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TA的每日心情 开心 2021-8-11 17:59
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[LV.4]偶尔看看III
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自我介绍 本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。
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数学建模十大算法漫谈
! W/ T( s- }- l4 G! J- C% \
+ j/ c2 H# I+ b7 \) a3 I9 ?& M
0 D/ p+ ]0 d! C# m' C' F7 z" } 作者:July 二零一一年一月二十九日. S- n; b2 _' b. V" u8 g
, c' u, ~0 p: ? 本文参考:$ V" H9 I& Z& l
I、 细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者:本人July]
. @+ A3 T' k3 J( ^: a0 d1 H II、 本BLOG内 经典算法研究系列) ] ]# }" z8 o6 x/ L" h
III、维基百科! r1 `3 @0 X7 e
' I( k5 {# F% @7 e1 s. I7 N) [, t) J ------------------------------------------" l, q, E6 g, v" h6 a) b% U: F
+ H6 ~3 i$ d4 F$ T
博主说明:
7 \& C% d; R% y: q! `# I% ~, V 1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写,本文对此十大算法作一一简单介绍。) I7 C( s6 q: `% S. Y9 U$ i8 K
这只是一份榜单而已,数学建模中还有很多的算法,未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
4 j& H! |1 q9 v9 \+ b* Z+ N 2、在具体阐述每一算法的应用时,除了列出常见的应用之外,0 P2 v$ p+ l! B" Z- t
同时,还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
- r4 a7 O# K: D% N 毕竟,此十大算法,在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
9 A+ L, N8 J2 R; J 且,凡是标着“某某年某国某题”,即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。. B: V! ~/ s4 P. F y& S
3、此十大算法,在一些经典的算法设计书籍上,无过多阐述。3 G" E% B5 J' F8 v
若要具体细致的深入研究,还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
$ x6 e& Z P9 l Q; ~; V. \9 [4 U1 ]2 l 谢谢。
3 n# j2 O+ ]* G! Z 1 r6 w+ q" a; h3 Q) j3 g# ]4 J$ b8 d
7 c. ]: c! e d
" O3 V! r) n4 r. R1 j# Z
; v7 W3 v: C0 ~+ t% l / B2 H" F8 x+ n& Y2 O5 T1 z/ G
一、蒙特卡罗算法
) w# @. V7 u3 u# y( e2 ~* \ 1946年,美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
) n0 H" f2 p3 Q; p0 x U0 M 共同发明了,蒙特卡罗方法。& k' k" A0 u2 x) Z6 \# ?* y a+ B, P
; |. S: H! I/ Q& a( R: c ; y' Z8 B5 \7 ~- L3 ]% o
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一,详情,请参见我的博文:
/ z" O. F2 S5 K. [8 J" W http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx3 G! r* F0 Q) `) R8 Q" Q
, ?% h3 v9 ` ^8 M. |4 I0 k
: H: D# g5 F1 h9 l x6 U1 d ' ?1 P6 U. c& v! O
蒙特卡罗方法(Monte Carlo method),又称随机抽样或统计模拟方法,是一种以概率统计理论为指导- x! a1 z5 R4 ?+ J: X' [* Q1 w
* y7 i$ Y0 w2 B# m7 Q% R% K 的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方: w: Q0 P$ n3 k" L6 D0 p" m
& X, D; [0 j! m 法。1 c# z" Y H9 J* F
# ~5 Y+ g% q0 j W, k- D% c
# o n! p6 q" W) x) Z6 C* k4 P
* t9 D; e6 @# \ 由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程,很难得到满意的结果,而蒙特卡罗方法由于能够真
) R2 Y, Z% i1 f5 X' ~: t/ l! i
