚类（系统聚类）常用
* t7 [. }1 @( }, c( o8 X
•②关联性聚类（常用）
! l$ p7 W; P9 |! [
•③层次聚类
& S# x7 p0 O% x
•④密度聚类
$ u! N0 v0 D4 {& d7 U& U9 A- P! B
•⑤其他聚类

, I/ \6 {7 |6 C* M& L/ ?) Y8 ~•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
5 x% U. W+ y6 ]8 L
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

0 u' _1 L0 s. e3 O! _8 w; {•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
9 T9 N$ A/ Q. M* Q+ o4 ~* U" ~7 @
7 u; V* S" n: n4 t



（4）评价与决策

•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

7 N: `. Q  S: K% Z. g$ p•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
3 }; W, T$ B( j& p3 a  p8 G
1 f: n* q! Z, J2 j: g; u•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
/ e+ L6 }& k& p4 q
2 }% i7 f4 F- r" [7 j4 w( G•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
# w; P' i) ~" I/ C
•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
- \; n' @- `$ R+ n" G6 Q" z
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
$ F9 E  @( n2 D1 g
% ^5 P9 P7 [$ x1 h, Y•⑨方差分析、协方差分析等

- G0 A/ A3 x$ e. c/ N6 o* ^+ K6 \2 F•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
- X6 V3 c! b: |- {! x0 ?/ w! ]% G

" j5 c$ v; _1 }" N+ @6 x8 Y+ j
, t6 _5 I+ d: G, Y1 [
$ c, p! A1 Z8 @$ d2 u
（5）预测与预报
. ~# ~4 _9 m  X% d- @


7 y7 j/ C! j& w) x•主要有五种：
$ j+ L3 U+ R& X' e4 B9 i& U* V
+ j- c6 M1 s& h6 x•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
9 j/ }& r3 G+ |
•大样本的内部预测-逻辑回归

/ {, ?" y* u0 ?& t•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
' j, x9 L! {, n/ d4 K9 z9 f4 M
6 z& _; h0 \+ h2 D' W+ b•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

( N8 c( f* [0 ^! V# {•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
1 Q5 V; R$ v1 k$ t

/ N; f  q0 M. z8 ?- R& n$ y
•①灰色预测模型（★）

•  满足两个条件可用：
- \0 R) s* ^. @3 t. |
•  a数据样本点个数少，6-15个
) b. i8 x2 Y# G6 H0 Z
0 K7 [1 X4 ]$ P4 \' G( j•  b数据呈现指数或曲线的形式
4 D& f+ {% N' k
/ M! c4 O0 Q% W. b( G•②微分方程预测（备用）
/ ]0 c/ O) p+ N5 K; Q7 X
# s- Q3 |0 l9 ~) }6 n9 r3 W( L• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
% [+ P2 i/ X2 u$ a9 a


•③回归分析预测（★）
, Y- a# D* F6 c( u
•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
  L! M4 f$ _' {8 E; h+ G
, {* l& G/ I* r" B•  样本点的个数有要求：
  L1 u# K' j+ n4 k7 B, }: |3 O
•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

! Q) k% T0 o8 S' J•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

  a0 }" c/ @2 d" o•  c因变量要符合正态分布
  ], s5 I3 _& f8 [! E8 s


9 N" t/ |; V9 G( T/ y* o•④马尔科夫预测（备用）

•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
4 }" S! Z% p- z" v9 ^

3 _. W& G; Y$ R& F1 y% R
•⑤时间序列预测（★）
" e% S0 z$ L6 e  A- A4 h
& C7 d! ?: H! j& e! i•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

7 m( E' g2 Y7 x9 N9 m* @1 [•⑥小波分析预测

7 K5 z5 _. K: ?2 A•⑦神经网络预测

•⑧混沌序列预测
% Y) e/ q/ J0 @: p
+ X( t* s  g- e4 v  d- |
& ]0 i& |7 a/ c7 v
+ X: z; p% O# z$ P（6）优化与控制
# U- @# ]0 g; q
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
( Q1 o* _2 S4 x
6 ?$ T5 U) W$ m•②非线性规划与智能优化算法
  e% i! R! |  _8 ~6 a
  ?1 ?3 i5 O6 d/ g' x•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

•④动态规划
; M7 l6 n% Z" h
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

•⑥排队论与计算机仿真
- U' V9 N  w, c8 W: I/ {
•⑦模糊规划（范围约束）
& S; }$ \0 w' d4 j1 ^0 r
: J( S* d. a, ~0 _: f6 c•⑧灰色规划（难）
3 C7 o1 `9 t- k


  A, Z. O" O: n7 G
7 r! t* F* D8 _