数学建模十大算法漫谈

杨利霞

数学建模十大算法漫谈

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; d+ ]# z/ P- g' R( s: e( G' Y作者:July  二零一一年一月二十九日
  z+ ~" J& j' O% b$ T( V3 {
* T" G  w  @. _* t) e5 x% |本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
, x; G4 R+ ?4 z# H- y3 LII、 本BLOG内 经典算法研究系列
) t4 S/ |* l- ^$ B0 K; @III、维基百科
; q+ F$ j1 }& l% r" O% A) c
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& h" V$ ]/ y8 x' ]' t9 a
博主说明:
# @5 h# u, a# a( P7 b* Z9 K1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
" d( }/ I4 A) u这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
7 _) {, P5 E& N/ e* S2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
. D2 b7 v4 z! v. i$ N  H: t同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
$ l8 Y; v' j  I且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
1 K" K8 q! Y  {, {5 d# Q% W3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
, L7 X$ U/ [4 I: N谢谢。


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一、蒙特卡罗算法
4 c+ I2 J9 a; c( v7 g4 J1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。
1 }+ l; b+ d  X2 e  A

此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
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+ e% T% U' h) a) H: M, h# q5 m' V

8 J4 ~7 j- |& l0 m蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
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8 J* u8 m0 I) R0 X! C9 V$ s# P法。

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由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

- }+ l( X0 F, Y3 e实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
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% W* u% [  S4 S4 C3 P# w& H1 h蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
8 q! e, x* h1 k* P
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
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8 t! @* s7 A) h3 z1 i& ?6 U$ b- f  ?为问题的解。

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有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
$ i/ N$ X1 z# i假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
" r- l7 o1 S7 d& {" M
度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

5 t& |  X/ k7 m+ q( O4 J' g: P，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

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; b; E1 p9 ^1 \8 }2 m: q3 w2 J$ d蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模

拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

近似解。
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: C( S$ R1 ^8 l2 y
) ]7 `' T7 \& s蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
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蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。
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此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
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二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
) ~3 |- o6 X3 m. o1 `  G; e( m4 O, O我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

- N; w' ?4 u6 ^  ]! N" }; `6 `数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
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8 Q- Y9 ]& L9 I0 W: n学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
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2 z. m1 y$ F& Y吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
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此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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* H$ [7 M- L: W3 T9 R! n
6 X" c' v0 ?/ w4 J三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
) i3 f& |! ?- ^/ ^数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件

7 s  j2 D3 q, O, V. u& n' C、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
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完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

9 B4 W& E8 p+ s: Z; @7 r需要熟悉这两个软件。


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; t+ W9 C5 X/ k& C) s四、图论算法
这类问题算法有很多，
% X$ }; ], d  h% e9 Z包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
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* b! ^6 m! W( |0 C
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
  O( [8 u4 B, L9 e; \同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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+ Q% T" ]- h" h9 R( @( D- h9 T! s/ `) S经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
  D6 Y" ^7 U) {, p) N" Thttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。

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# l  y* r/ y1 p+ B" {  M3 C/ H

' m  M+ M/ |9 b0 Z& }4 d6 m五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。


2 t0 u2 s' [+ d/ K) f0 H这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
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6 B; e0 I* U" ~: Q( L5 ?( \7 v  K


六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
# ~- U; L+ g- L; |) R7 q这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
" t& U# J& i0 x) ^$ k7 b; L
* z8 C3 Z: {1 c$ }: a在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

/ F& V+ |# e- h9 F5 _以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，

说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。


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3 m" f" [! l5 e4 u  p. t另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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' I: F" w& ?$ {! Y经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
# v" f' D- ~+ @) W, q+ b1 jhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
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其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。


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4 g- o+ a7 s) D$ Z$ U  w2 q七、网格算法和穷举法
+ R2 h; P0 ~/ s1 f网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
  v! y7 c) D! T7 R比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

" g0 K: b& R+ R0 E2 g那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。

* O8 _  ]6 K$ u0 a' Y  F% s
; N' ~4 v- \2 P& o  N5 T在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
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$ R# d& ?. W* ]0 _& o快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
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穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
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) l( K$ o2 Z7 ?  t3 b, k: Q" R; ^
/ u5 d/ u) i* k! F八、一些连续离散化方法
0 m7 R- B0 g9 _9 O! D4 H& i; @' z大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界

中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。

2 N# z7 P) t) }1 a; W7 T& I
' O' m$ Y; \2 D这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
$ b5 k7 T/ C( k8 L. ?事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
! n! a1 H  Q* j3 p; m, t2 J
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0 v9 [7 P1 E1 {' j
九、数值分析算法
: M/ d3 [; M" \; ^数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的

8 Q0 x5 o3 Q, y4 L/ z5 U: q算法。
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$ H! V' S% d6 \9 E, S+ A- S9 H如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
" r$ k) O6 b# T  ]
* @$ _; h" h. j" }6 s" y函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
! i7 m. V$ V7 I8 N8 t0 X) J2 p( j. s
6 C9 U9 _; @8 t) ^7 f( e) c: l这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
% F7 m+ W* D% g因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
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" B# A8 q- ?6 ?6 Y1 ?( n  S十、图象处理算法
3 q0 R- J- C1 k: U( O4 C在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值

$ ?' Q( `, |1 a0 a; p2 O计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，

因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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8 u" K1 H& ~; S8 N
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1 W& m0 u3 v  L. G# [1 r) l* t此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
http://download.csdn.net/source/3007336



! A2 {0 I1 |: {& G! D! w本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，
7 R$ ]: {: @0 T5 V4 V日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。
完。


) K# M( e, T* D


作者声明：
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. R! x. A2 D6 o" ?7 u, Y原文链接：https://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6168683
% t; g! \; E7 ^- \

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总结的很到位，言简意赅
3 x9 f" J- U$ B- q5 @& c- M+ G

chace

谢谢分享，总结很好