数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

今天学习了插值法的matlab实现。
3 g: Z/ ^% d: O$ G6 i+ @% P7 r我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。

插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
1 H  @8 d$ ^- A  g. s
  [+ a& d' m7 R* }2 a/ }一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
$ ]8 t# j( _: ~. V3 N- w) e而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
0 W  t8 Q8 a/ O& p这两种插值的matlab实现也是本文的重点。

( |8 U% b5 J0 h% p- h接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
1）分段三次Hermite插值
① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
② 分段三次埃尔米特插值：
* S, T& a6 h3 ~; z) f1 G" L

2）三次样条插值函数
1 `* m# Q) x8 h7 R+ d
' U5 c5 p" R) v其次，再用matlab分别实现两种插值法
3 x6 x# P9 H- E: v这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
$ h) v1 y( d) C+ u1 b( W
接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）

2 Y( @/ E$ O" u这是我写的代码：
9 m% y! x& p' t1 D# ~8 g1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
（1）代码部分：

" |0 [, v; L, i- e. ]（2）运行结果：


9 @- f! l% C7 n" l2、三次样条插值
（1）代码部分（pchip函数）：
% e. j8 T  G1 A; g0 {2 g6 B
! Z; k4 {+ D# ?2 B5 K
2 J" E- J3 R; K6 g! K（2）运行结果：


经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。

3 E. w, B2 h1 d! v5 E2 S* L3 L注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
  v( P8 b. l0 G! J! a- u& i% r原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616

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chace

谢谢分享 努力学习

张迪迪.迪丽热巴

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xiEnqing

听说回帖加体力~