数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
$ x  b, I/ c1 q& Q型、马氏链模型等。
( _6 r8 p# t  B" F( ?! h# M: g2. 按模型的特征分：
2 s" z: n  H) M$ i( W1 r3 Q& H  [静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
" c! I' m( Q( y4. 按建模的目的分： ：
# J1 U3 `/ H% K$ Z1 @5 e7 C2 i2 J预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
% P: Y  F4 i' P1 i* \( M7 p往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
, y, C+ t+ M/ B# N/ \2 ~. h有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
& [: o0 b8 s/ v5 m4 r比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6 @& h0 V' l1 J6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
5 l5 K; k) y% x, U5 ~* z运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
( \: v7 y/ M2 ~( \9 B* q% [& j数学建模十大算法
( E' o8 c- O; e4 z4 k1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
4 N4 ^3 X# V* N/ y9 b以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
$ ~( P- s- [$ k2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
: t1 A% ~" d$ j* N这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
1 q, y7 W+ d) v  z论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
8 y# ^3 `$ Y/ L4 e' D* a0 E% T这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
5 n2 @* ]1 B  |  n这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
( ~5 x( P0 I+ U$ j当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
$ ^0 z9 ~0 h# o  n! @; s很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
) t: Z$ h8 d& l) B8 R9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
3 T0 W! d6 M. M! U# j$ L% }/ ~3 |10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
! T' J! I' ^, m+ Q9 A% b, D% R0 O行处理
算法简介
  O* o/ p. m9 S0 p1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
# {/ s+ f4 W( N1 y解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
9 P" [" A* Q& d$ o% a5 m个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
% |+ v8 {7 t7 y6 n3 ~1 P②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
5 J0 v5 `" H- i7 p! v3 ~" V6 U2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
) g  ]6 [: G; H. V3 z7 D/ R微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
( G2 a0 d* j- j$ g# n  r3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
4 K; ^* s  j4 j化； 样本点的个数有要求：
$ }! F8 U) o* k( W8 r①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
- ]) l! N: x1 k! \②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
; p9 Y! R$ w5 y( p* W- T: d4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
# \+ A, p3 [3 ~: |- x( ~5 S（较好）。
2 e$ B# {! X* X/ D* c7 m6 N6、 小波分析预测（高大上）
( e  H9 r" @% Y2 D( N数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
( }3 O; r6 a1 V- Z2 h- A. y" ~; }预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
6 I! T/ \, f/ D" V/ ?5 F预测波动数据的函数。
: U( H, @* ~" W" y, `7、 神经网络 （ 较好） ）
; |% e1 p& S4 `5 n/ n/ I; o: \; ^大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
$ B: V  Y% W' I+ r8、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
: o% o% Y% n0 h2 n& `, X, X在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
) _3 C3 U8 h& V; `逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
3 j$ V% @" c2 n+ R- [5 |7 g10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
$ K" E0 l( _1 ~0 ?* |5 f0 E评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
1 K6 {/ g8 y: B3 H8 H# c12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
/ g+ ~4 F2 j% D' N13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
1 `+ b/ F! @% L7 V法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
$ Y1 e& s! e3 M0 D, S' q. F) C似。
! g  i9 l8 u  H7 U7 P  a, K0 O14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
) s7 w$ a% y% R$ }, f, o15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
$ W; ~5 [% |) Y# Y该方法做评价比一般的方法好。
8 I& a7 M) w2 d6 g16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
) ]1 F4 ?0 M9 G& u% ?! R. C6 ~$ P量有无影响，差异量的多少
# A3 N9 Z8 r8 m3 L/ v协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
. Z; S% R4 Z; B4 S7 g3 f1 m17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
  _$ m" ?, l/ x优解。
% E6 j5 g+ W4 R" U) j18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
* f# u; {4 }7 R) r" _; N) x" E非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
, ?! L# p3 _$ n! k  u算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
: ~8 R0 U0 P/ |% E0 s# v19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
  B& d* H1 f$ c" ]排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
7 J8 e; t& b" i, X2 n, C3 e即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
1 x& @! v! N4 {5 U有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
% `8 k* l  G. `7 F! L1 V般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
1 R' J/ D2 M9 wMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
% R2 @$ u% F8 r+ j; F例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
3 q$ `& G# C' e* p, z% |8 z22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
( m5 U: ~0 r: f9 D+ ?射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
, R2 \- w1 M" `. _23、 、 多元分析
  a( i5 h+ R8 g  S; v8 v1、聚类分析、
  r+ A# X% o7 b3 F- n- I2、因子分析
% _7 Z" ?+ z$ m; h  z3 W" m3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
* T3 t! t" P* h: W. x! a; G5、典型相关分析
* u) h) r, l5 m" L- T  m6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
* x' ?4 E+ z2 `24 、分类与判别
3 q$ m% D1 x1 u4 X# I主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
( |  i6 X8 R; z8 p) ?/ m( Z3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
6 P) N4 F8 n8 R  D' r. R! a25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
, M% X3 V. A" g2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
. v, p$ X  f& F- j5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
6 N: C% ]2 C% W0 k一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
' A9 E5 U1 V+ U6 H+ ~! r6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
5 k- S2 \$ D+ ~6 r8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
6 u! }  c% h- j, t, {26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
& c$ U! ~8 G; E1 s/ g量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
8 N% ?7 O/ G$ t4 f+ V0 R7 g
) w. Y4 X5 i( T# j; Q, s* k/ b原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
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