数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
( ~4 d4 W' t. a几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
  l; {8 w; e% [  g6 z型、马氏链模型等。
+ U7 U" g4 R; F: j( b* A$ i2. 按模型的特征分：
6 ^" H* M) p) w+ w4 E静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
6 p7 P; Z1 H; v5 V8 S* Z. @性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
. O1 {2 |- R9 Y$ R, a' d+ U0 ~人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
/ U  R* b: l6 {4. 按建模的目的分： ：
. d  j0 _1 m8 z% P& P- |* h预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
- Q" I% |5 o: L+ B  b9 m' m( b5 O2 V+ `一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
4 Z+ }2 E! `; |3 Z) @; c# `往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
  t4 s8 a0 h( a0 _) i% z有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
' [# k, h' s1 ~( ]国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
/ n' a: Q) h; e( U1 n运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
) M, Z* U" t) x' s数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
/ ^: o- R! R6 V建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
! j( G3 W; x8 S/ m! j% }法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
* ~$ L0 [$ x( P4 z% J+ U; R# J7 v5 M4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
( D! F& h% {% S  v& B5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
# S% k+ _! k1 ?) {0 K这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
' Y) j0 H# O& s" q这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
4 e/ ^# O( v5 i& i; J, |- h如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
# ^) p) Y6 |/ \7 K$ t赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
2 p0 h$ ?0 }) G) m7 }行处理
, f  c* s9 t  \. e( ]; _算法简介
/ M1 x0 D" {, B; T1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
' p. ?5 q  z- V+ t6 o解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
, U2 d; X- t/ k, q  r个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
- s3 d: u# N% j2 T" ^②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
. h, V( P6 V. }: k7 ^% e2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
2 I/ i3 K' Y* g3 ^" Y微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
- C1 ^1 X" H5 `4 `+ ]; S求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
* @0 n# r9 ~* [; C4 w7 J- c4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
4 V+ \5 K; @7 R7 M7 g4 E6 `互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
4 _2 g! v6 P% a$ P' i$ G# _概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
. _- F( G" J! w) ^5 `& @; z（较好）。
( _1 m( _, ]4 {# |5 W9 r! J/ ]  r6、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
' H! ~% h+ g, G$ v: e预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
4 _! T9 `! B9 {: \预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
$ z  a4 Z: |% c5 H1 \) i办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
" s; _6 L9 W* f8 z4 P8、 混沌序列预测（高大上）
( B3 z" T/ J' z  E9 s1 |适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
# n, J! N' L% g0 v1 e9、插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
/ h; Y* P+ @1 l# T! l5 s# @' R在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
0 k# L0 \9 \! R  g# `8 H) e评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
) T: Q+ |  C) z% X! w+ y优化问题，对各省发展状况进行评判
( Z8 f% n: I2 I& w$ R6 X' @13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
0 H, p3 B2 M, h- r# u似。
14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
  |/ @7 I# J: A& X的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
  w7 t* Z+ [0 Y3 _' L% Q+ e, w可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
' x4 N8 n5 j6 C来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
! s  u0 J- U- B3 e. s$ z16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
+ w; M6 B4 s3 J( K9 H3 c0 u1 O; S方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
& c# X2 m" Q! {# m# p7 d5 m  d+ c+ o此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
0 ~1 H8 x6 d; W1 E6 |* a* Q7 s* e0 e模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
* B; g  \" M/ d2 e! L1 k& }: K4 f优解。
) u7 D( O! E3 z3 c/ j" Q18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
( _( d/ i- z, E; g( W( z* T: r3 W非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
( G3 r2 v) z* G- B算法、神经网络、粒子群等
+ J+ k/ I; a) V其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
) J: [5 `0 j% i1 @- K19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
; j- b6 D8 G/ {- x计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
) E3 S8 C/ K( I6 h' h7 Q般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
( L( Y% U1 E/ u' k8 n+ A' E21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
/ ]! N  y) t) z  \, G例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
5 T& ?$ m6 B# ^2 R* f, T1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
+ q. ~; H/ B4 ?: p各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
6 v' o* B5 B( A) ?8 q% C从而达到降维的目的。
: I5 O6 j% i* p8 Y( w4、判别分析
5、典型相关分析
' |; P- O  ?8 }7 n- t$ l6、对应分析
7、多维标度法（一般）
, n  w* ~: y9 f0 ^- c8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
4 Q: |; w7 {8 B  K, E主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
! x# z! L. _! D9 |8 X2、关联性聚类
7 Z$ f# e$ }; p) Q3 P0 Q1 q: M3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
6 m6 x6 }( G' y9 w7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
& Z5 B9 ?& w0 Z+ }! `3 F& w/ p25 、关联与因果
- v+ q8 j% o- G0 W! @3 D1、灰色关联分析方法
/ u  k) a! q& g3 \9 D( F3 A0 U2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
1 X6 q$ V( |& \& F; F% F3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
, N5 X2 K* [+ Q/ |5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
' o3 }1 }  |! Y5 T# y+ v0 {一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
) E# I! U9 h0 H! }9 x6 _8 S% O# p7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
# q3 l& w8 m) f/ i9、优势分析
* E) e  R: s, z/ v5 g26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
8 r7 Y- j# v) H6 u5 M. h
8 X( X' G  Y2 E5 E' t7 \( O6 G原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
9 Y& Z. J# n$ K  H
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