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数学建模十大算法漫谈

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杨利霞        

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    开心
    2021-8-11 17:59
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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

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    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

    群组2018美赛护航培训课程

    群组2019年 数学中国站长建

    群组2019年数据分析师课程

    群组2018年大象老师国赛优

    发表于 2020-4-9 15:30 |显示全部楼层
    |招呼Ta 关注Ta
    数学建模十大算法漫谈
    ! W/ T( s- }- l4 G! J- C% \
    + j/ c2 H# I+ b7 \) a3 I9 ?& M

    0 D/ p+ ]0 d! C# m' C' F7 z" }作者:July  二零一一年一月二十九日. S- n; b2 _' b. V" u8 g

    , c' u, ~0 p: ?本文参考:$ V" H9 I& Z& l
    I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者:本人July]
    . @+ A3 T' k3 J( ^: a0 d1 HII、 本BLOG内 经典算法研究系列) ]  ]# }" z8 o6 x/ L" h
    III、维基百科! r1 `3 @0 X7 e

    ' I( k5 {# F% @7 e1 s. I7 N) [, t) J------------------------------------------" l, q, E6 g, v" h6 a) b% U: F
    + H6 ~3 i$ d4 F$ T
    博主说明:
    7 \& C% d; R% y: q! `# I% ~, V1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写,本文对此十大算法作一一简单介绍。) I7 C( s6 q: `% S. Y9 U$ i8 K
    这只是一份榜单而已,数学建模中还有很多的算法,未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
    4 j& H! |1 q9 v9 \+ b* Z+ N2、在具体阐述每一算法的应用时,除了列出常见的应用之外,0 P2 v$ p+ l! B" Z- t
    同时,还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
    - r4 a7 O# K: D% N毕竟,此十大算法,在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
    9 A+ L, N8 J2 R; J且,凡是标着“某某年某国某题”,即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。. B: V! ~/ s4 P. F  y& S
    3、此十大算法,在一些经典的算法设计书籍上,无过多阐述。3 G" E% B5 J' F8 v
    若要具体细致的深入研究,还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
    $ x6 e& Z  P9 l  Q; ~; V. \9 [4 U1 ]2 l谢谢。
    3 n# j2 O+ ]* G! Z1 r6 w+ q" a; h3 Q) j3 g# ]4 J$ b8 d
    7 c. ]: c! e  d

    " O3 V! r) n4 r. R1 j# Z
    ; v7 W3 v: C0 ~+ t% l/ B2 H" F8 x+ n& Y2 O5 T1 z/ G
    一、蒙特卡罗算法
    ) w# @. V7 u3 u# y( e2 ~* \1946年,美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
    ) n0 H" f2 p3 Q; p0 x  U0 M共同发明了,蒙特卡罗方法。& k' k" A0 u2 x) Z6 \# ?* y  a+ B, P

    ; |. S: H! I/ Q& a( R: c; y' Z8 B5 \7 ~- L3 ]% o
    此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一,详情,请参见我的博文:
    / z" O. F2 S5 K. [8 J" Whttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx3 G! r* F0 Q) `) R8 Q" Q
    , ?% h3 v9 `  ^8 M. |4 I0 k

    : H: D# g5 F1 h9 l  x6 U1 d' ?1 P6 U. c& v! O
    蒙特卡罗方法(Monte Carlo method),又称随机抽样或统计模拟方法,是一种以概率统计理论为指导- x! a1 z5 R4 ?+ J: X' [* Q1 w

    * y7 i$ Y0 w2 B# m7 Q% R% K的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方: w: Q0 P$ n3 k" L6 D0 p" m

    & X, D; [0 j! m法。1 c# z" Y  H9 J* F
    # ~5 Y+ g% q0 j  W, k- D% c
    # o  n! p6 q" W) x) Z6 C* k4 P

