数学建模方法（一）预测与预报

杨利霞

数学建模方法（一）预测与预报
（一）预测与预报

灰色预测模型（必须掌握）
& }8 M$ P! t4 g; e4 H/ i
  i6 U, A: j) \, A: Q$ Q满足两个条件可用：
①数据样本点个数少，6-15个
! ~2 t+ V( `  f: F  s- _5 L②数据呈现指数或者曲线的形式

概述
关于所谓的“颜色”预测或者检测等，大致分为三色：黑、白、灰，在此以预测为例阐述。
其中，白色预测是指系统的内部特征完全已知，系统信息完全充分；黑色预测指系统的内部特征一无所知，只能通过观测其与外界的联系来进行研究；灰色预测则是介于黑、白两者之间的一种预测，一部分已知，一部分未知，系统因素间有不确定的关系。细致度比较：白>黑>灰。

% Y! \4 q8 w3 v/ Z; y0 B9 C- h原理
, m! \* I3 g4 i/ Y: H( F灰色预测是通过计算各因素之间的关联度，鉴别系统各因素之间发展趋势的相异程度。其核心体系是灰色模型（Grey Model，GM），即对原始数据做累加生成（或者累减、均值等方法）生成近似的指数规律在进行建模的方法。

  c# T* D% z2 R8 Q分类及求解步骤
1、GM（1,1）与GM（2,1）、DGM、Verhulst模型的分类比较：


, ~) k2 r, g  b0 Y3 i5 }1 D. h0 U# }
2.求解步骤思维导图：
' R) d1 R5 |, f* T* P

2 Q9 j" ~# ]7 r" ^2 \

• 实例
  1.使用GM（1，1）的预测检验“北方某城市1986年-1992年道路噪声交通 平均声级数据：”

  
  3 o* |, J& a6 Y# _9 i+ A

见下图：

8 q* M5 P" e3 P' q8 [
2.使用GM（2,1）的MATLAB实例：
0 s1 T" v5 k8 F* a, o$ P
3.灰色预测模型GM（1，1）
! u6 Y" ]8 H3 v: i$ pGM(1,1).m

+ J9 G1 ?5 k7 H6 c& q- q4 t%建立符号变量a(发展系数)和b(灰作用量)
  e1 s  l, T3 Dsyms a b;
c = [a b]';
$ K& Z0 p. x0 n4 n5 r* [
. B; i* {3 c7 Z& }! P5 x%原始数列 A
A = [174, 179, 183, 189, 207, 234, 220.5, 256, 270, 285];%填入已有的数据列！
n = length(A);
9 B( N% B5 ]% L6 c
/ j8 l, p/ t8 S  r%对原始数列 A 做累加得到数列 B
5 z6 h' A$ ^' K& }! W9 X3 y0 x! iB = cumsum(A);

* R& S3 Y" e+ `+ S6 j5 C3 B%对数列 B 做紧邻均值生成
  j0 d$ c/ P3 }$ M/ z8 Efor i = 2:n
! z; r9 X# X( q2 ^; m* @) o8 ]    C(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;
end
7 [$ }. b" z# j( i8 W  `: p, @C(1) = [];

# b0 t7 _. H0 y: Q6 j%构造数据矩阵
B = [-C;ones(1,n-1)];
7 n' d4 l- M8 j% JY = A; Y(1) = []; Y = Y';
+ G. \3 D) A* K# d+ ?
%使用最小二乘法计算参数 a(发展系数)和b(灰作用量)
c = inv(B*B')*B*Y;
c = c';
a = c(1); b = c(2);

%预测后续数据
" m  W' {0 l  J+ u( f, PF = []; F(1) = A(1);
, a' e) }; w4 h  B& D& I- ?for i = 2:(n+10) %这里10代表向后预测的数目，如果只预测一个的话为1
    F(i) = (A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+ b/a;
- H( w% m* r: @6 p' p9 X9 Bend
% ~% H# ]+ F' p) s2 O3 i  M
9 _" W1 [& i2 o8 o, k3 b%对数列 F 累减还原,得到预测出的数据
G = []; G(1) = A(1);
. T  O# Q* k( ]for i = 2:(n+10) %10同上
    G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据
- T& Z# L2 V. hend

disp('预测数据为：');
! y$ P" e1 N/ ~/ V; K  Z8 H& yG

%模型检验

4 n6 W/ V9 R( x) L" c. d/ P/ q' \H = G(1:10); %这里的10是已有数据的个数
%计算残差序列
! |( N: a2 ~- {1 N8 l0 H$ \  Qepsilon = A - H;
# b9 A' t8 Y0 |$ x" C( q8 _8 s+ {
$ ]$ Q# |- C- ]& ~! V# j* [* g/ J%法一：相对残差Q检验
%计算相对误差序列
! ?3 ?: B0 u) _$ R  n+ J3 n; adelta = abs(epsilon./A);
' o. [/ f; v2 V, K3 j7 y, s) c%计算相对误差Q
disp('相对残差Q检验：')
. K1 m  J# q7 _! n( X4 h- ?Q = mean(delta)

%法二：方差比C检验
8 e: E5 I9 C: r/ Z. H, Tdisp('方差比C检验：')
! o, q  |4 J  a! d! H! dC = std(epsilon, 1)/std(A, 1)

%法三：小误差概率P检验
/ E0 M3 R. V& HS1 = std(A, 1);
tmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);
disp('小误差概率P检验：')
) O! G! I" F0 [' Q$ }3 |P = length(tmp)/n

5 |& E, B3 D: |+ y  B3 |0 _%绘制曲线图
t1 = 1995:2004;%用自己的，如1 2 3 4 5...
t2 = 1995:2014;%用自己的，如1 2 3 4 5...

- r) i2 ?+ m; ]0 k) }4 C. w9 w3 wplot(t1, A,'ro'); hold on;
plot(t2, G, 'g-');
xlabel('年份'); ylabel('污水量/亿吨');
legend('实际污水排放量','预测污水排放量');
title('长江污水排放量增长曲线'); %都用自己的
grid on;
. b# ]( N  s# U1 ?
  P" H3 I! y2 l; v


2 E. \2 _  r) Z" `, n
9 L6 Y1 Z! @$ R# f1 `. z