数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
% v$ j2 g6 Q1 C1. 按模型的数学方法分：
/ @( O9 K2 b* s. C- P  k几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
- \6 O  U4 b4 E+ k3 T2. 按模型的特征分：
1 d2 W, r7 K8 Q1 ~" M- _* n静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
! x4 p/ O2 @. Z% ]" z6 q性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
7 t5 N2 A1 _0 a5 T+ {5 k预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
- B- H5 g+ J2 X, k1 _往也和建模的目的对应
6 `5 G' e' L) M# v" C- U1 x' k2 K5. 按对模型结构的了解程度分： ：
9 @) u' G: E8 J4 Z6 [- X6 S有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
  j9 W- h: q. D3 \4 M比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
5 p* t, }9 l1 M) \$ T# R+ u6. 按比赛命题方向分：
1 g# {" T# p8 S* Y国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
( l5 X. f1 I% k: z; g; a数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
" K3 p5 B% }- w- _+ n以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
8 j7 V$ i. u2 B6 a% m3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
8 @6 y: G; f2 e0 \6 P& A  d( i! f论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
$ R" B7 a# ]: h* a  b5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
  r- R5 y( `6 G) q, ^  l这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
. ?6 @( U% C0 u+ k6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
8 N/ Z/ p0 X- K这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
& P# g, Y+ N9 X" ]& P" u7 、网格算法和穷举法
( w* U0 ?( l: h/ I/ S$ u6 k  h当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
3 l+ i* C# r. O  A' |, B很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
) ?7 x+ [( U% B# s如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
* r! q* V& p- V10 、图象处理算法
& Q9 B1 v$ D- h' L6 E, P赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
2 _' O- h6 }  f0 l! l! @的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
4 z- \+ C. x$ \. c$ E1 x+ G算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
/ i1 Y5 z* Q1 ~4 v- F4 @5 e$ }; h个条件可用：
/ z; F  u' C7 A. j$ M# k4 c( i3 {①数据样本点个数 6 个以上
& M- M# G/ [, I/ O$ `②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
& ^8 g8 m& m1 g5 e* Z* o' q% E化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
/ r6 w- k3 ^% F5 ~- m0 ^5 o. V4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
, z  A3 \4 d; N, Z4 ~" g/ A' ?1 C( o6、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
8 R( x7 h! K9 I- l' t9 P' ?/ E预测波动数据的函数。
0 u- H/ r7 C7 j2 c; V' w  k7、 神经网络 （ 较好） ）
7 Z. n7 k9 `: r* B6 A  r! q大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 混沌序列预测（高大上）
- X3 A2 ^- W: b2 m适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
/ e$ \) K. g3 k. e; Y9、插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
0 n6 w3 a4 m8 y% l逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
+ [' S/ x! U5 H+ }: W' l7 O  a评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
* S7 h! Y* g9 c# n% p3 c9 p作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
$ o/ C' n6 {! R; s* _秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
. @: C! _# d% h2 g14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
$ q& ^1 f8 U6 V" ^7 ~9 u9 ?其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
; n% \0 Z7 \9 u6 [评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
' S0 y% v5 E+ J+ f1 S& c0 k$ T15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
5 k; P8 s9 P8 @! A; h8 |8 _0 \& X5 r可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
8 t( L9 Y7 ~( g& Y4 x% b+ z, e该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
4 y! j) u( p& k" b- _量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
5 x; f+ [$ }8 j. B模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
/ H  N2 O" O) w, A非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
( d. w+ f: K7 G# q+ \( D1 O& N算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
, z1 ?! v4 F$ ?1 B3 D$ w19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
: A8 h6 {- G" v5 D离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
# Z7 }2 Q* ]) S" R6 ^20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
* _& D4 U5 F8 N1 i排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
" j( I' u4 ]$ A4 k即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
+ y( g, V* n# L+ K计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
/ W- X9 W6 U, o3 E21 、图像处理 （ 较好） ）
( b# a" k( e) M# Y$ N3 {6 bMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
" z, |8 W/ J8 n; h* G, _1 u1、聚类分析、
2、因子分析
% n  U, C- K0 d9 K* y3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
8 I3 E" X8 [9 \  ]) a; ~/ e各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
% x* D0 @  J* R) E) h& w& H! y9 Q! w( x从而达到降维的目的。
4、判别分析
. ]9 X" ]( H9 P5、典型相关分析
: ^3 g4 i/ ~' u  \. [. ^% F8 @6、对应分析
3 ^9 ]& b/ E9 I5 I+ g& A7、多维标度法（一般）
; P: }) Q3 d7 [) i  J8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
* [8 `6 A: f' E" g7 }- _/ u" a主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
* f# [! h# }/ a! B* y2、关联性聚类
' l' f: s4 u" J, G3、层次聚类
3 E/ y6 U/ I) G/ ~9 D& C- d4、密度聚类
: C# Y* Z* M, F1 T$ {& h( d9 F5、其他聚类
& j. U  L$ v9 c1 l1 x3 Q1 _6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
( D- C/ g/ _+ W4 q# h; c1 j25 、关联与因果
+ }$ l( F! X! o$ t! b& d1、灰色关联分析方法
6 {3 e0 e$ v8 _) W7 N& I2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
  ]8 S9 Y( t( M1 h: i. T2 X5 s1 v4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
* r, S/ i+ c# _3 |5、典型相关分析
& Y& ^) p0 {& M5 m  s/ v4 t（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
! J" d7 j% \" ]一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
$ A) z6 p* @6 F9 f8 ?若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
" m- U2 `; V+ k9 {- Y数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
  M; p3 O9 k4 }8、格兰杰因果检验
' l) o( R  K& Q! e计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
5 q: z. M& v+ k, ?3 m& b9 X9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
# }$ z7 E" X5 O1 q率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

' \+ g  A0 V* q: T* g4 L原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
1 L; G' _+ N6 X0 R0 Q# ]