数学建模笔记1 算法总结

杨利霞

数学建模笔记1 算法总结
建模步骤：

( i- t# H$ n. s7 d  C: A1.赛题分析
) C3 p0 s  ]6 t3 o/ W9 p$ u; c
2.模型假设
( M) a; J) C$ ]* M0 h/ K7 L
" u$ ~8 g& R. D( f3.模型建立
$ w  U9 `9 c' S0 B) w) ?0 b
# ]& Y: j0 E) W4.模型求解（重点是代码）
" C; _9 ?2 M, Q  k$ l& E4 \# ~
5.模型分析
. a  }* A$ `+ }$ _! c) m- m; l
6.模型检验：检验算法是否是对的，比如用原来数据预测现在的已知数据，若符合，那么这个模型精度还是比较高的。
+ {2 _' e8 k$ v6 O. v, @
7.模型应用：写四五行，美赛要写，以后这个模型还能用于什么地方。

数学建模有哪些问题？（重点）
4 @$ X( @+ q* g+ S; o! b$ ^
/ B/ t6 ]# P' x( q3 I4 d①数据处理
' g- W8 D. _" o0 b1 W6 |7 T
9 w# n  y1 B7 u4 }) l# z0 V# t) g②关联与分析

③分类与判别
2 l. w3 W8 r& M; @+ \5 R; R2 v& N
④评价与决策
/ X7 d2 @% T3 T3 _8 H6 e
⑤预测与预报
9 c" m$ |6 b& _( f  T- H
⑥优化与控制
, ?& M$ S# B6 q! W0 F
（一）数据处理：

1.差值拟合
5 j# ^  K0 A9 T# l+ O3 a2 W
主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

2.小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

主要用于诊断数据异常值并进行剔除
5 Y  f$ H* ?6 i5 ]9 g: x1 u% |
3 S9 z% J1 G7 i! Q0 B# ]- \3.主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
1 b1 B5 r: ~+ }. E
主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

4.均值、方差分析、协方差分析等统计方法

主要用于数据截取或者特征选择

: j+ U2 Q, y' o$ T3 \' w4 `0 n（二）关联与因果
* L; w0 B1 T) V  z) D5 S' R* n9 Z
, ~: e' ^  ]' q9 w. U7 `# c一般给出明显的多维数据，给出输入和输出，求关联因素，分什么原因导致，哪些因素影响哪些因素
3 t# P+ q  R+ U* j5 [
1.灰色关联分析方法（样本点个数较少）
9 G- }* ]: |3 f/ u+ Y4 q) m* j
8 O7 b  _% e1 U2 w2.superman或kendall等级相关分析
0 `: z6 p9 E2 f" I4 ]' E8 q
3.Person相关（样本点个数较多）
7 i) U4 }5 X/ V! V" h  ]
4.copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
# |9 U) O7 j4 h+ k' ]  Q
5.典型相关分析（因变量Y1234，自变量X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密）
; m+ u# Z5 k" S; u: E
第一种和第五种常用。
7 ^! K+ M2 L1 p2 k+ y: s; P% H
拟合也可以进行因果分析。

( F7 t/ W8 l5 H4 w( A1 M. `  H8 C: w  N（三）分类与判别
1 s% m( V& R8 U; }3 o# t% i% R
4 b5 ], Z, T' K: k主要用高斯混合聚类等等，觉得难度不够也可以用SOM神经网络聚类

1.距离聚类（系统聚类）常用

2.关联性聚类 常用
& I, [; O* L* P+ I, ^1 W3 @
! W% x+ s' j+ I( r8 M  f( e  u4 \3.层次聚类
8 i8 g. a( C! a% x2 n
3 c4 ?$ ^& d! m$ F2 f4.密度聚类

2 ^' Y1 D0 u* F9 M& q6 V5.其他聚类

! U# X0 R9 D* z- E' z6.贝叶斯判别（统计判别方法）
" p; N; n) F% ]5 f/ l
7.费舍尔判别（训练样本比较少）

8.模糊识别（分好类的数据点较少）
0 _/ Q, c/ S; ?; Y4 Y
0 n+ d/ y( a4 X* H（四）评价与决策

哪个方案更好？在哪修路更好？综合分析全球水资源？

' @' k9 s; U4 H1.模糊综合评价

/ U! y7 F8 [0 B5 D, m; y评价一个对象优良中差等层次评价，评价一个学校等等，不能排序，较为模糊。
- ~9 [4 p: C; `. }1 O
2.主成分分析
* t$ Q1 w+ r) I5 _( M: l
9 B( W$ h& [) |& ~* q评价多个对象的水平并排序，指标关联性很强

3.层次分析法：线性相关性强
% E& j) u1 r- U5 H4 v3 H
5 S' i: F0 u. J, b, X* ]做决策，通过指标，综合考虑决定（太低端，尽量不使用）
% ~- C7 L' [, c! B) B! M
4.数据包络（DEA）分析法
- b( Q" w. k' E) `# q+ M! j
优化问题，对各省发展状况进行评判
2 f3 E( G7 [6 ]2 c! x" q+ O
% J& l/ L8 M. _) g5.秩和比综合评价法

