数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
/ \6 \5 D- `; M6 N% |& Z) r5 C% O, d数学建模问题总共分为四类：
& b2 Y  E/ q- j/ a: M" I. m1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
+ y* p8 E" j, [" Q  r, a
一、粒子群算法（PSO）

& }- e8 p4 [$ E2 W) X( u7 u6 v算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
6 \( C0 \8 D6 {
基本PSO算法
9 \! V7 J( S6 ^8 r" n4 s
D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
* Q$ e6 h! @0 s6 x" m, g6 e粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
5 V) t! g: {" v/ t9 _粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
- o: P+ u( R1 {7 e; M
, X/ P& G% b. s9 k: Y# D. U
二、模拟退火算法（SA）

- C9 B, q, l* U5 v. `( x, F模拟退火过程：
+ K# p4 Q; F+ y设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
/ z) o6 t, ?- c, _- [; v- T! f+ Y降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
% j# n: ~# W8 P" A8 O8 M* @
) Z" t/ l9 i* p  }  V  Z) i三、遗传算法

1 b! T( G! ?  j% W产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
. ]1 |3 p& f' Q  V5 ]4 U4 i根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

9 m0 D. Z0 m8 J7 Q四、算法步骤
2 p& `- V8 ^% S: V5 w) t+ z初始种群
2 x) o9 J6 U# u. f: v7 Z编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
3 l. Q8 a' q( A, ?适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
9 T, M' s' c( r% e5 t1 N
参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法
4 J# l1 Y- x/ k3 e
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

, L0 \6 B  `6 D五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
0 ^6 v% W; y/ l4 t" G3 `  P优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
% I( M3 q# `6 N8 k$ i! m  ~+ _2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
( P& r0 g: J( p1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
3 Q% z/ z$ u( ja、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
/ x! E# ~" q+ |$ F(4)禁忌表
& }, Z( d) k( a+ m6 V; g禁忌表的作用：防止搜索出现循环
) V0 Y) T' @6 W# y* I(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）

1 K+ S+ @0 T6 ?
# a; U6 B) P- _: u参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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5 M8 N  D0 Z. Q5 \$ {1 ^* E
1 i. a) C" O  S
' N9 n! g! Z+ d* e9 c
9 I. z# G5 i9 q* [3 c% m