数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
# {  ^/ S. c" D' ?( b; e数学建模问题总共分为四类：
; f5 i' P( Y7 O- q+ s' b1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）
! q! K% O. }2 J6 _: H. P
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
1 y8 e1 ?% @- Z* ^PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
+ B0 g. c- c# n6 y
  i$ g( E) M1 T9 H基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
0 ]# t% n6 s: e+ x' y粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
2 b5 s; p# V! d
, _: T2 x1 i% y& ?
二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
; J! t$ Y1 e( Z9 L$ T/ o- M设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
2 B% [0 s' K: A$ s热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

5 |, K5 {6 ?& k三、遗传算法
; A' L& P& G  i2 Q8 U" o& P
' z* d' U4 g* q$ G  Z4 B; @产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
- U/ K0 }. f2 l( d5 G根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
! Y' W" U+ F) U* p
四、算法步骤
* F( x( c( n+ i+ e初始种群
, ]2 Z. r6 J7 c9 m! x编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
2 o2 x( B! n) u适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
: I' v9 l' ^( S/ j2 c: ^遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
; O  a* G8 B% ?0 n4 a
' N8 _4 h; d! q1 r% `, |: O1 J参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

) e$ F; o2 M' C8 k四、神经网络算法
1 f8 n3 Q1 X  R- Q# f, B5 M1 J
) \# g+ y8 _, |: j) ]6 j. T4 M7 B" K和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

, M, f3 U, e+ k7 j' A2 i五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

; t7 v0 C. d( G7 x3 S又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
  a1 [$ w/ d& ?) w& f优点：
% p+ F* m4 G# ^8 x6 e1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
* @; p" ]% J: ^) M1 Z1 E4 T6 J! q
8 x7 }, F3 z% b( Q将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
6 p, A& ?" ], C4 q) |7 Pb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
8 i3 e0 {5 `, f移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
7 f; x9 ~" V- Y0 [  h6 }. @从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
3 `2 H  |2 L0 N7 r) _+ S% b(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
0 |9 z+ P. v$ u" I# A(5)渴望水平函数
4 i  `2 ~: ~% r2 L) r& iA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

0 Y* U, ]! x3 |' L六、蚁群算法（AS）


参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
4 K5 g, k% b- d' g7 J/ b---------------------

3 |4 s6 b' b0 _& M
7 d' d. m% ]& C. V9 d2 m+ T

; m6 T, _  B" o+ X+ a/ r