数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

今天学习了插值法的matlab实现。
& Y/ C* j- U0 {9 X8 }我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。

: d1 ~% ?2 b. m0 [/ G插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
( H9 ^. k% ^6 u# c6 Y, _9 D
. o: \2 R$ _+ f" R, Y7 [8 E一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
4 m/ p+ l/ i% d% |8 \而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
* O% o. Z. D  i这两种插值的matlab实现也是本文的重点。

# c5 I+ a; ]5 b& s, s接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
1）分段三次Hermite插值
3 |& x$ f; t  x. z& [① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
' Z" a9 d* c" P5 m7 a（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
② 分段三次埃尔米特插值：
+ `' v# R$ k0 V; J! \  t

2）三次样条插值函数

其次，再用matlab分别实现两种插值法
这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
% T1 [7 O2 |) R& r+ g这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
3 y8 C, c$ I+ V1 p, y2 O
7 \6 A2 \- N+ K/ {, G5 ]  o接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）
9 O2 B* _. e0 v" ]0 R0 s+ ~3 a( \
这是我写的代码：
( ^8 S3 a+ V! ^. n1 n' E3 G6 G1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
（1）代码部分：
, G5 J3 u# C: O4 w' {
+ m2 C- G- [# q' V# a（2）运行结果：


2、三次样条插值
（1）代码部分（pchip函数）：


3 e2 n/ Q7 a; o. \& a' i- F, t（2）运行结果：

5 T/ u, a1 R! U) K
经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
9 b1 E* G6 Y4 E4 \' D6 K
  b: U: q! _! G  s9 [, e7 h5 Z注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
; ^" h( ^3 d5 K4 G/ K原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
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* p( O- h  e* e' I% p. o, C
2 J6 \2 d' V1 R8 h/ t  T, o

chace

谢谢分享 努力学习

张迪迪.迪丽热巴

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张迪迪.迪丽热巴

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xiEnqing

听说回帖加体力~
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