数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
/ k2 ?# `% M" s5 i! A- ?2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
+ b1 r$ D( J9 M  k$ G& l9 |3. 按模型的应用领域分：
/ o. I9 a8 u$ B5 s" w! Y人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
3 h. c' {) O1 N2 ^$ g4. 按建模的目的分： ：
1 T  z: w2 N8 N6 f  G# v6 r预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
: s2 o8 p; f4 `0 U% u往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
( E6 i8 h" |9 T: ^- S4 I/ ^有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
8 X7 U- z$ D+ I1 G8 |2 E比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
* w% e0 A/ X; G2 U' p% z" A1 、蒙特卡罗算法
! {6 u% d3 _: O2 L- D该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
6 s% A" {5 F* K4 C  f建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
! {! I/ v( U5 }( S- [0 q+ X论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
8 c0 Q- A1 n: Z" P3 h- C5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
% F* K' W6 T. e3 k. g6 k6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
' o" |0 h( o8 x6 _: U$ }# q帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
5 k7 v' B, Q) B! @) a6 d( k' p7 、网格算法和穷举法
1 O; I5 x$ P" S1 W  _# X" F+ r当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
7 t: h* _1 T7 C0 }: e5 z很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
" w. f, r6 l$ `, N9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
" G8 I. o; s& H1 y8 \1 ^4 o5 u如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
+ X0 P7 U& u- {10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
* \  [& R, w# U! q) ]% N行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
! W7 Y" a- j) c0 _5 @) Y. Y8 K解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
& E3 E% C; E+ U7 c3 v8 M" r7 Y( U2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
7 q9 J" V6 s% B; \' s②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
# d3 @+ `2 a* Y, c0 @4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
* ?' w& c5 b/ P一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
5 J1 B7 Q$ ~7 K+ s5 y概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
4 H* d4 x( a7 A6 k5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 小波分析预测（高大上）
2 X  r0 e' b# w# }数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
; Y; ~) u6 M  @& D% U预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
. L/ g2 [( q/ H# s) y* {1 l预测波动数据的函数。
! \( r6 H* r% t7、 神经网络 （ 较好） ）
/ Q3 K5 C! z4 Q/ Y: X8 f& s大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
; z+ m/ Q3 e3 G1 h4 I& W/ v5 \0 T办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
' ?$ T* }3 o, B7 p; }+ R' L0 P- O9、插值与拟合 （ 一般） ）
$ i7 u5 c/ l& k$ C) S' V  ~拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
' |9 z" R: R1 |3 y* C4 L2 D9 u  p逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
/ r- }* ~" G( w7 u) Y: Y, \9 d6 H  _* x10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
3 {# o/ h) C3 ^评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
0 k6 K+ G4 B4 ?( U0 H2 Z12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
; S9 z. \& E. C1 c3 y; b" r似。
14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
$ d1 }' D+ ?$ ?7 M评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
8 c0 f* G- H) U% x. p5 ?解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
2 [5 ?0 K, s1 N# i4 u3 u: I的最差值。
1 p- J) G% J$ k; D. v- q15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
7 {1 Q4 E! U0 U1 _可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
+ K3 o" t2 j8 ?! F. [" T16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
& A2 |3 V  [$ z- @- p素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
, X* r% P) |3 Y* L17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
/ X$ f! }1 Z$ v模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
' I" U" s9 r+ P( h" I% O) g( l优解。
6 E6 S5 G; K- i4 r" E. v4 T- D18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
9 c$ n$ ~: Z( A非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
9 ^+ R- R, i7 W" ~) y4 k算法、神经网络、粒子群等
: `- L( I) E* e% ?% Z! t其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
) @' N9 X6 C$ d/ R离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
2 B2 O6 Q% }5 H+ c; J/ B" |20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
" F. B" V5 J  x+ P! X即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
; |% d1 s. \$ x0 m. e有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
6 {/ y3 m+ w! i计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
; {+ T* J' B6 g% X+ @1 B般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
+ l3 _/ q: d% s- }! U$ n7 V# Q5 D21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
9 Q; N4 Q3 P: K# z' q. }+ l例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
5 S/ r* }1 e/ S# `22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
6 F( P8 B2 U0 a射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
6 S0 \- w* R; K) j( L1、聚类分析、
5 S- |8 b+ L7 o" R6 W+ m2、因子分析
' {4 Y; i( k7 Q+ x: b: W9 S( |3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
- I4 C: S4 K$ Z8 n& a. o" ?各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
% h. I' q' u' \: I- h5 X. U9 C4 K4、判别分析
5、典型相关分析
/ F# s9 i% M9 u) S: p; A6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
* ^- q+ [% S8 [; K+ ^主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
* C" p+ p6 p: r0 O! a2、关联性聚类
' _- X, [+ i2 I: C3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
1 E+ V. \2 D% V7 y7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
8 p) d% c* u' v7 I- l# I2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
8 G- r8 T* Q6 Y, @7 W7 \( k3、Person 相关（样本点的个数比较多）
. w" t" Q  d8 j( A3 Q4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
* F) |" W$ x5 }: g9 G- P（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
% \2 m2 h3 W- L' F一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
0 B4 T7 X3 ]' K; T5 w2 S/ @; U6、标准化回归分析
3 U5 |4 D+ y* k  g2 [, t若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
) y- R) w# L0 P; ^% I5 `8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
# K+ k# r$ L0 q* `( X7 W" ?9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
8 p. w: R$ f7 y  i& G: ~* t7 c! F量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
9 _2 k+ v  n! P% L, ^
% R" t) H* C: _原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
# d: ^, C- t3 Q
2 @5 s* G7 l  o: B& s
; ]; }$ v. |! |/ \9 v: n