数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
) Y( b& W2 k- U. F数学建模问题总共分为四类：
7 K0 o' K8 C6 t, V0 u& y& z1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

$ N/ z: f) q! p6 d" L* j/ S一、粒子群算法（PSO）

9 r" \4 `. U- g/ u# E) N* C4 j" z  ]算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
$ A; `) e/ A, f  w7 xPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
9 F3 e: u* J& {: o* E6 [$ g粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
( @/ x8 [9 M, Z$ c2 v粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
9 o8 @/ D% K- @4 o9 Y+ X群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
% `* B; P8 z) e/ R/ u2 P& v

! S  B* R, ]( c) l6 D5 [; B二、模拟退火算法（SA）
% |$ q( _& f* {. n7 Y) P" V$ q2 J
模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
) S0 z$ ]3 k- j5 L热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法

( z+ k% p8 C1 u; m0 K( M) v) u: h2 m产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

( O2 A0 M# G- [4 A5 t4 {四、算法步骤
初始种群
/ Q' }2 C$ ^  C5 o  b0 T编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
! `0 U' c4 U2 b. b' a7 q适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
( k& l" r1 V4 R, S5 g" E停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

6 v' B2 W/ k9 P' z# X2 \四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

/ L( o0 ~8 s( I) }五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
) J) x, Y. a* M7 i7 b& u0 R' g
* e, r0 z! r: A又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
$ \6 A, C6 ?, \! p/ U优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
# [' N* c. M/ O& A5 m缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
* h" w/ w8 C7 V2 N% S2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

6 o7 c5 N' M) I5 t将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
- o+ {+ j4 w6 m3 rb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
5 N) X7 @4 `% A(2)初始解的获取
7 g1 B, P4 Z; ^- f可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
% u8 ^2 q2 Y- i& G禁忌表的作用：防止搜索出现循环
$ U- L- x$ ]1 O$ X. @% ~  \(5)渴望水平函数
4 u# M8 e  b5 vA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

& p8 E3 x& @6 Q% E六、蚁群算法（AS）
( i9 x; V) G( f) D& K2 l
0 J: [4 d2 h! q  P& i1 L5 P, J
3 J. d/ O; ~- Y7 ~: w) `( j参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
---------------------
2 Y; }! ^( S2 s7 v0 A
5 X: G' X0 ]% F5 j/ i' @' f) t0 H1 q
7 u7 x' i: [( n- F& q
# @0 }% z  e1 J5 v# }: |