数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

2 @+ y8 Z  Q2 v% T8 o( _/ W/ Z数学建模十大经典算法漫谈
数学建模十大算法漫谈
7 z" l  `6 ]8 a6 c( I


作者:July  二零一一年一月二十九日
8 I+ _6 a8 g8 ^
本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科
* X3 Z) r; \$ c" O: g( r: \
  H. I! ~7 y- O0 H8 Y------------------------------------------

博主说明:
- {) ^- i6 J4 K3 `" V/ r$ G, {$ G5 A1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
7 z9 E5 ~$ \7 }0 s2 B这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
0 _* @$ K) D6 f+ ~; m2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
& h! @8 O9 G3 r! K同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
谢谢。

* n( l/ Y9 D3 o1 a2 M
% d. w& ^" g0 d5 R% P: s
' u# l% V% c1 S: ?+ `" t+ t

* U9 e( d- f% j0 n, f. P一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。
3 f1 B4 h; L9 U  r
  e! q9 u3 n) d# O4 D
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
" K, D6 h) `9 l) z

+ i2 v6 Y- d) w
5 _: J0 {# n5 |0 p% N蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

# z( N# N; h; J4 E) H9 D& x的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
# D+ I9 R2 N" n/ b, @/ L) x
法。
) O& I; O2 l" G* K$ Z7 W& S
- q; Q5 @) {, U

由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
  J3 S. x& x: x0 Z% {% o
实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
; q) \/ K" l& b3 w# A+ h% z" e' I当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
/ W( v8 B, [8 o1 I
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
! d' S7 Q9 y9 M& D
为问题的解。
3 w! h' q, x7 m2 h" `: R* r

* ^$ t- R& n7 Z# L. {# L+ n0 ?6 t
1 K4 C% t0 h; u* D( B: j有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
# x6 C/ h, [. O  x1 ]
度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
  ~9 R6 l4 k! J% o  P" L
，结果就越精确。
9 h0 G, }" E) k- `  S" {在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。


蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模

) A% c8 T3 B* v9 L% H3 }" Y拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
2 e, N8 D- @3 v8 a( I: {0 O
. g! ]! X+ s9 h! i; J0 z! J近似解。
6 ^$ `3 e* X, n7 D; ^

/ \* S# _' r2 l+ p9 h" |: k
; X; `" g7 A3 ]5 i3 O1 e; x8 i蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而

; H$ j3 o  {3 |6 O; `5 ~蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
, ?( [7 |: i+ m, E) tI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
% Y: h) a" m8 ?; a- d& k, Z( pIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
4 v5 t# L: w% R: a9 W等等。

此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。




5 g5 d' f' e8 ~1 B) i, }& {二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
! \! y8 F% x; `& h( p我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
$ p' Z2 G& m# Z3 a0 Y
/ s6 K/ T5 q% j$ a  f) |数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
# V% c8 w6 E  n# P% `+ p
8 C; U$ t* s! `1 c学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
2 M7 G* G7 h0 U2 I
吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。

/ c' h1 n# r; I* x" H8 _- |
) X; W$ h" q" D: j+ X
; _8 {* Q5 H" C9 ]$ C! O此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
" [" M4 M* S( M; o

6 }( Z/ z1 @2 U7 O0 y* l

三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
/ X; x, K( Q* \( Y/ ?! S数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
2 E& F' O0 q" R4 z9 N
、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
% l% b6 M8 W( o) ]: J
7 s2 W. |& \8 G9 I1 i1 I* f8 `完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
2 T" }% n  U  F
需要熟悉这两个软件。
% Z& D# A" z/ d: [6 c, P
* v$ v# t% Z7 J" r% ^
$ t' h0 w- C/ w" [# F9 T3 |

# U; j9 {3 q4 \7 ^% K' Z9 r# A: x5 _四、图论算法
* F; }8 f+ ^3 g6 ~& n- V' L% x这类问题算法有很多，
. J4 _8 \! K  q: ~' ]包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。


7 j% s3 v3 D6 r* f0 c: ^, k
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
: d6 }: L. r( R( [-----------
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。


" Q9 T4 N" p1 Z* Z9 e2 l$ b
4 |3 H, [* N" h8 _
五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
* w9 t% t6 w4 ^1 t此外 98 年 B 题体现了分治算法。
0 B  W2 G  u5 ^% m- D$ Z

这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
% \% J6 [8 F- C) D  [& t7 T推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
4 }+ j$ \+ _. B" ^9 F3 E
- i+ k- l6 `3 G1 `7 e
$ }4 T' b; b% j+ {7 z
1 f# Z% d& d- L
六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
1 H: a9 r/ D# ^. r+ S
在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
7 g: y) _; t6 @  C& a* u
% ]2 ~- p2 s& q/ s4 e, m9 q* D以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
$ w  A1 l/ n- {# @1 i
说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
# J( {1 }* l$ C3 ~% G: m

5 J, k, J" B2 J" J9 `3 V+ ?
, {: Y' w% D6 Q3 v0 f% b- A另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
  N# W9 s4 B* K. ]4 p. D- x$ v----------
  ~5 t2 d1 U2 J2 X  D8 G经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx


6 z' L7 h% i: W+ D4 g
' n# T8 p# P1 ~* I4 Y( f( b其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
' n8 v6 s8 t$ s( I


8 ]1 F  d9 o2 s% Q4 ~
4 r% {' r" F! N% N8 O6 Y0 U七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
6 w: x+ K! u; p比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。

8 y) S) |  G6 l3 g/ q1 X! a
在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
# P" x$ j8 h, ~. d. U
& D7 R* M: E" k6 J8 R: ^9 ^! p5 m快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
2 A7 G6 t/ x' [, z- c6 B- X9 B
1 r) {* ]% N' `% J. n穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
+ f  ^( t3 P  K) u7 D* \: V


  X: v5 E& s7 `$ H" |
5 C, n" ]# C/ n! h! n% |6 t八、一些连续离散化方法
0 i; ~8 |6 k' D* G8 M% D7 d; o大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
8 [" F9 {* p# G; n
4 A1 T! J! Y8 W0 G5 w中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
) T( ~( l8 _+ Z2 t% g% B& D* h3 j
4 H& z; r5 I+ a" V, c
这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
6 f2 L( a' c1 q# Y( i, O  ~5 ^
1 t6 v  g% R. [# _: |  |
  T6 A2 A5 W# k4 \! |) R2 J- R5 T

九、数值分析算法
+ A4 [- s$ {  g6 u, B数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的

算法。

如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
) }6 K. Q1 S$ P8 B) J8 x5 s
3 r2 m* S! @% c% a函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
2 \& v% J+ ~6 Z8 |; i) r
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
" ]: w* [( e! ~

* ~3 l2 }' R( \. S, V: P( O3 \- Y
" @: R" E+ o' A- g
十、图象处理算法
" P" C' f- l" c: e在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
" w' D" t: c& M- M1 d, x9 P
5 B9 Y2 S. L, x计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
" ]. T- @2 R  ?% A7 W$ p! @7 `
因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
+ b. [0 X# t5 {9 {' n---------------------
作者：画面太乱了
来源：CSDN
% p5 D1 q9 g! c% R$ m& c