    * t9 D; e6 @# \由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程,很难得到满意的结果,而蒙特卡罗方法由于能够真
    ) R2 Y, Z% i1 f5 X' ~: t/ l! i
    5 F/ \+ n) ^! h4 o实地模拟实际物理过程,故解决问题与实际非常符合,可以得到很圆满的结果。- p- Z  @, c! K: x6 m

    # _' r% B% e' u3 O# w7 \蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下:
      k' i& G( K- s! n# A当所求解问题是某种随机事件出现的概率,或者是某个随机变量的期望值时,通过某种“实验”的方法
      ]1 G6 _1 z9 P) U( A- e
    8 L( I: e5 U7 x0 l/ \,以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率,或者得到这个随机变量的某些数字特征,并将其作" f+ u4 G1 Q! Z: e; Z: T% I8 s
    6 _: [4 l1 v, `  d! U
    为问题的解。
    # e* M. J& x1 s) R
    $ H& i! s: g, ?8 A) t0 ^) n4 T: u) @7 z1 I! R! i; b
    , v/ L) {- y6 }8 k8 v( x
    有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法:
    . D* L. N) `: i3 h7 ]& C假设我们要计算一个不规则图形的面积,那么图形的不规则程度和分析性计算(比如,积分)的复杂程
    7 k2 X% V; |+ W6 p3 p" k+ I# m7 L2 {# O3 m# T7 Q! ~$ s8 K
    度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢?假想你有一袋豆子,把豆子均匀地朝这个图形上撒,然; E) Q+ V% P8 g1 \( o+ i0 B

    " T4 g* L0 b+ A: S  v后数这个图形之中有多少颗豆子,这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小,撒的越多的时候% d: o2 I7 m" g/ l$ _7 f( W# x
    ( q9 T' u- I4 `9 `6 o4 z9 ]
    ,结果就越精确。4 `2 ~( k' `1 A8 M4 i, @' g
    在这里我们要假定豆子都在一个平面上,相互之间没有重叠。" o% A8 \$ C8 K- c
    8 `  T' C+ _& I1 ]* a- A
    % {* a* G1 P( I# ~0 e! l% v
    蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征,利用数学方法来加以模拟,即进行一种数字模: v; _" B" e  @/ f& |
    / U1 X2 w) a2 ?: C* [" [7 h
    拟实验。它是以一个概率模型为基础,按照这个模型所描绘的过程,通过模拟实验的结果,作为问题的
    . w+ q  C2 y& E' O. B
    0 I3 A" @1 H( u6 _近似解。8 z2 |) O6 J' ^

    . f1 _7 q3 k! l; _1 K: T. z0 D7 z% ?; u6 R* e
    : c1 W/ C1 ^! M/ @* G7 C2 [4 x. n# o6 q
    蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别,一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难,而( O$ k; y( O5 `

    * z. b7 u: _3 Z5 _; L蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下:
    & g- \/ B8 e# H/ EI、  直接追踪粒子,物理思路清晰,易于理解。 9 o; ~! V1 q1 u
    II、 采用随机抽样的方法,较真切的模拟粒子输运的过程,反映了统计涨落的规律。
    5 a' Q7 Y; Z- B% e+ r7 _7 KIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制,是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。) a" [! Z5 W$ L" g. c, y6 c
    等等。
    + g1 ?& n+ l6 j. ?; ~% @
    # G0 J% a3 f6 y- f  Y- }2 v此算法,日后还会在本BLOG 内详细阐述。+ W1 D9 ^# ~4 O5 K0 X, r: g% J. E+ V! b

    7 f  M4 G- I. a! _# h) {) n5 }, |" d8 o8 K8 {! o

    ! F- g! c; u1 C1 ^4 n3 p
    8 K6 H( B, p+ j( b  M4 Z' H. w二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
    ( s8 T4 l/ _+ a$ k5 K$ y我们通常会遇到大量的数据需要处理, 而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具。
    ; _* s1 I" L3 L+ M8 A% s1 M; P- u
    数据拟合在数学建模比赛中中有应用,与图形处理有关的问题很多与拟合有关系,一个例子就是98年数; }" f+ f' u0 \2 b8 L

    . ?4 A- h9 K: r, v- t5 r7 Q& y学建模美国赛A题,生物组织切片的三维插值处理,94年A题逢山开路,山体海拔高度的插值计算,还有! Q$ p6 q/ x) ?. V8 p8 e
    / i7 S/ [' c0 T0 b/ O7 Q* Z
    吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法,观察数据的走向进行处理。: W% w% n4 k5 z- ?8 K( {. ^" ?

