数学建模十大算法漫谈

杨利霞

数学建模十大算法漫谈

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作者:July  二零一一年一月二十九日

本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
, C. f* D& G: P' S) _4 N: FII、 本BLOG内 经典算法研究系列
: B; @& j: Z' S$ D7 z+ fIII、维基百科
) F0 c  z" g4 a) M& ]* J6 M
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) |% p% Y! w! v9 s% U博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
/ D9 @" R7 E1 b( L5 R. r这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
, \( v- M0 }5 t, e! I) h- }2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
9 y; R' C8 C6 m% O2 ?同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
4 k% N4 K5 [2 e0 `4 V. k+ u! J+ O毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
+ M8 r" Y" s" w, _- ]' H, W且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
# ~. I* d5 S9 I! o# H! p" W3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
7 h7 ?. Q2 P; `9 t9 ]若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
5 z" x$ O4 A) u. e6 s+ @谢谢。


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6 J+ _8 }% }- N- K
+ G+ h* }7 u& m& B) z; L一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。


/ f2 H: N. ^6 F7 a  s此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
6 j. e  L, T7 M% g  n1 phttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx



: i7 w. v# d: E4 M) P8 ?; s蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
: [2 G' Z4 ?6 P4 A* f$ Z6 v' V
. d, C3 P! G$ y. ]2 X0 r的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
; V3 E0 K* r7 j; [
' I8 r# B4 L" M$ k法。
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8 }$ d$ Y# i5 x# W由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
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实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
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蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
! [) l7 O4 H2 B0 K3 c' k
! [9 a) p1 n) q/ v，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

为问题的解。


9 [3 h; a* P6 [- @  f" d
% a# Q* ?$ ~8 E" ?( y' A有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
9 B5 o5 B: w9 j: V假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
, O: T, r* b' B0 `. u4 J! @
度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

# M5 U2 |2 @- c6 t* z后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
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0 V& ^' ]7 G; i$ O1 {蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
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拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
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近似解。



: y  w7 I" j& [1 O蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
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蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
% t# W7 l- X/ X3 j; {$ xIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。
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此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
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二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
, e) G+ V" u" l& h  q8 a我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
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6 h8 I# T) _4 N/ D数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
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学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
& |1 `% N( Z% j1 e$ a: k" e0 [
. A; O, A6 J0 m/ Y& o吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
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此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。

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三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
! {& N/ P0 `( F6 [数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件

、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
( A# _2 ~% m! d- U: G, k* B
4 a* N8 S: u9 ?3 e3 G+ l需要熟悉这两个软件。
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四、图论算法
这类问题算法有很多，
2 x- O2 L8 [! f! W. e+ O包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。

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/ d( u/ o! c7 i( g, K0 X$ ?$ F关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
/ I) o3 }: ]# E. q( f$ t" u0 y
更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
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五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
5 r) z3 n% W4 U" N$ f' p3 ~# u此外 98 年 B 题体现了分治算法。
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这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
2 s+ @5 O; a) G9 N5 c/ |$ U( h5 n* a推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
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" {8 V, p3 G9 b  y/ _: [! v% k六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
: y2 Y9 \) |5 Q( p这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。

在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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" i2 \( F) S- C4 x! s) Y/ |5 P说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
, h1 p2 `. |$ h: `$ @5 E: S03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。


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( C. T0 r; f3 S; s另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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) k& D5 n3 A/ N% `& C; p经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
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9 ^. t' H7 C4 K% O1 K% R8 ?其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
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+ o1 q$ `8 y% C8 }! T6 b0 V
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( P0 n  {3 H3 s/ v9 v7 y& n七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
4 Q& \4 e/ Q. M比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
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那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。


在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

8 a( a6 x1 O( n" `1 G快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
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穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  


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& R9 g8 K1 O0 K/ C, z1 x八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
+ z. b5 l/ F$ \+ t' c7 |
中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。

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这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
" i7 X3 l% L8 p* ^* m事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。


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* V, c, b* g7 i3 D2 I7 r
九、数值分析算法
/ X" Z! @6 F+ q数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的

算法。

9 `* K  }  s; I如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
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这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
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# D1 _$ A( n/ i  N十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值

计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
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因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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2 _2 X! p  \# ]# e" T' Y
5 t  D/ ~/ Z+ D此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
http://download.csdn.net/source/3007336
2 K) k; y1 K  u9 W/ {" R7 X


本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，
. z+ c2 _" a" n  b9 v日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。
完。
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* I2 t/ D3 o2 E0 o作者声明：
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1 ]* O# @! Q# l  ^& B6 G' R% }- {转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
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) s, Y7 w/ V2 m9 z6 Y) R

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总结的很到位，言简意赅

chace

谢谢分享，总结很好