数学建模方法（一）预测与预报

杨利霞

数学建模方法（一）预测与预报
5 ~4 g; |- T. F; J( [6 x（一）预测与预报

$ Z+ _; ]* C: b. _$ u+ s灰色预测模型（必须掌握）

' m: p' e8 k4 D- z! _满足两个条件可用：
①数据样本点个数少，6-15个
3 _6 f6 u  [% z! L5 W% s& F5 Y" |②数据呈现指数或者曲线的形式
$ G& P- h, ]$ ?8 b. V2 Z: Q
- F' D/ N( L! m9 m" ^概述
关于所谓的“颜色”预测或者检测等，大致分为三色：黑、白、灰，在此以预测为例阐述。
( ^" ^! c2 A& H9 A# T其中，白色预测是指系统的内部特征完全已知，系统信息完全充分；黑色预测指系统的内部特征一无所知，只能通过观测其与外界的联系来进行研究；灰色预测则是介于黑、白两者之间的一种预测，一部分已知，一部分未知，系统因素间有不确定的关系。细致度比较：白>黑>灰。

/ C3 G; r8 S6 e原理
灰色预测是通过计算各因素之间的关联度，鉴别系统各因素之间发展趋势的相异程度。其核心体系是灰色模型（Grey Model，GM），即对原始数据做累加生成（或者累减、均值等方法）生成近似的指数规律在进行建模的方法。

分类及求解步骤
; M7 M( o: N; b- U" Z4 Z1、GM（1,1）与GM（2,1）、DGM、Verhulst模型的分类比较：
. c, k3 x( k6 y0 t5 s; J  w- a( ?
+ D' D" o( q9 i

2.求解步骤思维导图：

6 p2 \' c& V9 J6 `4 c# t9 ^. a
+ C9 e, K/ M) [

• 实例
  1.使用GM（1，1）的预测检验“北方某城市1986年-1992年道路噪声交通 平均声级数据：”

  
  

见下图：

* r* c6 A$ T. f6 N4 p) R; {8 M1 U
! B5 E8 e! @: @
2.使用GM（2,1）的MATLAB实例：

3.灰色预测模型GM（1，1）
GM(1,1).m

8 S1 Z" |% c. c%建立符号变量a(发展系数)和b(灰作用量)
syms a b;
# j7 K' X) e* P, w' Z4 ec = [a b]';
/ S# m, Q6 N  V+ c. b+ L3 ^9 v) i
%原始数列 A
A = [174, 179, 183, 189, 207, 234, 220.5, 256, 270, 285];%填入已有的数据列！
n = length(A);

%对原始数列 A 做累加得到数列 B
B = cumsum(A);

%对数列 B 做紧邻均值生成
for i = 2:n
% O" z) L! p2 P    C(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;
7 k8 ?) U7 ?2 L9 y, v' fend
9 g- j$ s1 H/ l% s, ]6 sC(1) = [];
1 L5 G! ?6 t2 t  f1 X3 l8 V
' S+ x2 D+ B$ ^  \%构造数据矩阵
4 A: C% |/ @& k$ r5 EB = [-C;ones(1,n-1)];
" |3 p( M$ X( m7 F3 W$ ^9 [Y = A; Y(1) = []; Y = Y';

%使用最小二乘法计算参数 a(发展系数)和b(灰作用量)
5 [" C  O- `. T# m6 C4 o4 O  xc = inv(B*B')*B*Y;
c = c';
4 L8 w0 f, s: p$ Ua = c(1); b = c(2);
9 D8 o/ m! i& r1 r, Q) w
%预测后续数据
& n- L0 J- z* r7 O# M, wF = []; F(1) = A(1);
/ E* P' J' t3 R7 bfor i = 2:(n+10) %这里10代表向后预测的数目，如果只预测一个的话为1
' [% d8 B9 o6 H    F(i) = (A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+ b/a;
end
  A/ ?- }7 M6 E7 ^' s& \" I. h" ~
% t7 r/ i* }$ x& c. h% a' s# O! K% @' H%对数列 F 累减还原,得到预测出的数据
G = []; G(1) = A(1);
# M& _2 X1 _/ o0 `( u2 Nfor i = 2:(n+10) %10同上
    G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据
% \' t' }* b) Y1 i0 Cend
* Q6 u3 n( J. k$ j
( u8 P$ n9 v. X0 i$ {1 @disp('预测数据为：');
" m4 t: P- m5 B9 W" ~- IG

%模型检验
. V3 l" q8 b  a7 _
H = G(1:10); %这里的10是已有数据的个数
%计算残差序列
epsilon = A - H;
' A, `; b* B: ~7 c* m4 }. a# i
1 Q1 M* d8 X2 c% X6 Q3 t%法一：相对残差Q检验
* e# j7 S6 U9 s- P5 {0 h  |& n# \%计算相对误差序列
delta = abs(epsilon./A);
%计算相对误差Q
  V" C2 }5 r) x/ f- B8 S6 pdisp('相对残差Q检验：')
Q = mean(delta)
# W2 f( z4 Q6 F; u% v/ k5 g1 c
+ Q, K. d! s2 d3 ]%法二：方差比C检验
: k' C8 R7 s5 W5 W0 ?3 \disp('方差比C检验：')
5 s% O  L2 Z6 n* T7 FC = std(epsilon, 1)/std(A, 1)
) C5 M" ?; V5 |1 j* a0 Q: o0 ?( r" T
3 m1 w' T; o7 U3 h%法三：小误差概率P检验
3 K* s) N1 `8 J% y" hS1 = std(A, 1);
, ]4 h1 u+ t3 D/ |1 Btmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);
disp('小误差概率P检验：')
; z( m& p6 Z( c- A2 BP = length(tmp)/n
/ N- s' ], }$ e/ B
" T3 U" K3 ?& ^  q$ x3 y7 i, i' O%绘制曲线图
t1 = 1995:2004;%用自己的，如1 2 3 4 5...
- }8 \8 H3 P- \, g4 ^t2 = 1995:2014;%用自己的，如1 2 3 4 5...
; C, _1 ]3 n: B
plot(t1, A,'ro'); hold on;
plot(t2, G, 'g-');
; l, y( J0 c' S8 V. |% W2 s2 _xlabel('年份'); ylabel('污水量/亿吨');
legend('实际污水排放量','预测污水排放量');
9 M  q6 g* n% C; `$ R+ {title('长江污水排放量增长曲线'); %都用自己的
grid on;



5 _' O- q6 X$ W) A0 w
4 \3 ?' B7 P+ Z. K