数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

数学建模十大经典算法漫谈
& v% g/ R0 y+ `3 i数学建模十大算法漫谈
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5 `% j( k( t) u% o5 @作者:July  二零一一年一月二十九日

本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
/ P8 z: ~% G4 j, @" N7 u) r& dIII、维基百科

, [3 S) O' |. |6 R# t------------------------------------------
/ ?7 o& F1 g1 `9 K. p; M
博主说明:
3 d# o; Q2 b9 S! @1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
9 S' J) X6 Z1 ?4 ^  Z, p$ L- M( f* [' q这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
! ~  @" ^( }6 f, Y* J同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
6 `1 N- e% A) O* Q毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
$ y! a2 M$ k! @/ M  E8 L2 C且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
0 A. V9 n$ y7 c6 [) L3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
+ |, |' c, g' |) o$ c谢谢。





4 T' p& I) ^; r7 W3 A一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
5 U/ |, I4 x% c( g5 a9 ^8 g共同发明了，蒙特卡罗方法。
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& }; ?. T2 r/ v8 k" C1 o+ _此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx

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: S" @& g% {$ C2 w/ E5 d" N1 z. P
. G! M1 [! y2 ^3 M  p蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

- C/ m2 R( A7 g# r: C! H的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方

' M1 u) T# r, t1 W  y6 s  [法。

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5 C/ P8 j: L. y8 ~6 E. w) ^
1 J! l) U& F9 K由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

; ]; @9 t8 i  V9 \8 g. x/ U9 p实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

+ T& r" l) y6 P2 L3 K4 E蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
. D! e7 \8 H/ j# z当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
3 ]5 _5 g8 d3 z/ X: v# e! H
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

. G( M1 [4 _  E8 O' r为问题的解。

* W2 g  R1 _3 P" G/ p

有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
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3 {+ |( z, n% d6 B2 N$ V9 z度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
0 ^8 D( [( b& V  N  X4 T
，结果就越精确。
6 r. L2 P2 S3 S4 ]3 k4 j在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。


  T+ B9 ?" [# Z9 U蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模

拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
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近似解。

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蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
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$ F$ E% T, P+ f, H: y蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
  |( `4 }( J$ e" H+ [6 O* HI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
; J' a; ^# X$ t# q) w3 g( a. M& V等等。

此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。

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9 }: M, }8 L/ O$ }8 {3 m
! P3 P; B+ Q6 j0 _
二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
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数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数

. u( p8 O# q& ?8 E, ?学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有

+ G% R3 B/ `2 t! S, w- ^吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
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此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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6 y; [# _+ u/ U三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
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、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

5 k3 |' t' {$ i! C& h3 H' V! [6 c完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

需要熟悉这两个软件。


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+ L$ M7 E7 g6 p! }( l; I四、图论算法
/ a4 T. y& x  S- V! s2 i6 q% I这类问题算法有很多，
  j( d: h2 ~/ M+ X/ x包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
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* ]: x  z/ P6 x" [+ I, B6 r

* M- b7 Z8 V2 a% d( O关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
4 b- E; F, T$ B3 o* V# D/ `/ J同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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2 N  {( w& s* r. p: W经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

4 Z( B& r% Z1 g6 W更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。

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五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
' s$ R2 i& }# X' c' X此外 98 年 B 题体现了分治算法。

% Q. g% j( V  b* s; P( A& g
这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
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" A* U! I! n' c% H4 ~
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. {5 R/ X- u! B* `六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。

在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
' p! ?# Y* _# a$ x, e& o1 y
* @' W0 Z, `2 H& W1 _) |9 T以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，

/ s- n2 `8 @8 ^2 \7 T, U; c说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
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5 p  s1 z5 i* s/ K* c. H  q/ n另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx



其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
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七、网格算法和穷举法
* J8 W. W0 S+ N3 k7 P网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
3 @7 n" g! g& ~, W+ p; U比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
! v: Q' E  j) o$ N: U  X$ ~比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
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' @7 M7 e" s9 |) T: Q那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
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在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
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: I8 i# H/ B/ a3 ]; }穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
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: k) a' t) b% f0 k8 P" @7 ~

' m, p% ~' D4 z5 ]9 ?( b7 b# @2 x8 b八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界

2 A' P: Z- v. v, t6 Z  x/ M& ]* m, x9 l中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
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这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
3 b. q) [% k- w3 E; `$ f0 h事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。

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" S% }7 p/ L: Y# ?! t7 F* H

' h2 s; W$ s$ {4 y九、数值分析算法
5 r. V7 }% B2 ]' `" \数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
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算法。

+ @: D* v. B; x9 n' _3 G如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
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函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
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" x0 D% j0 r/ m5 G这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。


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十、图象处理算法
( h+ v  r; K' W/ T6 c在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
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计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，

; J  w  u* \$ A/ B5 d: `因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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作者：画面太乱了
" M# A& Y& ]' Y来源：CSDN
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