数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
  W4 z9 e" _- Y2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
# ^# ]/ A1 b! i; }2 {- C4 g性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
3 _9 {4 q$ D/ Y9 ]# z& T  q预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
' m/ c8 W6 ]- _5 q7 R8 c$ y; ]( w5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
( O/ w; ?8 I0 ]5 ~6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
$ A7 q( E* a, N, N运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
3 l" r* l. |2 H3 h: a: e数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
7 A" o( t& y0 q. C% i以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
1 ?0 w" ~4 @; _- E; q通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
1 K: n' u1 ?2 \1 j1 W" g' `建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
) \' l0 p0 {& ~) u' q, H9 G4 、图论算法
  t; D% t; g) R7 A' ~这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
& t+ r, y& Q! |8 ]论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
5 }9 z; v$ q- Z- D) [( Y% M$ h, D帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
$ X' b  ~/ R8 R, y2 l7 、网格算法和穷举法
6 o  v0 D2 _. G! b( ]( ^8 v当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
* i# d+ h/ k3 l9 t" Q; G: g一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
1 E- Q5 v! y( N6 J0 y* _9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
' ?, m- P( M* L$ b+ f8 l赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
' x4 B$ ]' e$ b. b% j' m% B6 E的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
( U' T1 N0 Q$ {, G* P7 \算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
  y: A% N! p  N2 y% w解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
9 e9 c, z& `- j( W' S: q2 a4 H% v①数据样本点个数 6 个以上
) i: `7 Y8 b. i) k! @! p②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
! h9 ^2 P  q# _& u/ B8 `  g9 C5 L3 ^2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
$ v0 e) T; c7 k: |微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
0 G0 z; M. ], s7 O5 V. R5 _3 Z找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
# A& x- V" v) _0 t3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4 P; u! v" V) f' k" C2 T" Q4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
. y5 }6 L  p7 o) |一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
% v$ P5 [  J/ R) H+ f  u, \/ S4 K# [互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
; n  f8 [. `9 i. x5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
- ?6 F1 ^1 {3 ^4 }8 Q+ c* W6、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
4 y- a% L) U  U+ G) F7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
- i# L: i3 B7 v( Q1 b6 d办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
, ?  y: {' Y( G8、 混沌序列预测（高大上）
+ E3 a9 P" h4 Z  r8 y9 F& o7 R适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
+ G/ R. }! P) d5 n/ p: r9、插值与拟合 （ 一般） ）
: \# c2 t; i/ W; d4 @" E8 _拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
3 D7 r5 j+ n5 A2 X6 t' R逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
' f/ l  s" z8 _8 t- f10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
; c2 y+ U: l0 Q  P. U: }评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
9 F( v! C  L- `11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
7 z! s% ~+ V: U4 a2 x* m9 @优化问题，对各省发展状况进行评判
, X+ d* c. ?1 r13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
% W+ ]2 H- T/ Z0 Z0 }法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
3 D$ k1 Q+ i4 b" K. L8 D+ Q! R' a! w解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
7 b6 m0 Y- B5 }0 E4 w' [; Y6 v$ n来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
6 C, T; S- o5 J2 G该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
4 U- z0 u0 T) {/ Y9 f方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
1 x! s3 j. u9 v- e量有无影响，差异量的多少
% n# {: W" ^7 X/ N1 B: p协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
4 `+ ^6 M, M  H0 p* X; p  Z0 L此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
! Z+ ?" D9 K- ^8 ~: _非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
6 ^, M6 H6 T) l9 K1 e- b算法、神经网络、粒子群等
% H: O  P* Y" v* T% X- u- n! @其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
. `2 s0 |! `, u. o4 n即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
' g8 ?" ^  n+ N  I+ H有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
2 n( f5 Y% L6 z& o% c计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
* X' p1 V+ M" M+ D5 M1 _8 X0 Q21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
. ]$ K7 B1 w2 V+ ~支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
7 c# \1 j4 J- O: S& b射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
9 z# u* R4 `& D0 w. o23、 、 多元分析
0 B7 Y. i. b! w' P8 N: P/ o1、聚类分析、
: c7 e8 o! a8 c2 ~" x. x8 h2、因子分析
7 R2 K6 A/ [# C* R- l3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
0 V* q( ^( ~. c3 |各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
* w( m% u( _9 f- p2 N  }8 O从而达到降维的目的。
* j( y. T# p- ~! C+ l$ x( X4、判别分析
5、典型相关分析
! X& |) N! Q$ ]) m6、对应分析
; Y3 V; b) L: J5 u8 L: c$ j7、多维标度法（一般）
$ \" X: v7 S3 G6 p, k" ^8、偏最小二乘回归分析（较好）
. ^5 S- \5 Q3 D+ g- C24 、分类与判别
- s: U8 X7 W5 h: E主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
) F/ E' m4 a- I. u! J" K, f3 R5 c2、关联性聚类
  a' y- p3 \: Z8 ^3、层次聚类
) L+ B& U0 l; e7 s4、密度聚类
5、其他聚类
' p5 ]3 t: |2 }# ^9 D6、贝叶斯判别（较好）
. `: s1 M+ b4 y% j7 P7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
9 K$ z2 M, g' H9 t! A25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
( G1 y. U& v2 e% x3 K! _4 P1 z4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
% r0 }  [! M: G（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
+ ^0 S: r2 }! g8 d" `. C一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
" ^. G6 x3 ?. c5 X若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
  d- C& c6 s5 M5 Y* w) U5 I8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
# y  b; G6 v! g0 t3 F0 D- s+ q9、优势分析
/ {' A0 K3 i) j. C26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
7 G+ ?  j  J& p& W3 r; L5 Y! B
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964