数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
; ?1 p/ C' E/ J) y0 H数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
2 _' h) l) k& {
& z3 q# O2 `) h% E4 M一、粒子群算法（PSO）

, @0 l: x7 C* x- B算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

/ e6 R5 k- {# N- C4 ~7 O基本PSO算法
. l, ?) R: d6 X& ?! k3 N
D维空间中，有m个粒子；
% {0 c; O" _! Y( v粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
! b; T: |& }; X3 \$ ]: m  Y粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
. Z' w# m" i  D1 B* d* G粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
' a  X5 G* H) a1 y: v群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

1 g4 n/ r4 W) t8 o
1 J" I3 n" e% W二、模拟退火算法（SA）
6 C9 S8 c3 I2 j  j
模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
3 L4 n" T+ b# \, t/ ~5 A2 X! B
三、遗传算法
8 V% z! {1 H- N+ x0 v  j( l& j
! v$ I9 @1 X! T7 v- C产生一个初始种群
: N" i0 i' o9 A6 D/ i6 [根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
0 _: S1 i# k+ P& h若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
; R+ b( S7 E. L  c. ?# r
四、算法步骤
初始种群
- R+ N; @  @! i/ t4 X2 F- [! l编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
/ t8 I1 a+ [% S8 [选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

! Z, J& V) c# r& P0 \) c0 l0 Y参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
: J# i2 b6 k- [6 ?: J
8 z- u0 @, Z% C7 u四、神经网络算法
6 B) G# D, `9 Y+ B& z! t5 I6 I/ Y
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

9 Y; ?2 `, M5 }/ W1 L7 W, N2 o五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
3 Y9 S$ ]+ ]2 Z- |' `. R6 V' R
) j1 `/ n1 F& H1 ^. M, N又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
* A  I; m  I4 h# @" w' q优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
/ a/ z; i2 H7 a7 Z$ ^* A9 m2、局部开发能力强，收敛速度很快。
2 R# U( k, x$ n* E! a3 t4 D: R& v缺点：
2 i* W* f+ Q. }% I8 s0 B1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
, U; ^- h$ U7 I  v! P% ^; H4 |7 Y: I2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
1 i2 k7 U: S5 y" x& }b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
# y0 G5 W" H6 T: B可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
3 L, A& Z1 p1 @8 W移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
2 U. }4 L' L" U; G从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
& ?# N/ W5 M* x/ |# z/ M- i(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

' G1 G3 V( Q5 }1 h, L5 ?六、蚁群算法（AS）

9 d0 S# [3 B  G2 Z
参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
---------------------


: s6 M0 [3 f' C% s, m$ F8 R0 C

: w$ `" P$ G4 K" d$ {9 I