数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

数学建模十大经典算法漫谈
: b3 P" Q8 x. N5 F4 D数学建模十大算法漫谈

3 B' K( L! N5 H  ~: ^8 f

作者:July  二零一一年一月二十九日
) c0 @5 T; ~. m& S6 _
本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科

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0 j0 E% R% |  z* _: O( j7 Y8 M- d! u博主说明:
! e$ F, Y0 Y& f% o1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
8 S) X% ~8 x5 X# |, p" Y这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
' j) D. G" p: `$ c- D+ h' \同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
0 }" [( h. @+ h6 G. J$ e' p毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
% D# F) D' y6 }; y0 a, H$ R若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
; `: A- j+ f: `! U谢谢。
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一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
- [4 Y5 r( U4 O( m" S! |# A共同发明了，蒙特卡罗方法。


; ]7 b$ S3 c$ Q1 Z此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
8 A2 ^& k- U( j8 x& ihttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
, h4 c3 J: d9 G7 f, f" M. M

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4 E* G2 l1 E* t. \& w& L蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
( y% F! A/ c- I; {" S. U
* k) ?& _4 l( J. X& \法。
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) l' X% z; m7 R) F3 w
. c6 X, ?" O$ r由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

* |; Q6 a8 _! s0 K8 O- C. I实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
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蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
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，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
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1 w0 o, ~7 l$ ~) C4 [为问题的解。
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* J! m$ W, {2 ]
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2 a* W$ m2 e# k* l- X4 Y有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
" }& C3 W3 e& P! o1 F2 d* z假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程

& V+ Y( h! t) J2 D1 t9 c7 e度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

. B1 R% ^% E. A后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

9 p3 s! Y4 I9 ]0 a，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
* |& ~6 u0 e' f% S# v. q2 A

! [( Q7 g- F0 m# ]3 r2 i/ P5 I蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
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拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
& D& r" O/ N/ G0 x! e
; i, }3 E2 ^( W# z% U- n4 u近似解。

; q) \; a9 B4 r/ z9 c$ Q9 x# E

% `7 i2 _" f  a0 H蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而

3 W- G2 U( Q) V蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
' d7 \: _) V, b) rII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。
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此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。


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二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
2 \7 y% d! R0 }! Z* |- m6 |7 X我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
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数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数

学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有

吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。


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( ^# N% s/ S: a% `" D: a此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。


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  ?# L; L( r! o- w1 W% R
三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
; \. u, k8 x* Y/ }+ Z, N: Z; ?* ^
、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

# g( g8 A0 c( ?; v5 T完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
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需要熟悉这两个软件。

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四、图论算法
这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
* W5 V* l5 }; n* E  d2 ]" F: G
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  a9 t# X/ O& S
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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; M( Q' \* V& K, S' ]2 {- e2 B经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

: O3 D( E- C2 j/ p& `# H更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。

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* w. u7 d& F: X( E五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
- z  O2 q0 N+ ~5 S! \5 h在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。
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这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
* \$ O3 \3 j* ~, G3 X推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
9 x& c$ u! t+ q! J
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六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
1 h/ k/ h  Q& H* u( v6 W5 g这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。

在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
0 h* b5 }6 W+ o& q: n" w+ \; W
说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
( p% e; L2 W; J03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。

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4 p' ]8 M! W; \7 a5 u另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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) h7 F, q2 g# ?- V3 Q经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
0 U! K+ v2 B9 T" Jhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
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5 _7 [. r% S& J0 }2 R; \+ T
其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。

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) z" T3 G- y' b; |
七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
9 N: P2 Y! \, }/ O: b
那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。


在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
1 v4 J( D2 g1 ]( p9 X
2 Z; P: b3 X$ U! r& s; M5 s9 D快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。

- M/ `; w7 F$ }4 Q3 S: M' S穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  




; u0 r# I2 t5 h八、一些连续离散化方法
& z1 m0 H2 S$ w; Y/ }+ m5 f大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界

, z; w* o7 M9 b7 i+ {2 I中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。

% g+ q9 ]7 g- i9 r! s. G# ]( Z
5 O! k6 x' t) w1 y7 C这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
9 c' j0 U$ m/ I8 K8 E) e/ J) D事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。

- C# c! a" e! G$ V

8 A3 S9 |9 W% Y
9 T  L1 u$ ?" L2 H0 v九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
' F* H3 `& T- z# K9 J9 s: `
算法。

3 b! y8 B! X  G9 h7 t' ~! {如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

( z5 U5 ]% n- }  v1 C) i$ {函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
) g* Y, V' W# ]
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。



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十、图象处理算法
9 m# y; |) L6 G  z5 H  N# L4 Q在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
& c0 v: J- E: e3 t" t
; m7 ]+ |% ?$ c7 `计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
) C: R. M# i# L: U* N, Y
因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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: }, Z6 H" `, k作者：画面太乱了
来源：CSDN

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