数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
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' e! {' O% I' W' c+ A" M1 r& x今天学习了插值法的matlab实现。
6 x& Q* Y' M* H" ?% ?. `) ^我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。

插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
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- Q7 @) R* X' A. V8 l4 j一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
: ^! r* G; c+ T* [而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。

, [* ]9 V4 z9 o  w% f接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
1）分段三次Hermite插值
' ~: _# \) |. J: s- u, u* |& I% M8 b① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
6 C3 \: S# e" |& E  [（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
* D$ |0 K- w9 `2 h; h9 C( p4 x② 分段三次埃尔米特插值：
' w' i! l8 Y- N

" M& ~: }) c9 _, u; M! E4 K2）三次样条插值函数

4 o9 q4 F% p  q7 {其次，再用matlab分别实现两种插值法
+ t, H( ^& o' e& F+ c这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：

接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）
2 b' p1 M+ e) a2 x5 v2 \. u* {9 i4 \
9 ~" ~# ?, D1 e, t6 v+ r' d这是我写的代码：
1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
（1）代码部分：

（2）运行结果：

- U; y# v4 F2 y5 J9 k1 e& `
2、三次样条插值
（1）代码部分（pchip函数）：
: n9 P& d4 P4 z
; {- P- I( d% S
（2）运行结果：


经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
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7 |+ \5 O. l9 L1 X- e注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
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chace

谢谢分享 努力学习
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张迪迪.迪丽热巴

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张迪迪.迪丽热巴

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听说回帖加体力~