数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

& ~  U+ W: F  s6 g! p0 z数学建模十大经典算法漫谈
# C/ R3 i+ w' t3 b% j数学建模十大算法漫谈
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作者:July  二零一一年一月二十九日

本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
3 w- U# `1 V9 ]" F9 l8 @II、 本BLOG内 经典算法研究系列
# u. x2 e: c( s8 A% z0 G" s, UIII、维基百科
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4 S; h# n3 r1 @1 H博主说明:
* t7 w5 ?% n5 h2 s( ?/ @1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
% r$ ^: D2 r! ^/ Q6 M6 R9 _( X同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
5 a) [- Z. w  I- Z2 C& s且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
谢谢。
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一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
" N, Y& V" ]2 I0 @2 O# G共同发明了，蒙特卡罗方法。
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5 [4 u0 x. S% S/ ^. h* U此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
: i6 d7 w" I8 i7 m! V0 Thttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx


5 G1 G: Z6 Y9 }5 ~" H- x% N
/ S; r6 V, x1 Z; l5 ]& p蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
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的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方

法。
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由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
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; g. b, Y" h2 e实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
) U/ L# r: _. K5 ]; m! R! {5 R7 H当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
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$ Q6 @$ T2 j* `2 k. }" t3 S' ]/ ]，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
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为问题的解。
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1 e0 j+ C0 [, b$ O有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
0 d( a1 R: P. i9 E4 g9 f  Z" }假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程

度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

9 D( k: Z  C7 J' u0 R; T1 x，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
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3 k: \1 t' {' J8 K3 k蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
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拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
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* e  Y+ W8 o! ]- `8 x- m: F9 J近似解。



8 H: [' C1 h- l4 L6 c4 C蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
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蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
2 H6 y. X! g+ H+ sII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
% O" d# F7 c( j6 i% j- D2 t等等。
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6 i4 c0 A6 u2 r* s& h1 H此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
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二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

) P5 B$ }6 {& |8 O数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数

学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有

, [4 z$ G/ ?$ C  E# w& r9 V3 j吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。



此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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. n" y# F! W0 e( ]$ @& C三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件

0 ~3 c$ C) x. L. L$ P: q、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

. N# B: q# r8 c. R完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
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需要熟悉这两个软件。
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四、图论算法
这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。


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1 K/ c5 T$ S. i4 a2 k关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
' p& N+ T0 F8 K- }1 Phttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

. m5 n, l: P" c更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。


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五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
0 [7 m) f2 d. ?此外 98 年 B 题体现了分治算法。
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8 X; C. b- R' M$ l/ K这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。

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六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
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5 c. c" N0 a& M1 w, `* G在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

( u7 d1 i* B. N* F( N& F以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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4 `8 S  c) @' F* n说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
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' A9 o6 y' P7 N! c+ R9 w另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
# \% p  J% ^. E: R1 |, G) `9 ihttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx

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8 p9 G0 U1 g/ U' M# o其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。


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8 j! c' Y( ?3 W) ^七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
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. z0 _& E, Y# F- U6 v4 W) f! ^在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
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快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
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& l! Z: ^& E6 [  R  {0 q, e8 m4 G5 \" x7 V穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
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八、一些连续离散化方法
$ c- a) y* m- z8 J3 K* l大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界

中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
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2 a3 l5 `9 c* B$ w) B6 ?这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
9 y# a' S' I  O" \# f. A; R: J事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。


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6 h  Z3 c" C: a, q0 I* D7 q4 V九、数值分析算法
) p& c! L: R. r2 T& _数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的

算法。
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如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
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0 s8 Q- M# |6 @" ^  Q- L0 @函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
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这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
9 p! _& g4 `. {4 d$ v% Y因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。


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十、图象处理算法
9 t' H( W1 v0 `在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值

: _" r6 X. r2 a0 G0 j计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
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$ x3 Z; L+ g9 H. E6 r2 z9 @因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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  D) U2 W  H) d$ a6 n作者：画面太乱了
& J0 G$ ]* R( j. T( G来源：CSDN

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