数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

# W  E  L  `- r/ |: c( q数学建模十大经典算法漫谈
! }9 I- s( c" K% F' L  S; j数学建模十大算法漫谈
) l. o$ U- Y/ F1 ~. q, }2 F1 d

( y" I+ T( _/ M; [
作者:July  二零一一年一月二十九日

* o, E' R8 l) R# n本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
$ W9 D' ?* D) p- x- ]4 \0 S( JII、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科
! S2 g# O% y7 l, s0 Z
------------------------------------------
7 h  Q0 }; h( x+ j+ j5 e
' [* D# M8 e4 ]( i3 M博主说明:
$ y) b. V4 q) y( b" x# d/ m4 l& G1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
, W# g+ e/ |% ?5 k# B# p: T' l这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
' J) t! W& c% q- a& E2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
; N7 {! V6 c3 E7 r8 V且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
. c2 i# F* W3 g$ M7 r2 ~4 E4 ^若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
谢谢。
, V3 l* U7 ]) L" K, }( U9 w

9 K. x, b1 {4 B+ a+ F- @
$ F8 b* H& U3 Q# C" }& o" M
" m( Q, M3 M1 O* M1 g  g
一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
% ]1 V5 U% h6 T  j共同发明了，蒙特卡罗方法。
- J' d( r1 `9 ~3 y0 l* c0 j

. @9 F4 ?5 [" h$ M% }" F/ A此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
3 S; n  h* p' `$ o0 \& X/ V

+ g, n$ p4 v8 ~% Y
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

1 }* S# i+ j- ~$ _的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方

- c) g6 _/ |& b法。
5 ~. ^/ l8 p! C& q" i( ?; {
0 ?3 r( \% k( T  o" W
! Y# T3 e' [  S
+ T7 Q  K6 [. w' B+ T, [7 m由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
# t3 L; ]8 c3 A/ X0 g
实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
4 F4 P7 U  U/ F" f- s
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法

，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
" X4 Z" R1 F  M1 Z* o3 c- T
为问题的解。
8 P6 U5 S5 t, C+ L' |
8 p( f( Z1 V6 U1 R8 w% e
3 r- }  Q; f1 o6 ~* J
6 M( i* x4 v2 C+ P7 h5 R3 D有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
( r8 C: M6 e; k1 @, }! s: T假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
& y0 {4 o) i) R: i! m9 w  |5 X
7 O) n, ^/ T! w2 \9 f度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
7 x+ v2 K0 X5 P. H
后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

+ b% [7 A' x- P) ~，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

: N  o" X3 V7 C4 g/ D
- Q9 }: Y+ G; ~) G! U4 @  I蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模

拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

4 Q+ S7 g: m  {. Q近似解。
; Q$ N$ m4 a  P" w- m1 ~4 {4 H/ m/ t
( z. E4 q, B2 l7 g* P/ v
1 p. c! x, I8 \
蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
& `) c* [( W2 P- X, D
蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
2 o, ~8 ?+ C3 R7 dII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。

( \4 V1 Y$ e9 S6 w6 g+ E此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
- u1 @+ ^! F! `8 P+ O& L
; w* x" m+ |5 e4 ^1 S$ y" F0 [

5 g8 ?9 @! z2 t. y8 K* i
, y, h/ j, A/ z( a  m2 I, L二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
% `( M; T  h( T) T+ S& {我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
) G$ g: g) \: g6 k% D. P
; A# h$ d' ~# s0 G: G& r数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
5 @0 U. ?5 u( `% e4 k: L
& \. `) Q/ U3 J( e; L: ?/ H- D学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有

( n# T% e7 j  ]" y* R吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
8 r4 X" g6 c+ L# n6 f7 _# K/ L) @


此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。



0 C0 J4 X' `; s, o+ A/ c
三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
4 K, z) P* b/ A" }/ S9 [. c数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
6 W) X( ]  v0 d& \
、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
, c" a- {; x4 U$ L
0 E* [3 f1 X, `) F$ B* C需要熟悉这两个软件。
; c& O5 f( N; A) l& u7 {2 X
+ L7 x+ k3 \0 h5 h  Y


  @! U& I, d0 E四、图论算法
这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。


. v' ~: Z9 `; U% X4 \/ b: A/ z7 _
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
. ^0 R! M9 m2 h# e) p- v同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
-----------
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
9 w& J* c7 a0 c& e/ J/ H" yhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
: O1 N# x% G% [6 h: R) A9 b% o
更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
  O3 D* K3 c! Z" r1 |
6 I  b6 `) w. o3 Z" Y6 \


  x/ E6 D/ j$ e  X. j五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
; L) v6 W. O; w4 g在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
/ O, B; V3 ?0 P6 u/ S此外 98 年 B 题体现了分治算法。


7 I+ h* U0 N( A% P( Z" T; E这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
. n6 \! y* G( p# D推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。

) C" G* C$ ?0 g$ i, v2 W# x


六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
' @  D' P! ~, n3 U
在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

0 A. u' g1 \+ w: {以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，

; _' U7 e9 q3 j3 ]# N# _& @说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
& x+ c- L* y/ X% d7 P$ a4 P7 S
- Y) h7 J& E$ N1 }2 ^, m2 C
7 V' G. K. b2 g% L; k& I6 u
0 t) L0 S. k5 y8 _8 ?另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
----------
经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
7 B9 }1 ?% U, o6 A  w% Q7 nhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
; N4 o! Z* ~+ T
. o7 n3 h2 |4 I+ G+ p

8 `8 j* e# [7 c7 f- {7 d其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
- k, ]: t" ]$ `+ r) D


0 l8 c* }4 i  f; T% D; }
, Y+ c; R% a. r' ~/ P+ j% S七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
8 ^. h3 L' O# N2 }. x比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
7 D$ m' w8 d- ?3 X: k! ]7 c4 A, @5 x
, Q  m, D9 a: L( }, h
1 `! J- x; a# x# n) G) s# c: V在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
, m! Z3 Q5 y8 d% V) t$ o8 P
! J: ^; l/ W* u# B快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
# x( S7 H$ c, i) y
穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  

3 j# p/ u2 ]( H1 K0 Y

! N0 J7 J1 P& {% V  S
八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界

$ n( d& D; c% I% T* B" m& L中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。

0 J9 b& b2 r6 b% {1 b4 {# N
这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。

  {6 A; k# l; `0 C" B% F( |: [8 b
& B8 F! t* s1 h

九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
  _" @( ?) D; ~' `# B
算法。

如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
0 w8 ?: m( u& L; o) g
+ b/ W9 C9 ^' M7 `这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
: l# F" B/ W" O9 X因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
- d6 ~! |: o  A

  h, A2 B7 H1 [, g2 j

十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
. j6 n; e$ j" U3 b' N  l
计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
; H' A5 r# ]& D, ?) w8 G
因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
7 ]3 q% B7 q2 J---------------------
, D1 L: A' l& n( U( v! r作者：画面太乱了
/ k2 E' y5 C$ J# L8 D- Z3 g& N1 Y来源：CSDN



7 \1 ?: X" j. r4 X, q# K: L8 x( h4 P: |