进一步讨论矩阵

aqua2001

矩阵的行列式，其实意思不仅是体积。如果说把矩阵看成向量组，那么行列式就是这个向量组的体积。但是把矩阵看成线性变换的话，行列式就是这个线性变换对原来空间的超立方体体积的放缩比。这样，|AB|就是对一个线性空间V做变换B然后做变换A，最终的结果，其中的超立方体体积与其原象的体积比。当然，它应该等于B的放缩比乘以A的放缩比。因为这两次变换是依次进行的。所以|AB|=|A|*|B|。

aqua2001

雅可比矩阵和雅可比行列式其实也是一样的道理 。也就是说雅可比行列式就是对体积的放缩比。

aqua2001

我昨天看了流形上的微积分，才算明白，原来根本就没闹明白导数是啥东西。我原来觉得导数就是一个数，但是最终也没闹清楚多元函数的导数到底为什么就是梯度，还有为什么多元向量值函数的导数就是雅可比矩阵。原来咱们讲这个东西的时候，一元导数是作为数量来讲的，梯度是作为向量来讲的。雅可比矩阵根本没给出什么具体意义来。昨天才发现，其实一元的导数虽然是一个数，但是不是作为数中的数，而是作为数乘的系数。在一元实函数的情况下，映射的始集和终集都是数，这些数作为集合的元素来说，“乘法”和“数乘”已经混同在一起了。但是从意思上来说还是有点区别的。而这个导数，其实是作为“数乘”的系数出现的，和元素本身的出处有点区别。

aqua2001

这样看来，多元函数的导数就是一个线性变换，是把原来的函数，就是非线性变换，在局部近似而成的线性变换。所以是一个矩阵。而这个线性变换在一维的时候就是一个正比例函数的系数，就是导数。

aqua2001

所以乘法其实和数乘的道理还是有区别的。数乘确实是加法的简写。但是乘法呢？即使对最简单的实数而言？比如说，我把5个3加起来，写成5×3，这是数乘。当然在实数领域里并不区分这个，所以也可以叫做乘法。但是“真正的”来源和血统纯正的乘法是什么？我猜想是求面积。你说，一个矩形，边是5和3，面积为什么是5×3？为什么是15，而不是别的数字？因为当我们仅仅知道长度的测度单位时，是没有“先验”地知道面积的测度单位的。所以我把边长为5和3的矩形面积叫做1500，恐怕也是可能的。但是我想，在这里使用乘法肯定不是随便的定义，但是它的必然性在哪里？

madio

详细说说，为什么可以将算子的行列式看作是放缩比呢？

另外我觉得对于多元函数的微积分来说，最好不要提导数，容易产生混淆，一般只考虑梯度！

aqua2001

这个我得想一下怎么说。不过你看AE，得到的是A的体积，但是其实AE可以看成是将E做了线性变换A的结果。E的体积是1，所以这两个体积的比值正好是|A|。

aqua2001

我提到导数，其实也是为了强调一下一元函数里导数的意思。以前咱们的讲法是从导数推广到偏导数，又把偏导数组合成一个莫名其妙的向量，也不知道是啥意思。其实“求导”本身是个算子，这个概念在初等微积分里没好好强调过。求出来的结果不是一个数也不是一个向量也不是一个矩阵，求出来的结果就是“线性变换”也就是线性函数。这个线性变换在一元的时候体现成一个系数的数乘，这个系数就是导数。而多元的时候分别体现成梯度矩阵（n×1的矩阵，所以又称向量）和雅可比矩阵（正是线性变换的一般表示）。

aqua2001

把非线性函数在每一点的足够小临域上化成线性函数，这个话一直在说但是我始终就没在想问题的时候贯彻下去。从来都是觉得，求导数是求出来一个数，作为一个纯量而存在。但是如果说导数作为纯量，那梯度和雅可比矩阵不能叫做纯量，又是怎么讲的，就不明白了。还以为多元函数和一元函数在这里有什么本质的区别，其实在这里并没有区别。一元的导数不过就是1×1的线性变换，多元实函数的情况不过就是1×n的线性变换，向量值函数是m×n的线性变换而已。

madio

你举的例子毕竟是一个很特殊的例子呀，稍微一般点的怎么解释呢？