数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
( I3 G" ]! \: e( }! b, U- B; f) y数学建模问题总共分为四类：
, V2 |7 a, v6 I/ t' B1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
0 x' c% ]0 @' L- J: w! ^
& x4 T9 A$ i! H9 v9 G: M- p一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
; z" b% M% T/ B5 j' U) p5 J+ L
基本PSO算法
5 G% {5 A5 O+ O# p6 E; i- @, c1 `. ]
% f9 y# M, ~" X7 Y, WD维空间中，有m个粒子；
$ n' r# P3 g$ p# x- r. h粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
) M5 N" Y+ Y- d5 L3 C  f9 i& ?群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

  a6 d1 M5 ]1 @) A% ]4 J- ~- g
二、模拟退火算法（SA）

, v  `* Y+ y* V" R) Q% Y模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
7 x; G/ R+ p# X5 s8 E) w- y降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法
: F: c  x" @6 t3 Z1 Y: u, t
9 E# Z0 i. Q: C  {% F产生一个初始种群
1 p% e$ V4 o6 O" v# x! ^! D根据问题的目标函数构造适值函数
7 I" Q# F5 c# N! D9 r" U  ?根据适应值的好坏不断选择和繁殖
8 {8 o1 A  U! ]$ X若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

+ q; B! }# y4 ]7 d四、算法步骤
* }1 ^- r: r: S7 }7 |3 k' x1 `+ {& Q8 w初始种群
) i1 u; O0 Q0 {3 F2 ~. j4 g编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
, q. i- A- |" e" E% G4 j) T5 e) A8 f
' F* h$ U7 t4 b, [8 t* u! w0 z( @参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
) j; q  s* Q2 @
1 _: k$ r1 @9 ^3 O% B四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

0 j; Z' y3 |; ?9 T% ^五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

1 L+ W* m" m) Z0 q6 ?5 h$ n( P4 |1 P又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
+ U4 r' g# C1 l$ Z+ I2 v% |* @2、局部开发能力强，收敛速度很快。
, X* U3 {5 m: l4 T* c) }& J缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
5 D* Y% e. ^* q1 c* A
) Z/ K; y& C0 o/ E/ L4 m% T将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
) G' ~8 t4 v5 \5 H% L; E$ I7 Y7 i; ca、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
' C8 {/ I5 j6 w5 H  jb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
6 F# M1 H* S6 |' ?(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
  k! k; N# T$ V" t6 @移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
% m& U) n/ S0 _8 B- B  F# ]& N' c& P从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
  w3 [& g) C2 ~# S2 ^禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
: O: x% v1 @1 u* {A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

/ U9 e) k/ Q: B; z; Q+ A六、蚁群算法（AS）


" W8 I( d0 A  U" X4 _参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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1 Q  W1 z! V& Y6 k6 @% ^
4 p7 p: _' m7 t1 R* Z
3 G; e$ X' M! F0 x/ W
5 V5 x6 w4 q! Y1 l