数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
& Z$ V/ r$ y, S1. 按模型的数学方法分：
  Z& F( S/ U  T! e) j5 u几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
: R/ l+ L3 u# O+ k( k型、马氏链模型等。
- e+ u( K2 c1 Y2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
1 _3 p* B. m8 G) ]/ C3 a0 P3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
6 \+ y( @+ Q$ ~( @4 J$ g/ h7 c" W5. 按对模型结构的了解程度分： ：
3 c  }& f" Y0 W- v# Q有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
; Z/ H1 b$ H! [$ V3 a2 d国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
6 }. s' c% _% w; `运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
3 R  x# s; Y/ X4 s该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
# F+ C$ g, A$ O% T2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
! L& u( l' K' j+ d, j# I; Y法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
* i* ^* W* b2 C' u论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
- ?% G2 M, Q$ m* J3 ]2 v这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
# i! c  ^( B4 Y. F) y帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
1 g7 v* \7 Q: b( K' c很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
( i- g! w' l9 t! t- t+ P的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
+ `( l9 }& L1 K' j0 L% r①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
; K. g) a' }4 F% s8 _! a2 o2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
. i* V5 v+ u5 Y, I5 u! z9 Q找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
( r8 f7 }. _, I* Q3 、回归分析预测 （ 一般） ）
3 m  x- H! @) ]8 Y* q5 n求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
, Z- S3 I$ ]6 \4 N& F2 u. J化； 样本点的个数有要求：
) b  W2 k1 C* z' ^2 c, w5 S, u①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
' d% \; }/ q6 g* k②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
! q5 U1 u( r) j4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
& F% `+ F8 X7 L0 B一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
4 E  b+ B9 s5 _: P! ~% y' |3 b7 w互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
* }1 M3 `% M1 O* h$ m) k' y3 L5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
9 B% S6 n8 F4 ^1 {6 t6、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
6 o; l# c, l2 c" [  l2 T* R预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
# i% s6 V, e  g& J: J3 R& q, ?4 n8、 混沌序列预测（高大上）
6 ?8 l& p  B5 V; _. \适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
1 |. T) o: B- Y! P9、插值与拟合 （ 一般） ）
3 X8 U0 t; F3 A6 h5 F& c拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
' i  ^/ q) c  g& k4 s7 _& t在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
) N5 f8 b9 D/ s6 Y. ]" h逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
: K9 k3 ^4 ~9 g! V  J, V' F3 r1 Q5 K评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
5 i6 m4 S; F$ j; ~2 v11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
/ }8 q/ i0 @, ]' {6 b1 b9 U12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
+ u/ |# F$ `' `6 p2 H1 m优化问题，对各省发展状况进行评判
1 f* A# H; x' u) U" S+ J' G13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
3 i8 q; b# O1 |# n6 E秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
* Q( s  [% r2 ?6 [0 [' {法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
( j0 v3 ]. _5 p8 o6 I其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
2 o" E; T" ?6 z' y" U8 B1 b  e/ [评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
$ v: ^5 x( R) E& D0 w15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
0 p- o/ n2 t! a( [可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
3 [4 `3 Q' m4 f, i2 T+ t% T16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
& T; O! |) o- p8 L量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
3 U4 x8 l8 m! L- m素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
: S+ y9 D: l% o! R此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
( V5 Z# z- A" u3 d' |0 O6 U, W$ r7 y模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
, K$ e$ e3 h/ ]2 ]# [, Y7 `5 _% j优解。
# f9 Q( D; ]0 Y" v  H  X18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
/ r0 f- v- D% k) O非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
0 `; m3 F: O: ]8 ~" y算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
) M) g9 ?) s0 c. N6 \! Q19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
6 E' A* A! X9 ~- I& N# f9 ?离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
' m. ]3 t1 W5 M- I0 q7 r20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
; I: n. @- u5 u* `即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
& p/ @7 B/ F9 S) G, K$ h: L计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
2 _0 j8 w3 \! a! R6 l6 ^% a21 、图像处理 （ 较好） ）
; F& M0 V" `6 ?MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
! }* d3 }! X2 @" s: h( T1 L2 E例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
2 P/ S& D0 x% N+ V' j# Q1 `23、 、 多元分析
$ X" w* K! _0 L" j5 N1、聚类分析、
9 V# U4 z( {( W0 Y2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
/ @4 }: K6 F' X. o各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
4 B0 \% q0 {9 c: ]7 I% t) K24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
  \! G- b3 h% f/ n% |3 G1、距离聚类（系统聚类）（一般）
8 c; |. R2 r1 L( d1 t2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
2 C, K7 P0 b, H! l9 I  {; z* c' ]5、其他聚类
0 z  ?- k9 }1 T: N& ^  I6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
7 A1 z1 K4 l( f. R1、灰色关联分析方法
3 L% U4 \: \. o2 a; n; d" J2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
1 I& X. }# M+ u" x* A& |3 V（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
6 ]7 G( V6 |) M* Z) L' N3 D& c一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
2 v5 D0 j6 K5 R9 D9、优势分析
/ q+ E5 l/ F2 X6 `, L; K2 \1 q7 h2 N26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
* Z, I& S% m6 t. H) t4 c率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
. q7 e: E1 S6 q  j$ B1 c( H# ]8 [9 U
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