5 F/ \+ n) ^! h4 o 实地模拟实际物理过程,故解决问题与实际非常符合,可以得到很圆满的结果。- p- Z @, c! K: x6 m
# _' r% B% e' u3 O# w7 \ 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下:
k' i& G( K- s! n# A 当所求解问题是某种随机事件出现的概率,或者是某个随机变量的期望值时,通过某种“实验”的方法
]1 G6 _1 z9 P) U( A- e
8 L( I: e5 U7 x0 l/ \ ,以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率,或者得到这个随机变量的某些数字特征,并将其作" f+ u4 G1 Q! Z: e; Z: T% I8 s
6 _: [4 l1 v, ` d! U
为问题的解。
# e* M. J& x1 s) R
$ H& i! s: g, ?8 A) t 0 ^) n4 T: u) @7 z1 I! R! i; b
, v/ L) {- y6 }8 k8 v( x
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法:
. D* L. N) `: i3 h7 ]& C 假设我们要计算一个不规则图形的面积,那么图形的不规则程度和分析性计算(比如,积分)的复杂程
7 k2 X% V; |+ W6 p3 p " k+ I# m7 L2 {# O3 m# T7 Q! ~$ s8 K
度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢?假想你有一袋豆子,把豆子均匀地朝这个图形上撒,然; E) Q+ V% P8 g1 \( o+ i0 B
" T4 g* L0 b+ A: S v 后数这个图形之中有多少颗豆子,这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小,撒的越多的时候% d: o2 I7 m" g/ l$ _7 f( W# x
( q9 T' u- I4 `9 `6 o4 z9 ]
,结果就越精确。4 `2 ~( k' `1 A8 M4 i, @' g
在这里我们要假定豆子都在一个平面上,相互之间没有重叠。" o% A8 \$ C8 K- c
8 ` T' C+ _& I1 ]* a- A
% {* a* G1 P( I# ~0 e! l% v
蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征,利用数学方法来加以模拟,即进行一种数字模: v; _" B" e @/ f& |
/ U1 X2 w) a2 ?: C* [" [7 h
拟实验。它是以一个概率模型为基础,按照这个模型所描绘的过程,通过模拟实验的结果,作为问题的
. w+ q C2 y& E' O. B
0 I3 A" @1 H( u6 _ 近似解。8 z2 |) O6 J' ^
. f1 _7 q3 k! l; _1 K: T . z0 D7 z% ?; u6 R* e
: c1 W/ C1 ^! M/ @* G7 C2 [4 x. n# o6 q
蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别,一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难,而( O$ k; y( O5 `
* z. b7 u: _3 Z5 _; L 蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下:
& g- \/ B8 e# H/ E I、 直接追踪粒子,物理思路清晰,易于理解。 9 o; ~! V1 q1 u
II、 采用随机抽样的方法,较真切的模拟粒子输运的过程,反映了统计涨落的规律。
5 a' Q7 Y; Z- B% e+ r7 _7 K III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制,是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。) a" [! Z5 W$ L" g. c, y6 c
等等。
+ g1 ?& n+ l6 j. ?; ~% @
# G0 J% a3 f6 y- f Y- }2 v 此算法,日后还会在本BLOG 内详细阐述。+ W1 D9 ^# ~4 O5 K0 X, r: g% J. E+ V! b
7 f M4 G- I. a! _ # h) {) n5 }, |" d8 o8 K8 {! o
! F- g! c; u1 C1 ^4 n3 p
8 K6 H( B, p+ j( b M4 Z' H. w 二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
( s8 T4 l/ _+ a$ k5 K$ y 我们通常会遇到大量的数据需要处理, 而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具。
; _* s1 I" L3 L + M8 A% s1 M; P- u
数据拟合在数学建模比赛中中有应用,与图形处理有关的问题很多与拟合有关系,一个例子就是98年数; }" f+ f' u0 \2 b8 L
. ?4 A- h9 K: r, v- t5 r7 Q& y 学建模美国赛A题,生物组织切片的三维插值处理,94年A题逢山开路,山体海拔高度的插值计算,还有! Q$ p6 q/ x) ?. V8 p8 e
/ i7 S/ [' c0 T0 b/ O7 Q* Z
吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法,观察数据的走向进行处理。: W% w% n4 k5 z- ?8 K( {. ^" ?
