数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
( u5 v, p$ j! j, n# L6 G
7 s7 h6 V  W4 V5 `, a2 P! r今天学习了插值法的matlab实现。
我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。
4 y+ r- c* b5 i" Z; b
插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

* c& ]7 g; Z( P9 ^$ B3 X一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
5 R+ a. m9 p" h而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。

接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
7 j& Y* D' }9 M; ]% O1）分段三次Hermite插值
3 K& f( f; y# F① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
② 分段三次埃尔米特插值：


8 X* f) g0 f" O$ A2）三次样条插值函数
+ z* P3 v7 |+ t, v% n4 c& [5 a
其次，再用matlab分别实现两种插值法
这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
1 \5 y, R' F  K1 ^: c这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
2 v" n" t' Y1 y6 V  o
3 P9 R' I+ H) l3 T6 ~" h接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）

这是我写的代码：
. F3 n" Z9 W9 c$ e6 g; @. l9 K1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
) |" u. q# h. y6 E# d2 q9 B" ~7 }5 V（1）代码部分：
. o; [  J7 e% f8 P& K
) h- `# w1 |$ ^+ p7 @, l9 Y（2）运行结果：

9 D0 ]: S, d( X- x' y
% p9 I( H% R5 H. P2、三次样条插值
' q6 q$ t: g: |0 q! G3 z' ^（1）代码部分（pchip函数）：


（2）运行结果：
4 K2 u* O3 n% Y  K+ |
& T2 [, d! e! y& `; t
0 F* ~8 D4 O: j$ T( v& i! Z经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。

注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
. v; _% |/ G- c" y% f原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616

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1 h, L  L. X8 S& }

chace

谢谢分享 努力学习
3 H1 @+ o7 Z2 g. X8 z& B* m

张迪迪.迪丽热巴

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xiEnqing

听说回帖加体力~