差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。
# F% i! k; {  o( B- N% W
) Z0 C( e; i2 m1 常染色体遗传模型
" D" c9 `- z& a$ u, z# J1 t0 C常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。

' W* C. X5 h+ L5 ~, z
* @9 r" C7 O: F7 y
; g+ D* a" y  `1 \  w0 W7 @例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？
% X- o& _9 H: ~3 D0 w$ P
* @* H, V) G7 k7 k8 D（a）假设
令n = 0,1,2,...。
$ E  J% Y3 t* Q

. x2 W: J2 X- S. |3 K
（b）建模
" p$ |, x  p. c: P5 h4 U5 ^0 T
' u! I; C& z+ @  |/ d" Z



编写如下 Matlab 程序：
, T% \1 f/ U/ ?+ o0 M' W% b
2 o! L5 }/ J* S8 ~syms n a0 b0 c0
" s3 y! j3 \7 J0 ~9 v$ @& eM=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
+ E% y, b/ k; k6 b[p,lamda]=eig(M);
8 {( n- H+ P, g9 F* R3 j, Q, n* px=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
1 G' ~" |. d: ]5 d! T6 ]x=simple(x)

6 B! }, V7 ^, M! `8 n/ |3 ~7 g# @, u
# ^, r! o8 F" F
: N! d7 U2 W8 L: T3 \/ Z$ F  I

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

/ ]1 f! k$ s8 O5 h+ }
编写如下 Matlab 程序：

8 a5 T. A2 b+ l: Z2 {5 Wsyms n a0 b0 c0
, ~. V* o$ m7 n, ?7 C4 \$ K* |M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
x=simple(x)
8 b5 K# q1 ]% [3 [0 e6 I6 \( J6 f
9 b0 w% g& j3 z$ Q) ?3 m' ~" A* o


2 常染色体隐性病模型
9 V! m2 O1 p+ P5 [$ ?; [5 g# ~6 a  D现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。
! f& G1 M: u% h5 e/ Q" J3 i
% D4 M/ |1 {- b3 B（a）假设
（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
0 R4 [5 L) @2 o0 J& F- _+ j: K
/ a) |5 l- C! c3 k+ K
' X6 p9 k/ O1 z, n" l! b
（b）建模
+ c# w' r/ i; t; T9 L; k* D


7 s2 {# p( i& O8 r; H

（c）模型讨论
+ T$ S0 h# X, u& Y) z' N1 F# N研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为
" K  A' b& Q: Z, f. f! @% h


下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。
8 A, z7 `9 w+ c6 a; M, p( l
3   X − 链遗传模型
( N; E' ]* A+ q. @$ j( p" ZX − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。

% ]2 [  b; w/ @5 G/ n* @（a）假设
（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。

（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。
+ `1 Q9 a& ], [+ m0 \7 j* S' ?




- L  [  n4 ^; W
" b$ M( o! Q/ U1 C! V) p

0 A6 A7 o% o4 @. K1 y编写如下 Matlab 程序：
2 O7 F* e* q' S
syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
2 F; R$ F% \) R4 B7 d$ v. f. ]M=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
M=sym(M);
. t0 _4 _' g7 u5 ~3 ?0 a* ][p,lamda]=eig(M);
/ a- P& n% {( D) ~* W* V2 q2 ux=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
! ~- }" ]: F0 c: j) O# J" J' Rx=simple(x)

8 a" d+ N+ N/ \; u
( I" m' v% _3 V$ O由上述程序计算结果可以看出



, k( N2 o5 s0 U- i. [, `, Y0 [& q+ k
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