数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
/ ]) Y+ g5 L6 B* ~, z4 v% s/ o1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
3 r% y9 `- s9 o& U7 x# B+ @  C性模型和非线性模型等。
$ u1 A; {5 Q1 Q3. 按模型的应用领域分：
1 H6 i' K# n2 E3 @) v! n人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
& d7 w) \7 v& o) H预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
" F0 Q" E% d7 n0 H一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
3 d9 O# C7 \, C* U' W6 S) U6 L6. 按比赛命题方向分：
' B: a2 j+ ?0 k国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
! Z  Y* f+ F& Z$ [, p运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
) i( t! @% j- p" C' U. i9 m数学建模十大算法
6 k6 }- I- X# p; m2 ]1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
- N$ u4 ^- {3 _/ c) ^/ V4 \* p2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
4 E# b6 m- a& j! B. v3 O- I! l比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
% I2 V2 ~6 ]9 N3 V# M通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
8 O! y  W! F8 D" z* m, d建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
+ a- S! M7 d! f9 S$ K0 q8 T) C. P这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
# ?4 B7 y, W% `$ p2 v这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
$ ~. X; a7 c3 S( H0 a! e7 |( F一些高级语言作为编程工具
! N9 g4 T& |+ z, ?: ^3 k" ^; _8 、一些连续离散化方法
9 Y$ s. ^9 f' `很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
$ {3 s! t# o& D6 H9 、数值分析算法
0 v5 I" p; \. O' G# ~如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
3 l- d- R4 F, G. k10 、图象处理算法
7 d$ R$ H+ h$ h& J. `- p5 C7 [赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
. e- a9 o  `) \行处理
算法简介
. J: e, \  i1 y0 S) [# t. i9 Z1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
  `! I1 H2 e5 e" U: d解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
1 c. P4 c; F8 Z# P* \! u( v  f' j4 `个条件可用：
1 Y5 M4 x" f5 a* }# \①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
( ^1 W) \: |. R5 W" K% o找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
" W9 h9 Z+ U; x- j: e* x求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
8 \* v( F7 ^  a. u- N- T6 W①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
! [" d/ Z$ o8 ^, B, o) o& L. s! D一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
) F5 w1 }  d( C7 |5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
9 e+ l7 X: |. H" q: Y! n5 |（较好）。
6、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
( W1 o/ y; v2 Y5 C# A8 u预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
$ ~/ w( q& _% f预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
) z( f! a) e; t) }* Q$ N+ `大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
+ r5 p6 m/ Y, ^/ K办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 混沌序列预测（高大上）
9 @! M# V* i% N) }适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、插值与拟合 （ 一般） ）
0 a! t5 N% P6 l. j拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
3 U- A, g, y, T2 C; f10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
8 c1 M% M4 o9 k0 f0 B% s- |$ N  L作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
- t$ N5 O/ E: k12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
% ^, l. |0 S/ y8 ~13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
: S. n% S- K6 T8 o$ f似。
9 }7 ]7 n! n* W8 u* ~0 Y- h14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
& J+ S* C4 h' Y$ z其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
. R  C) y2 u  ^. p! W7 n5 w  h评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
7 @* H" g# C0 R& O  Q. N9 b解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
! Q4 U; B. v7 r4 P. M可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
; e5 ?/ H0 a: r2 `5 G- k6 q该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
, ?, r2 D( H9 d4 K/ ~5 a方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
# _/ O! n4 t3 a协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
  j% _9 M( Q. u6 i素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
. R1 ^. ?' ?" r: W+ x! m) V此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
- e3 g( Y: C  s( y) C$ R7 m优解。
* c2 f  p  e" l0 o18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
- ^2 W! b- c2 c5 q8 l! G非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
2 M5 R" x, h- T5 Y. S  U* r其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
$ c! N6 p6 S9 g$ W0 p离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
% N& U7 Z* O5 @9 B有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
% l' @7 {4 j7 S2 S6 c7 h: n+ p, E6 {6 [计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
0 k$ Y4 E. W  B" R5 M般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
3 M, f. M, `. w, W3 ?2 h21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
2 P$ D$ [. W) s22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
9 W, f+ T+ @( A7 ?1 _4 R支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
8 P/ `8 V* Z/ Q$ S8 Y23、 、 多元分析
4 [4 K8 X/ D4 Y  ]6 ^2 H1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
9 q0 w/ S9 L, w4 e各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
- e# h; ]3 G* i$ d从而达到降维的目的。
4、判别分析
' K( a* w. S: h5、典型相关分析
  q. L, U  Q3 V+ J# V% A/ r6、对应分析
7、多维标度法（一般）
5 x# a: d8 V" _8、偏最小二乘回归分析（较好）
7 x4 p$ I+ Z, H, Q- w4 k- u8 A+ `24 、分类与判别
" ]; Z/ U& Y3 }: |: T/ ^. O& \主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
7 h+ E/ H" Z6 i6 ]2、关联性聚类
1 t7 U( R! k# i. N" x2 g6 d3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
& K9 J8 q1 L6 S: N6、贝叶斯判别（较好）
  l1 w# h& R8 L4 t) v7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
- v" h8 ]; {" U# _% Z1、灰色关联分析方法
6 b! N- \- G; m: J2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
+ L; T, ~1 w: s4 F  ^8 E$ c3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
) r/ ]9 n& A) m3 l$ ]2 `# S（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
: O- ~! A3 }! K一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
" l: i: C) N0 Z- M( r* I1 n8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
% r# Y, }7 t4 P, P: }8 n9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
! q; ~3 b" W3 t6 i4 ?! ?
, E  J* u5 Y8 O; i9 d