数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
4 x2 {7 w" J: ]! p! l  p) ~, \1. 按模型的数学方法分：
7 }. D- {  ]. R" x& U+ ^6 a几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
1 G% ?* N* M5 K( u7 @) ?静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
0 m) A4 i# W1 N性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
1 b* V2 ^' t: N; N# @/ d4. 按建模的目的分： ：
/ t6 A4 T+ X8 `( Y预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
+ T6 k; v# ~' F" H5 u8 g, X往也和建模的目的对应
, f# q' j5 X0 A! ?& ~/ ^5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
" Z! K$ n$ r& Y数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
- ]! E0 s. Z2 n3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
- }' U. h5 z# y7 t. y, |: S0 n这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
+ ]5 a( U# p7 X论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
) G. r5 f0 X+ S5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
/ f% q1 p: F4 ~! {6 p& ^; v& M这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
. W# `! t8 U0 k: F$ |' r) @6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
0 i7 `1 M1 @! D2 z1 X& h) N& C6 I% y帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
0 ?4 T, ^8 j# F6 G$ e3 t& u* C* R/ W8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
- ~  U7 q" I% v/ y. `2 U$ H3 q如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
$ {4 @* J, o% L" s! M* d, E如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
6 H  n6 g8 Z6 M7 j) h! I10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
7 s6 p/ l9 G0 o$ G算法简介
5 d7 V; f* t7 g- E% b( V. t6 o+ g1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
7 B3 u0 O* _" |! W' W解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
/ ~' G* u0 {0 X( a$ y- d" c* M①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
  \/ r! i" H& D4 F; V* u6 {' |2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
4 I5 ^0 [  S3 X  ^微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
6 P: E! c+ B, \, @0 [: \; X其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
1 R) \; f: ?% U, S1 {找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
, L3 U. Q1 r% ?求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
" `$ j+ q# L% ~. e* `+ W) ], \0 ^1 _①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
# @2 a  [5 R5 j( q% o* ~$ x4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
; Y2 q- [2 ~. |/ q$ d+ @一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
5 z* [1 s4 `5 _8 Q概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
+ {' M& F2 t* e6、 小波分析预测（高大上）
6 q; b# X: G3 e3 A2 e& f+ e6 y数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
1 v$ `1 h/ |) L' |4 L预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
8 p$ r9 L4 z7 Q& w7 n预测波动数据的函数。
% w! t9 w" I7 F+ c1 z0 ^8 X" L2 R! S9 }7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 混沌序列预测（高大上）
+ _  {# N. e- M0 P- ]/ c适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
( M. O2 F7 q9 H6 b7 L2 T# r5 M9、插值与拟合 （ 一般） ）
2 l! ^% C; h" V8 l  C+ p/ G拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
# j9 \; c1 F$ g- q! V$ ~. M逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
+ `6 A: K8 Q# V' w$ \/ W) a! T, i/ Q10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
+ g3 b- ?9 a0 Q/ ?3 H8 x11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
5 @7 a+ f5 o  c& v7 A: N作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
- M* n, f8 g! m3 z+ [0 ~秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
( p( _, i; F+ S0 D' I法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
/ K& ]7 K/ R# }5 Y" @- k的最差值。
9 ^( Q  a- b! E& Q* l15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
$ `. e/ _  z4 O# u* t1 u该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
" x  \3 I/ L6 a& o$ t方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
" G9 k- ]7 D! ^- X协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
5 V9 Y, r; N  @5 ?( L# R7 X此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
7 ]+ H# Q3 O) H4 g6 j& A模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
5 |$ \9 ~2 l% U4 H  M9 N! v优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
) h) [3 O7 Q8 y4 W1 |智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
* Q# X0 V+ Y7 Q9 @! [算法、神经网络、粒子群等
. a" D  I1 t+ H其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
5 ~: G! G3 R6 b19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
7 B$ Y# o) V$ \& C9 e3 R排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
8 Y' T. G' k  I% ?. [! Z% c即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
! N, @( ^3 `- z/ P* h' B0 C有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
. K, h. u( B3 j2 W" H) `- ?计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
' ^5 Z. M# [7 V0 Z支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
* }  ^. }8 b" W) G( K" B射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
4 t/ {: k8 b( D7 g( R6 @1 r1、聚类分析、
0 M6 w. J* ~( u1 w2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
7 o& G: v% w- }4 @' w' N; L5、典型相关分析
6、对应分析
5 q3 d2 p' T" d- L7 B& I0 P7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
$ n  Y- T4 b: a. D0 l3 N% b' m4 O24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
  T, p4 |, m! l- W3 {7 K2、关联性聚类
4 T6 Z" u. n4 H; M5 J+ e3、层次聚类
4、密度聚类
0 T3 D' d5 H4 Q5、其他聚类
* Z6 B0 @  ?; _/ V- ~' I* N8 y, O6、贝叶斯判别（较好）
; Q% u9 ^6 @. |2 N7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
& `0 l1 G9 U% d- x  p& T1 E4 a1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
2 t; w; Q& {$ }9 e! b: {4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
/ l) j/ `+ I3 m5 K若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
% c0 N% C  W7 }7 _数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
( F6 K: e" R1 X1 W计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
8 g$ X7 L2 m( J& T9、优势分析
# }8 F( Z- N4 R! x26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
: q% C' k2 Z6 t9 k量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
+ S. \& T9 O( L2 A1 I' I
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