数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
' w5 e2 i, b( c5 W6 N9 ?- I' z数学建模问题总共分为四类：
0 {: b! K  S& ~) `1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
4 ~4 ~7 l# @  p/ h( l
基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
* C, R; {+ j: i4 L+ J7 J6 U: b粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
* j  ~. {) C+ _+ C7 z粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
" G) {" k" ]# S% @' m+ o+ l

二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
1 D3 O5 Y) d: @  e- V热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
- r, x4 {, y/ Y' s! V降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
+ k, v0 k4 R  C# T7 ^9 w+ m
三、遗传算法

产生一个初始种群
/ q$ \* E. d& k  t  i! `. B根据问题的目标函数构造适值函数
, n2 F0 W" T1 x- _! @根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

( W3 K! C: O6 ^0 a7 H四、算法步骤
5 \0 S9 R& C: \/ X初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
3 ?) j9 U4 G  Z0 n# |适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
. O# W& J- T# s/ L: |( n% @遗传运算，交叉和变异
2 z* e1 r0 @+ L2 W选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
& F7 R, s7 Z+ U; t/ ~停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

2 j& D( Q- U8 o6 v四、神经网络算法

2 c3 Y6 w# ~+ C' b) \- K7 d0 g4 i和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

" t7 l& w! L& i1 j" W8 w! v五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

$ x" ?5 Z* \% U; M又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
+ }8 i2 |8 h4 g7 Y" Y优点：
0 f4 U' }3 a- L* w0 s1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2 O& D- D$ G; D- \3 w2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

5 u3 g  B+ Q" |/ m6 H. ~将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
5 Q) m+ M3 A: ^! A1 r$ V: Ba、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
5 r8 q% |+ {! m$ Ab、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
% y% }' J- I  s$ X8 q1 c8 b(3)移动邻域
' r7 b9 r0 G0 T7 N+ G# ^移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
8 f' ~5 g! P) t3 `# N, Z! w! E0 W6 u(4)禁忌表
  c% S/ D3 a  ~' ^: K6 n2 R* _禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
7 P7 `) m5 C2 h( ?/ E* gA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
0 X3 w$ a2 ^* Y( R: N1 U
六、蚁群算法（AS）


* |( G: P1 O; a! h, N' [5 O参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
, Q8 Z# m6 i4 P8 l* o---------------------




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