0 S, M3 A5 u+ U; K# [2 ?- x2 d) a
: E; ~. ?4 W8 L$ Y. V' s
$ w& r, k$ ?% T9 G7 c1 W( Z' B) b 此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用,熟悉MATLAB,这些方法都能游刃有余的用好。
9 y8 D2 C+ N$ f0 l, L9 T
, @% y9 G! b. j G. J ! d* g- |5 C7 S4 Q0 \* S/ c6 d
- G6 K4 B/ @3 b1 k: h 1 `) r' u* |5 \0 n/ f) | ^
三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题6 H2 Z/ J; c, ~
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关,可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件: V3 ]+ Y" S, K. J0 Q; l0 s
+ v- @/ ]6 j1 Z r. F- h
、几个函数表达式作为目标函数的问题,遇到这类问题,求解就是关键了,比如98年B题,用很多不等式
: \7 r, t& a4 A" Q$ r# z * v; e; u5 U) a* `
完全可以把问题刻画清楚,因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便,所以还
3 D8 z2 J7 @2 a1 W2 [ , b r6 j- x& h- l- J# n2 z7 y; ?
需要熟悉这两个软件。# r7 ^, K4 X- U( S( V
! `7 h; b2 d/ A' r( o; S5 K% { & w5 j+ X" O1 X; A
; o) V- |) f! l1 n
5 p" A+ Z, r5 c) P( w; r
四、图论算法3 `2 G7 E- l4 R6 } u1 ~8 Q g
这类问题算法有很多,
* e% P4 \" J x5 i% G& |5 Y8 e 包括: Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ,最大流,二分匹配等问题。 K& L! U" X4 j6 F* S
9 R6 n, Q( n$ o& ^, C! n3 I Q 6 ^# A( k/ A! W" I' } P4 K
1 c" d0 m2 V7 i2 P( O2 e+ n& L 关于此类图论算法,可参考Introduction to Algorithms--算法导论,关于图算法的第22章-第26章。7 Q8 n" }; O1 g
同时,本BLOG内经典算法研究系列,对Dijkstra算法有所简单描述,
' J/ ?- z+ E- u/ \3 X/ K -----------* N' E: U. h# e1 X! b
经典算法研究系列:二、Dijkstra 算法初探
& C, r# c( [+ }- G http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
, k( u5 D6 ^" u 4 r$ L% X4 r$ {) t" l, j
更多,请关注本BLOG 日后更新的博文。7 e8 V p+ t% L2 ?( c
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/ D1 N& J' x5 I/ W, @" ]. x
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五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
/ S# |2 t N9 j/ g- F 在数学建模竞赛中,如:92 年B题用分枝定界法, 97年B题是典型的动态规划问题,
( @2 x+ a/ P7 S* g 此外 98 年 B 题体现了分治算法。
, Z) c: A3 N+ d7 K/ f: w
- e& [/ a+ K0 O ' G" B3 i( ~3 {$ p" y
这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似,/ H8 h7 j5 C0 z0 ]8 t2 h8 B/ \
推荐看一下算法导论,与《计算机算法设计与分析》(电子工业出版社)等与计算机算法有关的书。
% m* {8 V' b9 n, T ' {/ w0 X$ l+ T' J2 b' A
' _7 F3 y8 e2 A. \4 i8 z" s ( g; d( o+ J" V! W; v# y3 B
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六、最优化理论的三大经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法
: q- A8 W1 g$ T* X% F* F7 p; z5 y& m: \ 这十几年来最优化理论有了飞速发展,模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
8 v8 [" }/ a0 U
9 ~( ?$ ?' | j' ] 在数学建模竞赛中:比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法,01年B题这种难题也可
: \; x. Z2 I: y! C 7 M7 f$ W: v: Q2 V3 w
以使用神经网络,还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系,当时是86年刚提出BP算法,89年就考了,, [' N# R7 K. e- g
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说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。 ) Y9 w5 b c' W! b& C
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题,目前算法最佳的是遗传算法。
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2 K' R" \, F3 D; ~/ h3 m
另,本人对人工智能非常感兴趣,遗传算法已在本BLOG内有所阐述,敬请参见。
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经典算法研究系列:七、深入浅出遗传算法,透析GA本质
- r& M1 G# P4 ]' Q http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx) ^7 h' Y2 a& u8 {0 \
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$ }5 i9 Q+ ~+ g9 B' [3 J* U
