常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。

# b, P% G+ g: n& A1 K% U* m4 f
  |/ `$ F# _3 c9 M
' `) }6 }* ~7 F5 o' p! M2.2 Euler 方法的误差估计
  _& ~0 L) T" ^: z( B: t对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。

2 Y! X4 `( t9 J  i/ S


- L) J8 y' l# A
显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。

! `  P" ^: S) Z( t7 N5 S6 B' J§3 改进的 Euler 方法
3.1 梯形公式
3 r6 e, y/ \( r2 N利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即



这就是求解初值问题（1）的梯形公式。
9 O! M( |+ C# F2 S0 n4 a5 g/ w9 P$ F
直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为



1 f: J9 A3 b* C$ X% L$ h+ N如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。

7 B3 D" Y1 ^- X4 F7 g, ?2 e3.2 改进 Euler 法
按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即
' M, ~7 h. L! }3 C8 e  V2 U  s# M

# V# a: D# g  D" a
式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。

5 }& V' v0 j2 _) K* q为便于编制程序上机，式（11）常改写成
: A6 n9 b9 ]6 z% d& u7 p3 n


" V' b$ q8 N1 }! r" {- q, j改进 Euler 法是二阶方法。

/ ^" H) a, Z) `( O- a
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