复杂网络实验六：SIR病毒传播模型（matlab）

杨利霞

+ i" v+ u& J0 `2 x0 S& J5 U  O复杂网络实验六：SIR病毒传播模型（matlab）
一、SIR模型简介
% R- x+ ~# D7 V5 S( T3 c7 g
在典型的传染病模型中，种群（Population）内的N个个体的状态可分为如下几类：
( m. l/ c: T2 V  [9 H# K3 ?) M
(1)、易染状态S(Susceptible),即健康状态，可被感染的个体。

(2)、感染状态I(Infected),处于感染状态的个体还能够感染将康状态的个体。
6 \# C/ ~; c: W2 ]0 a, t# G
(3)、移除状态R(Removed,Refractory or Recovered)，也称为免疫状态和恢复状态。一个个体经历过一个完整的感染周期后，该个体就不再被感染，因此就可以不再考虑该个体。
: J" {# p9 L2 a8 K, \/ d
' W$ Q, T7 m- u7 {: F4 F另外还有病人的日接触率λ，日治愈率μ

3 Z9 R7 {/ i, V4 C, F: o1 d$ `这个λ是针对于病人而言的，代表了一个病人接触多少个人。而可接触的人包括除自己以外的种群中的所有人。

tips:

$ U  R& e* r& i; ^( c( ?0 A' |1.初始时刻，只有少数个体处于感染状态，其他都是易染状态。

2.假设病毒的时间尺度远小于个体生命周期，从而不考虑个体的出生和自然死亡。

3.一个基本假设是完全混合（Fully mixed）,也就是说一个个体与其他个体接触的机会均等。

/ i5 {- e' M9 f" N/ \0 m" S+ G二、模型中涉及的方程
% Z& R8 X: ?' Q1 X6 k
) E/ I# M, Q# a4 u. a, n1.S(t),I(t),R(t),N(t),N

" u1 e# H9 q1 w! NS(t)的意思是第t天健康个体的数量，I(t)是第t天感染个体的数量，R(t)是第t天免疫个体的数量
0 {7 j* _$ Z6 O, Z+ p, F4 e# N
N(t)是整个种群的数量，在假设情况下固定不变为N

( O- }* L! ^, C$ p3 t0 J8 v
$ B' Z7 \# t  Z* P" F5 `
. L# h# l  E: O2.s(t),i(t),r(t)
( u+ z" W# j- q/ ^3 L! Z, J7 q

4 J7 S$ N2 ~- L4 y! e, Y4 \
由上方公式可以看出，s(t)的意思是t时刻健康个体占总个体的比例
+ F' W) `! m2 X
8 r! I5 J* U, F( W9 q! K3.关于S(t),I(t),R(t)的微分公式
1 d0 ?( o. G) X" _% x& U$ u

其中S随时间的变化率是这样理解的：

/ P6 r# P8 u+ k
+ v, l/ }  D2 q8 p& ~9 l7 Gλ作用于S(t)和I(t),是一个病人的日接触率，这个病人可以接触健康人，也可以接触病人，但是接触病人不会导致S有变化，所以有效的变化是这个病人接触健康人。

如果λ等于2，也就是说一个病人每天接触2个人，这两个人是不是病人不知道。

如果λ等于0.5，也就是说一个病人每天接触0.5个人（有0.5几率去接触人）

那么λ×I(t)就是所有被接触的人的数量，要把里面有效的人拿出来

有效的人的概率是S(t)/N。
* W  m9 v" b$ K# W) v
( ]9 x* ^" l+ T5 h( Z1 W- i! o+ L5 g& G这样应该能理解了吧，我理解这个公式用了好久好久，简直是一个傻吊。
$ b) @; b$ ]. u
网上有的文章i(t)和I(t)不分，导致理解公式特别困难。
& x! v6 a$ r8 K4 o) u7 e0 Y7 J
% _) w! V: j# t' k* n最后作图都是用的i(t)，s(t),r(t)随t的变化的图像，所以纵坐标是一个百分比。

4.关于s(t),i(t),r(t)的微分公式
/ b* ?" k6 ~5 v) I


这里细致地做了微分公式的推导，方便大家理解

三、具体模型
! j5 ]# d% T$ k( i( r" h2 a4 \. z0 I
/ ~' s" J) ?1 q( @) L5 [8 ^  U1.sir.m 脚本
/ p% X7 Z) P9 c2 a% N5 w
" _& {$ `$ C1 Afunction y=sir(t,x)
a=0.8;  %感染率0.8
  j* _# u: J; Q, [7 |+ Pb=0.2;  %治愈率0.2
y=[-a*x(1)*x(2),a*x(1)*x(2)-b*x(2),b*x(2)]';
%s变化率,i变化率，r变化率
%通过这三个微分公式，求出s,i,r随着t的变化图像
9 d1 }0 q) d1 o' F- I* m2.实际运行脚本 sirrum.m
# F. l+ p! x* c0 D
$ W# q3 g  c+ i/ y+ K2 g[t,x]=ode45('sir',[0,50],[0.97 0.02 0.01]);
8 ?# s( ^, n5 V& ?3 C, m%ode45参数：1.函数句柄or函数名 2.t的取值 3.3个y的初始值
( J  O. S) g4 S% _  _" ]%ode45是用来求解常微分函数的方法
% u/ e' w. ^* U. @4 c# B  [: s%原问题只知道变化率函数，这里求解原函数，用到该方法
[t,x]   %不加封号，作输出用
; T% o: {% T5 m5 B6 ~! B" Pplot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*',t,x(:,3),'+')
1 [7 x. A9 |( I: Q1 O5 y; V+ C! j! ^四、小结
4 ~- ^: `; w- E' s1 h# m

) j3 G) n- s+ ?  ~& \& _0 o
搞了一下午才把那个公式看懂，网上的公式不好好说明清楚，很具有迷惑性，可能他们也没了解这个小写函数大写函数的区别。

在豆瓣《猜想与反驳》一书底下评论中看到一句有趣的话，摘录如下：
" D% F" H5 Z- l7 M7 K
4 t% \: l+ G+ I, n9 }  _+ C每个知识分子都有一个很特殊的责任。
) r2 u5 ^4 A& [) \& e! U) C1 s) p8 q6 F% j
他拥有学习的特权和机会。

8 j4 X( a$ W/ h7 ^作为回报，他对于同胞（或对于社会）有责任尽可能简单，清楚，谦虚地描述他的研究结果。
0 k3 i' z1 ^2 l+ Y9 ~
知识分子所做的最糟的事情(主要罪过)是，
8 L$ d" S& w! U( L/ N+ f
* H# d- W! a8 r  m( V试图对同胞自命为伟大的预言家，给他们留下令人迷惑的哲学的印象。

任何不能简单，清楚地讲话的人最应住口，继续下写功夫，直至能这样做为止。

所以，有什么问题都可以问我，如果我能帮你的话，虽然我也是一只很菜的菜鸟........
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2863358207

总结的太好了，我微分方程就是会建立，但是不会编程，感动哭了
4 F  L; y# i' G' H

FMLXQLJN

你写的很详细，很棒。

nmslaaaaaa

这个没考虑潜伏期的