数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

8 s, l5 c4 x( t/ J" R  C) @* d数学建模十大经典算法漫谈
数学建模十大算法漫谈
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作者:July  二零一一年一月二十九日
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* ]! V% p( J) r+ f本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
2 y* a. Q$ `2 L' N7 p2 AII、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科
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博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
, C4 J6 R% }# s) V6 O7 d2 i# U这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
, [4 A6 R8 ?9 B# W" R2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
  J/ l% {0 P4 G8 ^. \5 O同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
' I/ ^9 g. ?( e且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
8 b% Z3 {8 {8 {& q, T- t若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
# T3 h: I4 a- T$ j* l谢谢。
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一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
  T5 q' f5 o9 T共同发明了，蒙特卡罗方法。
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; D  N0 n# o' u  X5 _' u7 M: Y
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
3 ?. D% {8 R/ _! whttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx


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蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
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的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
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法。
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由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

( m- y2 Q; N' J实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
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% I' v' \5 m% h# z4 g，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

为问题的解。
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: E' \3 c9 Y6 w1 |  E有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
$ O6 O# N) @9 L9 L6 N( O" @
3 t5 V9 O" J1 T/ o+ a# H* b" l; K度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
1 T- K3 r5 f" P4 c
后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
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，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
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蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
: f5 H( |$ k. O" O0 `1 w4 ~
/ [4 ^  C. [2 V1 s4 P" i- l拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
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/ Y4 r$ @; n9 ~6 N2 q- u; h近似解。

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- J6 e8 p" B3 u8 r0 K* P* [* I2 Q' D蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而

* ~, A0 T% |7 t- W; c蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
. s$ u  l) ~' D8 ^& e5 o0 }5 J等等。

此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
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' e! x, u: @0 q/ z% A' v* |& W
0 A9 Q6 M" S8 z$ `5 g+ X二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
) z" Q( W& h# n% H+ N1 H& b9 L我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
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3 G7 @+ o, s9 Y3 u9 {- g8 n6 z- A数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
. ^1 W) g% k3 A1 r, D( b
学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有

+ `3 N9 R: B/ M吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
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( Y- v8 [3 `! K/ E, [/ K0 ]6 H此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。

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三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
* s  [; A: I1 M数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
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- [  b4 U* u4 ]0 m+ j7 B( m、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
5 M1 a3 c" M. I/ c' x* _) C
9 B0 M0 F. E; m! o, R6 P完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
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  o( v3 |+ t/ @5 B9 ^3 q0 C* X需要熟悉这两个软件。
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四、图论算法
" B( S4 ^7 P9 c1 v* y( v这类问题算法有很多，
& n6 r6 Q7 o; M2 U# h& j0 h包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
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" x' x0 e* C6 O$ s3 f; K+ d" }  n关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
. n' N/ E/ Q+ Y2 ?
更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。

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( x& z$ `1 s7 ]; [$ d( i五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。


; i0 ^0 x, |' {% N& K这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
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3 W) }- x/ V! j) b0 I+ m& w


& T9 O  w: B+ C+ Z0 o, H* t六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
3 Z, n3 c6 f1 D$ f0 F这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
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在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
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以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，

5 J3 y: k( u$ N  s, @说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
4 l/ ?% E3 r& M, Y) n8 G03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。


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7 Q) E1 C+ T! n  M另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
0 u  o0 ~0 M7 d! w& Y& w6 U9 chttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
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其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。

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七、网格算法和穷举法
# T/ e& L- C+ |+ ]3 g/ q8 i! ], M网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
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那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
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在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
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* d% ]5 V* ^4 `& i+ \6 j快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
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穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
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八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
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中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
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. {1 B/ F' |& o0 o+ H这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
8 j% Z; V2 o, k. |' W0 b( s, m7 N事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
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/ G- j# ?5 N, p九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
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算法。
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如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
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函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
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6 ?/ P7 C' [6 o" P- {2 I9 {这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。

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& ~- P  t4 E) H+ l十、图象处理算法
+ ~( `) G. N+ h* B2 ^5 R' p9 s在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值

' m7 |  c  [: a4 l$ y( c计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
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因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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作者：画面太乱了
来源：CSDN