数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
3 x: o' }$ }# Q- R' G/ h型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
0 H3 t' b% B( f- S; ?: u- t, d5 r' r3. 按模型的应用领域分：
1 s2 c% H# P% [: z4 p' b* Z* s人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
% C" G9 ~/ x1 `, F4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
% Y% v4 X' e$ v; Q2 w2 r4 k, q: x一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
4 r( U, e9 k3 X1 h/ q往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
- _2 H5 }/ q5 ]2 E有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
" Q% o; R. C& L- N/ q4 S( N国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
! L8 d0 P6 S* W$ L3 I运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
( c2 E# ^' x( c/ w- R+ e) {数学建模十大算法
- o& z& K3 V1 W( x1 、蒙特卡罗算法
! V% [/ w* ?0 X' U: q该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
% u4 k+ Q* z$ s$ V以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
4 r% C$ F+ f+ \6 `8 }5 C! {3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
# [4 g* [! e- o6 d' e$ i建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
* V6 |8 E1 @6 j% @" }这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
8 U* {1 V2 A" k" a. i: b" W3 s% M6 H5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
. k; F) z+ }6 v: |, ^: D6 }5 v帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
2 W7 x7 {  H" w5 S8 j3 \' i" V, d一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
8 q8 S3 p) s9 ]6 N+ Y% w8 J  D; ], O很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
# E5 i( a6 E# x2 D6 U9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
2 t& e% C( S8 ]+ k+ @0 r如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
5 l1 `5 I4 c, L3 t10 、图象处理算法
5 T) A: }* D9 {! |" L5 |- N赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
8 l* {* w: v6 N: U( @的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
/ U, N( a. t) H8 P算法简介
( I+ ^# z  B: K, L/ W1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
. k9 |' ?/ C# e, J# ]$ h9 ^/ n解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
6 J$ R: V" Q+ Z& _个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
, [& }- o4 w- F②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
6 E! n6 i4 t/ r2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
* O$ K' A6 ^6 X. G" i& D微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
0 H. T3 b1 j- y, E: \: M1 t3 、回归分析预测 （ 一般） ）
, _  @' g0 @, `0 F' n1 [求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
, g) p6 Y0 w! D( {①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
  `. q- c4 D4 ]* x! O# F) S②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
& x2 T) j0 O9 I6 D% z1 _# z一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
4 u; a& {& k; `  H3 ]/ h（较好）。
6、 小波分析预测（高大上）
6 {5 B/ C4 M" A& e, z4 x  G数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
0 i/ R9 x2 ^; p预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
" _) L2 N0 Q# I6 y大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8 e7 l. R- Q- Q# I+ B7 O9 d- a8、 混沌序列预测（高大上）
. L, _/ U$ y( D6 e9 ^适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、插值与拟合 （ 一般） ）
' e' _9 b: J1 R拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
3 T$ v& _) x' r逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
+ z! y0 c" M6 N; G4 S- U) I11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
$ @. x9 J+ G, f( [; N13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
' ?+ U0 e5 }* Y6 W( K秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
0 B- i7 R# A' ~7 o- I似。
14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
) d2 ?" m- d( D" {; v* K. [解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
- l3 `( M$ a: I6 u5 Y% z: ?  \的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
( s2 C  C8 D, n1 @- v可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
% B9 X' ~. H; t9 D$ i16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
4 @$ K5 t) P" Q7 J8 t% Z量有无影响，差异量的多少
! L( U/ G1 X/ S2 b; w协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
0 i5 e" {$ P1 J  k( g素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
; i) q$ }0 i; ~17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
& _, w% [8 [$ d模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
4 D- p1 w8 Z, G& o. D' E非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
: d3 r" n# [* u4 m, B1 z算法、神经网络、粒子群等
' \4 \% ^- ^- Y其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
, v7 I& }8 n2 s* f% ^19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
" |6 m8 y6 d! d- X1 B离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
+ i$ s5 Y8 c( a5 k# n# m. `& ^20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
0 W) ^( C1 R: B9 K( h即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
% O7 A& |2 L0 C计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
; |, p. O; `) A4 c/ }; D9 n5 m般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
4 D0 C( m/ ^# m- S6 ]MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
6 ~8 D  |& j7 @; a: u22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
1 `' f/ A" T7 l) T) F支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
+ _6 ]/ C1 a# `1 s' A射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
/ W& ]' w( ~4 h$ e  U2 d! w# `- z6 @2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
) j7 I: R" x6 c2 n/ C0 o- t* i各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
6 O9 v" V' m+ c* w& J4、判别分析
* d  ^% z1 T5 G5、典型相关分析
" E+ f( e) c+ G/ |2 F8 W7 G) N- U% \8 d6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
7 E& J# n. X9 c5 m, J3、层次聚类
" N5 p7 d/ w: o4、密度聚类
7 e' y' O0 f2 _" _" b, c# \; @. \5 b5、其他聚类
, Y6 @* H/ S! Z- f8 a: l6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
' `- W+ c' O9 h( i' ?# K# B: u; H1、灰色关联分析方法
% P; e: Z. O0 @, {0 \2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
, z) E$ }; P& |7 J& k- H3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
0 Y( z8 R5 z  m" t  H! t- R) L5、典型相关分析
, r2 w# A4 H! E: J! g: ~# Q（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
3 I' q9 {: ^6 L' k3 d一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
  X0 O( b% ^. r2 t. C+ _( ~# ]+ D6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
' c7 R# {5 x& d7 X" v4 D8、格兰杰因果检验
8 V' B. L( B# ~- T  e, J3 I+ w+ R计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
0 n. k; _, A6 o" R5 B26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
8 J5 E4 ]% \3 H率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

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