数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
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今天学习了插值法的matlab实现。
, L4 p  Y- `5 A+ v2 E7 E我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。
" l" n* j* T$ X/ Z8 P
插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

) F3 d, L2 f& I一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
6 o" [$ ^8 f+ b" Q$ s4 Q8 }而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
" w" D6 ^5 J  ?1 {5 t* i) G4 r
接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
1）分段三次Hermite插值
2 G$ d9 Z) m0 W' _6 q0 M( k8 {① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
/ g& ~% \' O; ~  i4 y② 分段三次埃尔米特插值：
$ x  \: n6 B5 _) G' m  o4 G4 |
3 k& {6 E4 J3 A" s1 A
2）三次样条插值函数
+ c- t' h1 }- w2 N0 c" X! x4 x
其次，再用matlab分别实现两种插值法
这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：

接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）
6 b* J% D& ]( X8 {  E8 ?* d# s
; W* J9 c  @6 J0 _* u这是我写的代码：
1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
（1）代码部分：
- s8 @1 W" S3 D$ o
（2）运行结果：


2、三次样条插值
3 w* H; ?# O- j, ~( o) a0 Y" V（1）代码部分（pchip函数）：
% L+ u* s# ^& [" e6 @& S

. J; Q! N  w+ b1 F1 Y（2）运行结果：
- W, Y: ^# x" g& P( `
2 Z+ {% O# Q3 O2 N
经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。

( c" M* \+ y; q! w注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
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3 H7 ~- t9 ~3 Q- r

chace

谢谢分享 努力学习
3 U( L+ g, n7 M1 W; q6 O; G

张迪迪.迪丽热巴

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张迪迪.迪丽热巴

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xiEnqing

听说回帖加体力~