4 [! R" Q, m" T$ G; {+ O2 m评价各个对象并排序，指标间关联性不强
- t( s- H! M! A% H' B- E' E
6.神经网络评价（什么都能用神经网络预测）

, N1 X3 u+ \7 ^- p适用于多指标非线性关系明确的评价

' ^3 m9 `# d  G1 z/ k7.TOPSIS法（优劣解距离法）

8.投影寻踪评价法
4 ~% T0 T9 R; S# `
糅合多种算法，比如遗传算法，最优化理论
: `- |  E" L" Q5 l6 p! O
' |6 [9 W1 u1 ?- m9.方差分析、协方差分析

8 n4 C6 k% f  L方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子产量有无影响，差异量多少；

8 |- G! g! l6 Y0 F7 J) N& S) K协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但是注意初始数据量纲以及初始情况。
5 b" A/ {+ y- U/ @2 I
（五）预测与预报

五种：
: o/ Y! P) ?: L& S/ F- g7 Q
% |6 E* e9 y/ }( O' l8 r小样本内部预测（样本小，少了一两个数，差值拟合出来）不会用
) ~% t1 }3 g% S- O: ~% y
5 V2 ?6 W5 K" x7 m大样本内部预测  和上面不会用

小样本未来预测  给了很少数据，预测未来

大样本未来预测
4 y& |6 ~9 w! X  F# T- C- W
大样本随机因素或周期特征未来预测  随机因素多预测未来的数据
$ A; j" j9 J) Q# _# V9 w: C
- V" g/ [- z- P- s, s1.灰色预测（必备）
* ^, C+ f* w6 C1 m- n( M" r. e! {
：用于小样本未来预测

满足两个条件可用：
$ H/ U& E& @! q2 }/ j
a数据样本点个数少，6-15个
0 x7 e" F, [. l7 }7 ^# ]
b数据呈现指数或曲线的形式
3 G6 W( S% h( D& z
7 c/ R  X4 h3 w3 C: |& }- B/ _- E$ Q2.微分方程预测（备用）

" O$ w; F8 a; \) [无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导原始数据之间的关系。

3.回归分析预测（必备）
0 ], q8 l3 b6 q  o& x6 y; T
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变化

" l( z  `0 A" s6 t样本点个数要求
2 {3 Z* x; Q' U4 ~& ^5 R- N0 B" ?
) i+ H5 D; D9 h( f% u# F# _: |' [a自变量之间协方差较小，最好趋近于零，自变量间关系小

3 `( V8 A) d7 M9 ?; |, Rb样本的个数n>3k+1，k为自变量个数
6 @% L* K! E0 J; E$ U9 @
* p( o; P) v' U6 n  S8 Rc因变量符合正态分布

用于小样本或大样本内部预测，比如十年数据少了一个，可以拟合出来然后看出来
2 Y8 n7 Z( x5 V5 R3 C
4.马尔科夫预测（备用）

; s- I* b  {0 k( s5 k' _* n用于大样本随机因素或周期特征未来预测。
) R1 N* v) q& Y
一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天的温度高、中、低的概率，只能的到概率
  |! F! i( B7 P0 D
5.时间序列预测（必备）

与马尔科夫预测互补，至少有两个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

3 Y& k1 l  `5 d+ B6.小波分析预测

7.神经网络预测

9 {& ]6 b' R/ k) a, W8.混沌序列预测

' }. M; Z0 @: s. K2 a大样本
: ~0 q* D) H9 T- S; D8 X# _: ?
4 b* t+ l( R2 Z* V& U& r" i（六）优化与控制

& T8 P1 P- L& f% ~例如生产线最优，公交车调度，选址问题，美赛运钢问题

- U. Z! F8 s: N5 O1.线性规划、整数规划、0-1规划

有约束，确定的目标

2.非线性规划与智能优化算法

5 V  N0 A/ f: V) W& T; |/ ~+ P  t3.多目标规划和目标规划
6 [' q5 F/ F& \% s* S  G
7 t- z. _6 E* H柔性约束，目标含糊，超过
8 X5 |% ^' k* |& d6 s1 |& X
4.动态规划

8 R  `8 c5 H% T: s( U5.图论、网络优化

多因素交错复杂，给你一个图，选址等等

" ?; D4 u$ o$ P- a0 d  A+ k' m6.排队论与计算机仿真
- i; ?. A- m8 \! ?7 T! X
7.模糊规划
( f5 [2 M4 `3 d& g1 U
8.灰色规划
% ]5 y7 q6 ~/ B. q) D4 g( ]7 p* I# ~


几个智能算法

求最大值或者最小值都可以用智能算法
3 H  D# k" [8 S$ t% O; d2 `* }  ?( [
3 E2 |' M( u1 K% ?( @' |6 v还有bp神经网络求最优等等
' b% b& q3 `9 }5 ]; r7 h
遗传算法
7 h" j8 ^6 X. M. e0 W
模拟退火

, o2 i1 b, W9 A7 \& k粒子群算法
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原文链接：https://blog.csdn.net/mxb1234567/article/details/86608827


& w4 N: L( F; K