! S, |* d8 f6 h2 A3 l- h9 D 其它俩大算法,模拟退火法,与神经网络,也定会在本BLOG内日后的博文更新中,详细阐述。4 q* G" j5 j* v8 ^2 R; r6 r" z
5 G; o" J+ H0 q: r9 Q: `6 X( N3 @ t/ n+ c) P+ V
: l5 l, x' t/ p5 X+ I
2 n: G! z! Z, V( l 七、网格算法和穷举法 E* c+ ^- w8 A' c: Z9 |+ t
网格算法和穷举法一样,只是网格法是连续问题的穷举。
+ x& c% a e+ d) ]8 R7 k 比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题,那么对这些变量可取的空间进行采点,
0 ?+ ?8 D+ U# ~- i* | 比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点,就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ¢ ( b ? a ) =M ; …;b
, |% K$ e+ _0 e9 A. s 9 [2 o( q& s7 p
那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算,所以计算量很大。% F9 e8 u; b9 i4 J/ W
2 C& l8 X: i% [6 E# P* o! F; r
$ w% L; u% J* z. S9 f) w
在数学建模竞赛中:比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索,这种方法最好在运算速度较
& w3 i3 U7 D) [! t' L3 _ 5 _8 e' }& x% E: M; M/ ]9 X* S
快的计算机中进行,还有要用高级语言来做,最好不要用 MATLAB 做网格,否则会算很久。, i" l% K: F: L3 z) m% K
5 J+ `% K' s. d c% o/ R) T- D; j
穷举法大家都熟悉,自不用多说了。
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八、一些连续离散化方法
. z5 G1 c# D: Z- ?7 t# L 大部分物理问题的编程解决,都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界1 ]# v1 Q) v2 r! g4 E' l5 K+ C# l
. p% R* ^1 v( Y! M3 J 中,计算机只能处理离散的量,所以需要对连续量进行离散处理。
4 m a7 }* t' r: k7 `, J& H , S6 x3 G! U, y! p2 R2 K
; l: D0 G# ]0 t N. _, g6 n 这种方法应用很广,而且和上面的很多算法有关。2 d( R9 s0 X1 M Z a2 m9 i, E
事实上,网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
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! l: D$ j- @/ p' a5 ?
九、数值分析算法
5 A6 n* G8 P- F; R. a |% F 数值分析(numerical analysis),是数学的一个分支,主要研究连续数学(区别于离散数学)问题的* P1 X" j/ T! b* d
- C. q- L/ Z \) X: Y 算法。* A. |8 v+ d! z* D8 C7 B( |) T3 p
W g6 u% R4 H0 A t1 d. o/ E
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、5 s5 s2 B. {; b! B( U
* |% w% K X: B: P
函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。* ^7 k9 A5 |9 f# Z& h* m# M) M) `& U
6 c; O' G6 f1 \0 G0 _ 这类算法是针对高级语言而专门设的,如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ,大可不必准备,
k. e8 d" @( g6 F9 T( d 因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。4 p- R& W# x3 A# l; S1 `
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- P# S# J; t2 `) J: e8 ^* G2 h4 w$ i! B & C) l8 E8 I) V& \% B% Y
' @' C3 U6 q2 e h' r" E7 i 十、图象处理算法& V% R+ @$ s% Y
在数学建模竞赛中:比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值+ W O! M4 q6 C, i/ f; C' ~* |
4 q0 ?0 ]) R; V5 g! Q4 m
计算, 03 年 B 题要求更高,不但需要编程计算还要进行处理,而数模论文中也有很多图片需要展示,0 ^ s8 \/ J) A/ l9 S% c
% T w4 F: L, h0 l 因此图象处理就是关键。做好这类问题,重要的是把MATLAB 学好,特别是图象处理的部分。
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1 z7 o B' k9 R' h- _ : ~* ?6 W$ M- Y5 H U
7 x o& }7 c% h$ [+ a7 [+ t# @( y 此数学建模十大算法的程序源码打包,请于此处下载:3 e# x5 j% Z7 C: m$ W8 V
http://download.csdn.net/source/3007336
K* n8 p9 N6 v. r1 s' t : ^2 {8 Q! Z( u. G8 W# f
L+ a! Y" e4 X7 \
1 v+ n, `# ^0 I) L8 j6 t 本人对算法,尤其感兴趣,且日渐愈浓,- t: k, O( V4 h( W9 T7 Y
日后,更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。9 _3 i1 x. ~3 X5 w9 {& p
完。
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作者声明:
7 T w' |6 u0 B- S4 T, B G- B7 g 本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权,
$ o8 C$ {8 Y \+ }& b 转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
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