常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
4 @0 ]  [9 G3 l% Z2 ^+ _- e 2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。


7 m- O! p( i; M1 j) \/ C. T
2.2 Euler 方法的误差估计
对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。
2 X( V6 J4 d3 d) Y/ C  I
& I3 q0 j5 N+ m* o4 M' T9 L, b
: Z; u) `6 E1 q7 I1 k


显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。
4 G! x/ T5 O# K. v& h" \
§3 改进的 Euler 方法
5 P9 f" S- B; \; V3.1 梯形公式
( h$ z$ H& G7 \* T; d利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即



这就是求解初值问题（1）的梯形公式。
; ~1 l3 p  k" G) a  p% i# ^' b
直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为
: ?' `0 O3 V/ N( u
' w* Q1 J' ^- {7 A- W  r: H, P3 N
+ M2 i$ H  x; |) Y) R) k2 ?
如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。

. T; W8 [% Y% t! D* k' J4 ^3.2 改进 Euler 法
按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即
' I: w" i) e! Q/ b2 d; k


式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。

为便于编制程序上机，式（11）常改写成
( `/ v7 R$ A: w


0 c: n5 U2 q( F& `改进 Euler 法是二阶方法。
3 h; |2 S# L& j9 @' a7 D

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