数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
9 c( M3 y4 e' ?& h) y数学建模问题总共分为四类：
: ^+ L& a+ r% S; p' ~1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
( O9 H" \! V4 |/ d; wPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
7 O/ a+ b1 o/ q1 h9 [
基本PSO算法

2 X) \6 W9 |1 r0 h/ tD维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
: o. o5 r% H8 d% |3 e- c粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
4 |7 Y7 ?# Y0 P* F群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
6 g/ [- w8 I5 ?" F
4 F+ `9 x: ?* V
& o8 ?4 K8 X8 ~二、模拟退火算法（SA）
7 p: a" ^; c1 L) t3 x. a
模拟退火过程：
3 _/ m% G+ ~/ D# m4 l  V设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
+ [' q$ T/ T1 j3 u
( `9 f* g* ]. U三、遗传算法

2 ?- `. H4 v/ z8 X0 e& n2 H产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
+ o1 @, H, K, P根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
" R+ S" X( ^6 j2 D' ]
  U; G9 q& }  s+ e0 |四、算法步骤
初始种群
! X" S8 K  G# U1 S" r, \编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
6 k  u& {" N. @) j! C1 k遗传运算，交叉和变异
9 M5 c! h4 ], I- v2 u5 ?+ w. ]选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
$ S5 W6 Z4 v9 |6 g5 X0 y! |: f: c停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

8 ~# J$ {! j# X8 [4 P1 U四、神经网络算法

0 z0 ~7 D5 o, `; @2 `和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

: A4 x7 Y/ D% u: b" x0 C# R$ u五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
: A7 O% r- x7 u# S4 s7 `7 E1 T
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
' @# j0 M4 y# H+ L4 D. D- X. V6 r优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
7 {/ H. a7 k& O1 h& n- W" {2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
2 o* a. d" d) |6 g% g- {' o1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
: T; {1 x/ ^, I7 K' I' L: j( n" \9 C
! _5 I! ^  n. D! s将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
- C* J# v4 j/ G; fa、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
% V8 [/ w; `% o( Ab、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
+ }4 F( F, B/ ^: ?可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
9 ~8 C5 C( r4 g7 x; ]" V% s8 ]移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
0 [6 h; u5 b) j8 R从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
) [/ s/ y7 O4 O/ `9 L' \) d3 `禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
' `" j5 ]5 x. z: A/ s+ `# CA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
: q+ t% G- q9 I. f
( E1 U$ @) J" ^) r6 s6 {六、蚁群算法（AS）

& }# f' Q) j2 \% t1 f$ G$ S$ M
+ q. Q" o- _! m* X3 c7 P! [参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
- b/ }0 S5 d# K2 o& N$ m6 g5 f2 h/ _---------------------

1 t) U: M6 g1 I) P0 b