数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
' U1 O7 h* l$ z  h1 _( y数学建模问题总共分为四类：
8 l4 F, ^4 A  W8 u" n+ ~+ e4 I, C) I1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
: K2 u- ^, z8 j6 T; {6 C0 S* ]
( M. x! g1 i/ B" `9 \一、粒子群算法（PSO）

4 R7 h$ r* ^& w- k3 i" V算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
8 U. v+ _# ]4 h: n5 n; `2 I% HPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法
( d( x& ~/ w+ c( |
D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
- H( I2 ^4 \5 |粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
) a3 W8 F( c0 K2 A' {& C粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
- c0 H& c; c' Q- W, a! O7 m
  [& W5 g4 R8 B& ^8 @  [! X
二、模拟退火算法（SA）
6 [: S$ i5 j- W- T: U6 |
: ~3 x7 W. b& ~/ r" s0 m6 ^模拟退火过程：
# x" @% L2 b4 B3 r1 C设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
3 X( K/ E6 p) k- O0 E5 b& T热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
( `, s# U0 _, @" ~' [6 T降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

  j0 d& \1 ^7 ?! `; G' V三、遗传算法
+ v3 y9 S' @6 d  K( A
产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
4 |1 I3 }  ^$ S根据适应值的好坏不断选择和繁殖
: q- x9 G) R* Q0 |8 s# w) r7 P若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

) G, f& k- Q+ Q. B四、算法步骤
7 o- N* \; [" i7 f: v! `初始种群
! }$ `) }; N  }编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
0 n/ q8 K0 D; }; i9 J: J$ }遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

4 H; j4 G# z' p) o2 f# H8 M2 i6 y参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法
, o6 |6 j. g" X  p3 M6 |5 P! i9 J6 w
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
( v, F( f) F9 C4 y4 ]
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
4 r) ^: I' M0 \' i1 _2 {优点：
$ i" q) `8 ^4 ?  `- _" p& |' f6 P1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
4 b. W& N# r8 k  z# Q
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
3 T! K, i( ~: o( @" \3 xa、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
: Q! l8 C. ^$ j(2)初始解的获取
, |4 n6 a: [5 R% K可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
8 h( h# z* [/ f1 y8 o! x(3)移动邻域
, P- j8 w( [- F  ?$ K+ k$ ~移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
( |$ N. W" |2 B
; v& |6 N: s  j- f0 i六、蚁群算法（AS）

3 t2 `# T; w8 O7 W) S5 ]
/ u$ r. B$ u5 E1 @  E9 J参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
. i, u) ~3 W' K---------------------

6 K, T& C* m" k