数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

今天学习了插值法的matlab实现。
1 p( P6 C; o% H. p我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。
' q7 h6 C0 G4 X
插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
5 {+ `- ^7 w4 X# F1 }
, O% R# @' q4 w7 q一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
& s& ^6 n* ?) X0 [, q% w5 J, H这两种插值的matlab实现也是本文的重点。

接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
0 ]6 ]) J7 m6 X1）分段三次Hermite插值
① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
② 分段三次埃尔米特插值：

9 ^3 {6 ~- ~- H5 R( a8 F
8 ~1 \8 `$ y4 r$ u0 z% f/ `& V2）三次样条插值函数

其次，再用matlab分别实现两种插值法
3 L  d, m6 W7 c  L, o6 |# }/ c5 K这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
3 G  c. |# K. F0 Y这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
/ }3 P+ X: V$ m' m4 E) x
接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）
  S. u+ V% x6 T9 e
6 r+ k4 }& d; }+ j( \. Q这是我写的代码：
! J* l2 |( b1 A9 V( m1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
（1）代码部分：
  ~9 q/ P( B  P" J
（2）运行结果：
6 G* f3 l) Q3 ^
+ m- P4 F* e* g2 @1 O
2、三次样条插值
（1）代码部分（pchip函数）：


; \1 u  b. W+ R9 l* e（2）运行结果：


经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。

6 \" h4 L' Q2 ?+ [注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
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chace

谢谢分享 努力学习
  @6 E0 p# j8 y, j4 x2 l# m

张迪迪.迪丽热巴

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xiEnqing

听说回帖加体力~
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