数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
2 w3 J  l0 F' @3 p. C
今天学习了插值法的matlab实现。
8 ]  B0 L3 Z" H6 K我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。

8 {* Y7 E3 ]: M& E& p插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
1 m5 y# t- e9 w$ c- p  i
- B6 \& |* L# t3 t+ |0 j3 Q一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
3 \( i3 r8 `2 V, a而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
' x# V! K) L9 x$ }# p! y- S
. B/ i8 G% h- x% }! G  s6 f3 V) G6 k接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
1）分段三次Hermite插值
9 ?2 I( e2 f% ?8 U1 R① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
- _0 P/ N$ O2 U7 @: l1 i（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
② 分段三次埃尔米特插值：

. H1 {; s6 u/ L0 A' [" A
" N: O5 ~% o2 ?# ~  X6 {2）三次样条插值函数

: [1 `+ z8 I" h' ^7 E9 r其次，再用matlab分别实现两种插值法
( m6 o9 F* r6 h& g2 y8 y% r这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：

, d& B8 C5 G5 E- t2 ]" Y接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）

6 u$ p0 Z1 z- z, q7 }9 G8 A这是我写的代码：
1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
# J9 w0 P; q/ A5 P- G9 w+ D1 G（1）代码部分：

（2）运行结果：
) _3 \- G8 I$ R0 C
# J' m* ^; u0 T/ N  U% o2 [
0 [+ w0 q2 L5 W* }7 j2、三次样条插值
1 ~2 v. U8 M* h3 a) h（1）代码部分（pchip函数）：


（2）运行结果：


经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
8 m4 a8 H+ O( }  Y/ i
注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616

) v" K7 H% [% c) b
, H) j0 Y) \: k+ o; ^

chace

谢谢分享 努力学习
. o+ I; I( @. G- Z% {# M6 R4 e7 [

张迪迪.迪丽热巴

发表回复

张迪迪.迪丽热巴

发表回复
0 C5 B2 v$ z8 f+ v$ @7 E  ]; c

xiEnqing

听说回帖加体力~