    0 S, M3 A5 u+ U; K# [2 ?- x2 d) a
    : E; ~. ?4 W8 L$ Y. V' s
    $ w& r, k$ ?% T9 G7 c1 W( Z' B) b此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用,熟悉MATLAB,这些方法都能游刃有余的用好。
    9 y8 D2 C+ N$ f0 l, L9 T
    , @% y9 G! b. j  G. J! d* g- |5 C7 S4 Q0 \* S/ c6 d

    - G6 K4 B/ @3 b1 k: h1 `) r' u* |5 \0 n/ f) |  ^
    三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题6 H2 Z/ J; c, ~
    数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关,可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件: V3 ]+ Y" S, K. J0 Q; l0 s
    + v- @/ ]6 j1 Z  r. F- h
    、几个函数表达式作为目标函数的问题,遇到这类问题,求解就是关键了,比如98年B题,用很多不等式
    : \7 r, t& a4 A" Q$ r# z* v; e; u5 U) a* `
    完全可以把问题刻画清楚,因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便,所以还
    3 D8 z2 J7 @2 a1 W2 [, b  r6 j- x& h- l- J# n2 z7 y; ?
    需要熟悉这两个软件。# r7 ^, K4 X- U( S( V

    ! `7 h; b2 d/ A' r( o; S5 K% {& w5 j+ X" O1 X; A
    ; o) V- |) f! l1 n
    5 p" A+ Z, r5 c) P( w; r
    四、图论算法3 `2 G7 E- l4 R6 }  u1 ~8 Q  g
    这类问题算法有很多,
    * e% P4 \" J  x5 i% G& |5 Y8 e包括: Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ,最大流,二分匹配等问题。  K& L! U" X4 j6 F* S

    9 R6 n, Q( n$ o& ^, C! n3 I  Q6 ^# A( k/ A! W" I' }  P4 K

    1 c" d0 m2 V7 i2 P( O2 e+ n& L关于此类图论算法,可参考Introduction to Algorithms--算法导论,关于图算法的第22章-第26章。7 Q8 n" }; O1 g
    同时,本BLOG内经典算法研究系列,对Dijkstra算法有所简单描述,
    ' J/ ?- z+ E- u/ \3 X/ K-----------* N' E: U. h# e1 X! b
    经典算法研究系列:二、Dijkstra 算法初探
    & C, r# c( [+ }- Ghttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
    , k( u5 D6 ^" u4 r$ L% X4 r$ {) t" l, j
    更多,请关注本BLOG 日后更新的博文。7 e8 V  p+ t% L2 ?( c

    9 n3 @7 H! I+ i$ ?6 f, y- x
    / D1 N& J' x5 I/ W, @" ]. x
    9 y8 t0 G& Y( j! Z! |5 O: F  n% o2 n: I0 B: K1 W' r) V% f
    五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
    / S# |2 t  N9 j/ g- F在数学建模竞赛中,如:92 年B题用分枝定界法, 97年B题是典型的动态规划问题,
    ( @2 x+ a/ P7 S* g此外 98 年 B 题体现了分治算法。
    , Z) c: A3 N+ d7 K/ f: w
    - e& [/ a+ K0 O' G" B3 i( ~3 {$ p" y
    这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似,/ H8 h7 j5 C0 z0 ]8 t2 h8 B/ \
    推荐看一下算法导论,与《计算机算法设计与分析》(电子工业出版社)等与计算机算法有关的书。
    % m* {8 V' b9 n, T' {/ w0 X$ l+ T' J2 b' A

