数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
' Q+ W9 |2 V% e& G( I5 `数学建模问题总共分为四类：
8 M1 Y: R* P! f2 R, M1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
1 _* C! r* N( g) l4 I9 `
一、粒子群算法（PSO）
4 a) u; U. t) O; R6 ^; S6 d+ o  |
5 `/ w% ]) a% M算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
7 A& H* J( Q( }  xPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
' r) J. f. G3 n6 N% w, A
基本PSO算法
% _% n0 Y9 H( k! [
D维空间中，有m个粒子；
" J& Z* J2 ^3 }- o. e' W/ j粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
/ [% V0 a* y. Z' v0 d" ?' q# M! Z
- P1 W. {7 a+ H
# L8 G$ V5 F6 r5 S' w二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
4 r! ]5 T% T" `) e4 x" D设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
" E+ k. S) o5 p5 z热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
/ ^2 m7 J1 B2 i7 Y4 _" }/ \3 \降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
' H7 a# a' Q( l$ ?
三、遗传算法
0 i! U/ j/ X4 i
, }4 o: z% J# c+ F3 k. w产生一个初始种群
" u8 E' {5 z; `7 L根据问题的目标函数构造适值函数
9 Y2 ?$ M& {$ }- L根据适应值的好坏不断选择和繁殖
7 T+ F$ C" N7 m6 L) T# N( v若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

  u% i) @& V; r四、算法步骤
: e+ Z+ l& e2 w% Z6 A初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
" w8 c' y2 s+ B9 w6 Q( O0 W; F8 ~适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
  S1 g9 s5 ^) s& S遗传运算，交叉和变异
' L' p, k0 Y" c) b' t2 V选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

1 t" G& q, l2 G- u8 ~# {, u参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
0 t& n; ]" I# Y( K/ x* I3 s
% A0 V2 i3 z7 B四、神经网络算法
( t6 ?0 d' \8 N; i$ N; h
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
( _! A+ ~) T3 R9 I
  R% J( V8 Y/ h! ~9 M五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

8 }9 r* u/ @0 n5 M8 I7 `# P又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
, U7 F. ~- l: c. }+ ^优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
  }7 t% i: @+ r/ l; O1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
$ w( h6 D. t. g( r# o; y$ R% w1 G2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
  p, a- M% {2 M  a) Y1 l
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
  u! X5 f+ h+ i! g; n1 ob、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
4 h) Z8 S6 d  m- H2 `9 J. U$ b(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
- B( T' P& U* H; d" i1 R" E8 n从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
# X: Y4 V  S4 N! N' j; n9 H(5)渴望水平函数
0 h$ E; {5 G6 LA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
* T5 D! h7 t, h. Z' T
六、蚁群算法（AS）
. \) I( U! a% V( W/ c$ @0 T$ P
; ~, ^8 _/ ]  U3 [5 _
参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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