数学建模方法（一）预测与预报

杨利霞

数学建模方法（一）预测与预报
2 u( t4 w* @" ~0 |+ ?（一）预测与预报
; _7 {- D) F3 F! y" r
$ @" A, X6 \9 Y' o& z# Z) }  |灰色预测模型（必须掌握）
3 p- O; t/ f! ]* X
0 J/ |& B9 @7 d4 q+ G# L/ t满足两个条件可用：
①数据样本点个数少，6-15个
, Y/ I. w# @- y% V! J②数据呈现指数或者曲线的形式
: o$ I. ^3 y( N  l
概述
( ]" E, Z( B1 @  `关于所谓的“颜色”预测或者检测等，大致分为三色：黑、白、灰，在此以预测为例阐述。
! A9 r5 S) I4 f. Y  ]其中，白色预测是指系统的内部特征完全已知，系统信息完全充分；黑色预测指系统的内部特征一无所知，只能通过观测其与外界的联系来进行研究；灰色预测则是介于黑、白两者之间的一种预测，一部分已知，一部分未知，系统因素间有不确定的关系。细致度比较：白>黑>灰。
4 j$ T% q% F" R% ]" L  L5 l& V1 i
原理
灰色预测是通过计算各因素之间的关联度，鉴别系统各因素之间发展趋势的相异程度。其核心体系是灰色模型（Grey Model，GM），即对原始数据做累加生成（或者累减、均值等方法）生成近似的指数规律在进行建模的方法。
% z% T. i' T8 B, Z; X) ^1 l4 o+ f
' M2 y, ^0 W' G! H8 V+ P分类及求解步骤
: s" h3 H) w2 n( s3 m1、GM（1,1）与GM（2,1）、DGM、Verhulst模型的分类比较：
9 r, F- r4 i( K$ \" w
" a5 o8 U: [7 T+ C
6 p/ I$ p: r  T/ I) ]8 N1 ^* o
2.求解步骤思维导图：
( N) o7 Z1 t- y" q4 R& y

( l0 v9 x- Z  O( W; |- w  u2 V9 i

• 实例
  1.使用GM（1，1）的预测检验“北方某城市1986年-1992年道路噪声交通 平均声级数据：”

  
  

见下图：

) q) Z/ f& p) U, @# ]2.使用GM（2,1）的MATLAB实例：

3.灰色预测模型GM（1，1）
) Z/ b4 f5 P. C; {GM(1,1).m
3 b2 H/ V* V& t) |- F8 M) J
%建立符号变量a(发展系数)和b(灰作用量)
syms a b;
( }, ?2 B# D: L$ Y8 J. E& t) C. Y' P- Rc = [a b]';
0 o" c, g" Z  o" e. j
* H, r$ y3 f! s( V3 o9 [%原始数列 A
A = [174, 179, 183, 189, 207, 234, 220.5, 256, 270, 285];%填入已有的数据列！
n = length(A);

4 ~% o% u: Y' F4 n4 T/ t6 I8 f: t+ m%对原始数列 A 做累加得到数列 B
B = cumsum(A);
$ P0 D- u1 u/ ]
%对数列 B 做紧邻均值生成
% r- d6 N6 p9 L' n& ?0 }for i = 2:n
7 ?( P: [9 R- u  j" Q# _    C(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;
end
3 Z- O" f% B2 V8 j6 m$ YC(1) = [];

%构造数据矩阵
B = [-C;ones(1,n-1)];
( C* ]4 u* t9 Y( ?/ `4 o" F, hY = A; Y(1) = []; Y = Y';
0 [! X$ n* R. [$ e3 [5 N) G
$ S2 e: q( W, t, g%使用最小二乘法计算参数 a(发展系数)和b(灰作用量)
2 q9 d  K2 R9 @" k+ y, Gc = inv(B*B')*B*Y;
' K! x1 e# J9 d* d* k( H0 H2 Q0 D4 Dc = c';
a = c(1); b = c(2);
( H" j, s6 F# F) Y! x: F9 a
%预测后续数据
F = []; F(1) = A(1);
7 \! {% _- B. C$ h8 w' E6 zfor i = 2:(n+10) %这里10代表向后预测的数目，如果只预测一个的话为1
    F(i) = (A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+ b/a;
end

%对数列 F 累减还原,得到预测出的数据
5 H. @$ u0 ]" j+ E6 d) Z# J9 U  GG = []; G(1) = A(1);
for i = 2:(n+10) %10同上
    G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据
end

disp('预测数据为：');
G
5 J5 l0 F% `2 E- z3 e  R  m5 T, X% Z
- F8 s2 V& F6 x%模型检验
' ^$ O4 \" r0 Z
H = G(1:10); %这里的10是已有数据的个数
" I8 B3 F; t% Z. ^/ r$ T/ s%计算残差序列
epsilon = A - H;

%法一：相对残差Q检验
/ i& I, E% A$ N! F+ i%计算相对误差序列
delta = abs(epsilon./A);
7 k( k" {' i0 P, Y4 }%计算相对误差Q
disp('相对残差Q检验：')
Q = mean(delta)

%法二：方差比C检验
; J3 F1 N) g. D7 ^& b' y) v  bdisp('方差比C检验：')
C = std(epsilon, 1)/std(A, 1)

- F$ j$ P5 w" D6 e- D, m%法三：小误差概率P检验
S1 = std(A, 1);
tmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);
disp('小误差概率P检验：')
- B" t4 ~! ^3 C3 F  w) FP = length(tmp)/n
) e3 q4 t/ ^3 d$ R  a  n  f0 i
1 a& n. o) P6 N3 Y8 j. }# l%绘制曲线图
: M) O6 u7 T% c/ j8 W! _( nt1 = 1995:2004;%用自己的，如1 2 3 4 5...
t2 = 1995:2014;%用自己的，如1 2 3 4 5...

plot(t1, A,'ro'); hold on;
plot(t2, G, 'g-');
# b3 d, Q9 }5 l# Lxlabel('年份'); ylabel('污水量/亿吨');
9 ^4 c5 K8 A9 tlegend('实际污水排放量','预测污水排放量');
title('长江污水排放量增长曲线'); %都用自己的
grid on;
/ x% y7 H; @$ J$ M; N
+ @& x! |/ w. `3 \% E
3 z7 r& @, v" }; s& }+ O
' N/ \- n; `. `7 h* F
0 R8 k+ U0 g: ?4 N; ^% r$ V