    ' _7 F3 y8 e2 A. \4 i8 z" s( g; d( o+ J" V! W; v# y3 B
    7 y- ]- T6 V$ V2 T: z$ L
    六、最优化理论的三大经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法
    : q- A8 W1 g$ T* X% F* F7 p; z5 y& m: \这十几年来最优化理论有了飞速发展,模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
    8 v8 [" }/ a0 U
    9 ~( ?$ ?' |  j' ]在数学建模竞赛中:比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法,01年B题这种难题也可
    : \; x. Z2 I: y! C7 M7 f$ W: v: Q2 V3 w
    以使用神经网络,还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系,当时是86年刚提出BP算法,89年就考了,, [' N# R7 K. e- g
    9 y4 M6 {6 d7 `$ V$ F4 A
    说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。 ) Y9 w5 b  c' W! b& C
    03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题,目前算法最佳的是遗传算法。
    9 n! e: P! `" [8 p5 P! y
    * K5 p: I& O. r* Z! I: C& W1 `* C/ _! y' }, i6 w# C( _: ]' E
    2 K' R" \, F3 D; ~/ h3 m
    另,本人对人工智能非常感兴趣,遗传算法已在本BLOG内有所阐述,敬请参见。
    # j' z! U9 ^4 K/ [" ^5 Z* U. L----------7 U- ^- p0 a" ]
    经典算法研究系列:七、深入浅出遗传算法,透析GA本质
    - r& M1 G# P4 ]' Qhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx) ^7 h' Y2 a& u8 {0 \

    3 |& c! M7 l- c
    $ }5 i9 Q+ ~+ g9 B' [3 J* U
    ! S, |* d8 f6 h2 A3 l- h9 D其它俩大算法,模拟退火法,与神经网络,也定会在本BLOG内日后的博文更新中,详细阐述。4 q* G" j5 j* v8 ^2 R; r6 r" z

    5 G; o" J+ H0 q: r9 Q: `6 X( N3 @  t/ n+ c) P+ V
    : l5 l, x' t/ p5 X+ I

    2 n: G! z! Z, V( l七、网格算法和穷举法  E* c+ ^- w8 A' c: Z9 |+ t
    网格算法和穷举法一样,只是网格法是连续问题的穷举。
    + x& c% a  e+ d) ]8 R7 k比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题,那么对这些变量可取的空间进行采点,
    0 ?+ ?8 D+ U# ~- i* |比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点,就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ¢ ( b ? a ) =M ; …;b
    , |% K$ e+ _0 e9 A. s9 [2 o( q& s7 p
    那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算,所以计算量很大。% F9 e8 u; b9 i4 J/ W
    2 C& l8 X: i% [6 E# P* o! F; r
    $ w% L; u% J* z. S9 f) w
    在数学建模竞赛中:比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索,这种方法最好在运算速度较
    & w3 i3 U7 D) [! t' L3 _5 _8 e' }& x% E: M; M/ ]9 X* S
    快的计算机中进行,还有要用高级语言来做,最好不要用 MATLAB 做网格,否则会算很久。, i" l% K: F: L3 z) m% K
    5 J+ `% K' s. d  c% o/ R) T- D; j
    穷举法大家都熟悉,自不用多说了。  
    ( ~* e$ O& M/ ~0 G& V* e5 t
    2 U, ]# r# G0 `$ V7 M1 |1 h* I; O1 a) O3 Z0 x

    . b9 h2 k1 {% d" e; S0 @3 {+ n8 m/ [3 x, P9 K
    八、一些连续离散化方法
    . z5 G1 c# D: Z- ?7 t# L大部分物理问题的编程解决,都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界1 ]# v1 Q) v2 r! g4 E' l5 K+ C# l

    . p% R* ^1 v( Y! M3 J中,计算机只能处理离散的量,所以需要对连续量进行离散处理。
    4 m  a7 }* t' r: k7 `, J& H, S6 x3 G! U, y! p2 R2 K

    ; l: D0 G# ]0 t  N. _, g6 n这种方法应用很广,而且和上面的很多算法有关。2 d( R9 s0 X1 M  Z  a2 m9 i, E
    事实上,网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
      g* ?! U+ O3 Z5 p
    8 z# Y3 j6 Y' n
    $ S6 V  c: s1 j1 g/ Y9 U" F6 X! z" q. `/ w5 Z
    ! l: D$ j- @/ p' a5 ?
    九、数值分析算法
    5 A6 n* G8 P- F; R. a  |% F数值分析(numerical analysis),是数学的一个分支,主要研究连续数学(区别于离散数学)问题的* P1 X" j/ T! b* d

    - C. q- L/ Z  \) X: Y算法。* A. |8 v+ d! z* D8 C7 B( |) T3 p
      W  g6 u% R4 H0 A  t1 d. o/ E
    如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、5 s5 s2 B. {; b! B( U
    * |% w% K  X: B: P
    函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。* ^7 k9 A5 |9 f# Z& h* m# M) M) `& U

    6 c; O' G6 f1 \0 G0 _这类算法是针对高级语言而专门设的,如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ,大可不必准备,
      k. e8 d" @( g6 F9 T( d因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。4 p- R& W# x3 A# l; S1 `

    4 Y1 s0 `' t3 B2 n3 F
    - P# S# J; t2 `) J: e8 ^* G2 h4 w$ i! B& C) l8 E8 I) V& \% B% Y

    ' @' C3 U6 q2 e  h' r" E7 i十、图象处理算法& V% R+ @$ s% Y
    在数学建模竞赛中:比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值+ W  O! M4 q6 C, i/ f; C' ~* |
    4 q0 ?0 ]) R; V5 g! Q4 m
    计算, 03 年 B 题要求更高,不但需要编程计算还要进行处理,而数模论文中也有很多图片需要展示,0 ^  s8 \/ J) A/ l9 S% c

    % T  w4 F: L, h0 l因此图象处理就是关键。做好这类问题,重要的是把MATLAB 学好,特别是图象处理的部分。
    2 N$ T1 E, w: F4 d( e
    1 z7 o  B' k9 R' h- _: ~* ?6 W$ M- Y5 H  U

    7 x  o& }7 c% h$ [+ a7 [+ t# @( y此数学建模十大算法的程序源码打包,请于此处下载:3 e# x5 j% Z7 C: m$ W8 V
    http://download.csdn.net/source/3007336
      K* n8 p9 N6 v. r1 s' t: ^2 {8 Q! Z( u. G8 W# f

      L+ a! Y" e4 X7 \
    1 v+ n, `# ^0 I) L8 j6 t本人对算法,尤其感兴趣,且日渐愈浓,- t: k, O( V4 h( W9 T7 Y
    日后,更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。9 _3 i1 x. ~3 X5 w9 {& p
    完。
    . I' z1 o5 d- {0 x
    6 n3 k/ o2 K; M( E6 a
    % n( x! C3 A0 g! k& D1 B
    . \& l) t6 V' X5 _5 W4 @1 r. A! y" E+ I8 p' C* G
    . f6 n( p% u. W4 r! Z+ u
    作者声明:
    7 T  w' |6 u0 B- S4 T, B  G- B7 g本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权,
    $ o8 C$ {8 Y  \+ }& b转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
    5 S0 c. u; Q1 w# i2 g  a————————————————9 D4 z9 n/ Y9 m5 w) g( R- O
    版权声明:本文为CSDN博主「v_JULY_v」的原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    / y; E4 {; X2 @原文链接:https://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6168683( k. F8 a" Z) O
    # @0 H6 `( b2 [/ y

    2 e3 {8 [- [+ n5 `1 u6 B7 ]; R
    zan

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